depth2,weight7以下のMZVを求める

はじめに

この記事では$\zeta (2,4)$や$\zeta (1,6)$などのdepthが2、weightが7以下のものを全て求めていきます。時間に余裕があればweight8以上も作っていきます。
前提知識としてdepth2の和公式が必要ですが、これは$\zeta (1,n-1)$を考えることで証明ができます。詳しくはkozyさんが証明をしているので こちら を参照してください。
また、この記事では表記を省略するために函数${\displaystyle L(p,q,r)=\sum _{0<a,b}\frac{1}{a^p{b}^q(a+b{)}^r}}$を定義しています。
この函数の性質として、
・$L(p,q,r)=L(q,p,r)$
・$L(p,0,r)=\zeta (p,r)$
・$L(p,q,r)=L(p-1,q,r+1)+L(p,q-1,r+1)(0<p,q)$
というものがあります。上二つは自明ですが、下は${\displaystyle \frac{1}{ab}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\frac{1}{a+b}}$からわかります。
weightが大きくなるとこの函数の計算量が増えるのでプログラムに任せることが多々あります。ご了承ください。

一覧表

$$\begin{gathered} \zeta (1,2)=\zeta (3) \\ \zeta (1,3)={\displaystyle \frac{1}{4}\zeta (4)} \\ \zeta (2,2)={\displaystyle \frac{3}{4}\zeta (4)} \\ \zeta (1,4)=2{\displaystyle \zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)} \\ \zeta (2,3)=-{\displaystyle \frac{11}{2}\zeta (5)+3\zeta (2)\zeta (3)} \\ \zeta (3,2)={\displaystyle \frac{9}{2}\zeta (5)-2\zeta (2)\zeta (3)} \\ \zeta (1,5)={\displaystyle \frac{3}{4}\zeta (6)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2} \\ \zeta (2,4)=-{\displaystyle \frac{4}{3}\zeta (6)+\zeta (3{)}^2} \\ \zeta (3,3)=-{\displaystyle \frac{1}{2}\zeta (6)+\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2} \\ \zeta (4,2)={\displaystyle \frac{25}{12}\zeta (6)-\zeta (3{)}^2} \\ \zeta (1,6)=3\zeta (7)-\zeta (2)\zeta (5)-\zeta (3)\zeta (4) \\ \zeta (2,5)=-11\zeta (7)+5\zeta (2)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (4) \\ \zeta (3,4)=17\zeta (7)-10\zeta (2)\zeta (5) \\ \zeta (4,3)=-18\zeta (7)+10\zeta (2)\zeta (5)+\zeta (3)\zeta (4) \\ \zeta (5,2)=10\zeta (7)-4\zeta (2)\zeta (5)-2\zeta (3)\zeta (4) \end{gathered}$$

weight3の証明

$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(1,2)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a{b}^2}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^2}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^2}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{ab(a+b)}\\ & =& \sum _{0<a,b}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\frac{1}{(a+b{)}^2}\\ & =& 2\zeta (1,2)\end{array}$
より、$\zeta (1,2)+\zeta (3)=2\zeta (3)$であるため、
$\zeta (1,2)=\zeta (3)$が示されました。□

weight4の証明

$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(2,2)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a^2{b}^2}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^2}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a^2}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^2}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(a+b{)}^2})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2{b}^2(a+b{)}^2}\\ & =& \zeta (2,2)+2\sum _{0<a,b}\frac{1}{ab(a+b{)}^2}\\ & =& \zeta (2,2)+2\sum _{0<a,b}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\frac{1}{(a+b{)}^3}\\ & =& \zeta (2,2)+4\zeta (1,3)\end{array}$
より、$\zeta (2,2)+\zeta (4)=\zeta (2,2)+4\zeta (1,3)$であるため、
$\zeta (1,3)={\displaystyle \frac{1}{4}\zeta (4)}$が示されました。
また、
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (2,2)\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{a(a+b{)}^2}\\ & =& -\sum _{0<a,b}\frac{1}{a^2}{\int }_0^1{x}^{a+b-1}\log xdx\\ & =& -{\int }_0^1\frac{\log x}{x}\sum _{0<a,b}\frac{x^a{x}^b}{a^2}dx\\ & =& -{\int }_0^1\frac{{\text{Li}}_2(x)\log x}{1-x}dx\\ & =& -{\int }_0^1\frac{\log x}{1-x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{tx}{e^t-x}dtdx\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t\zeta (2)-t{e}^t{\text{Li}}_2(e^{-t})}{1-e^t}dt\\ & =& \zeta (2{)}^2+{\int }_0^1\frac{\log x{\text{Li}}_2(x)}{x(1-x)}dx\\ & =& \frac{1}{2}\zeta (2{)}^2+\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\log x{\text{Li}}_2(x)}{1-x}(\frac{1}{x}-1)dx\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)+\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\log x{\text{Li}}_2(x)}{x}dx\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)+\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\log x}{x}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k^2}\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}{\int }_0^1{x}^{k-1}\log xdx\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{e}^{-kt}dt\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)-\frac{1}{2}\zeta (4)\\ & =& \frac{3}{4}\zeta (4)\end{array}$
より、$\zeta (2,2)={\displaystyle \frac{3}{4}\zeta (4)}$も示されました。□
これは余談ですが、
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (2,2)\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^2{b}^2}-\frac{1}{2}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^4}\\ & =& \frac{1}{2}\zeta (2{)}^2-\frac{1}{2}\zeta (4)\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (4)-\frac{1}{2}\zeta (4)\\ & =& \frac{3}{4}\zeta (4)\end{array}$
とすることもできます。

weight5の証明

depth2、weight5の和公式より、
$\zeta (1,4)+\zeta (2,3)+\zeta (3,2)=\zeta (5)$
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (1,4)\\ & =& \zeta (5)-(\zeta (2,3)+\zeta (3,2))\\ & =& 2\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)\end{array}$
また、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(2,3)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a^2{b}^3}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^3}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a^2}\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{b^3}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(a+b{)}^2})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2{b}^3(a+b{)}^2}\\ & =& 2L(1,2,2)+L(2,1,2)\\ & =& 6\zeta (1,4)+3\zeta (2,3)\end{array}$
より、$\zeta (2,3)+\zeta (5)=6\zeta (1,4)+3\zeta (2,3)$であるため、
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (2,3)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}\zeta (5)-3\zeta (1,4)}\\ & =& \frac{1}{2}\zeta (5)-6\zeta (5)+3\zeta (2)\zeta (3)\\ & =& -\frac{11}{2}\zeta (5)+3\zeta (2)\zeta (3)\end{array}$
よって、$\zeta (1,4)=2\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)$ と ${\displaystyle \zeta (2,3)=-\frac{11}{2}\zeta (5)+3\zeta (2)\zeta (3)}$ が示されました。□

weight6の証明

$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(1,5)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a{b}^5}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^5}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a}\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{b^5}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{a{b}^4(a+b)}\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{0<a,b}\frac{a^3+b^3}{a^4{b}^4(a+b)}\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{0<a,b}\frac{a^2+b^2-ab}{a^4{b}^4}\\ & =& \zeta (2)\zeta (4)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2\\ & =& \frac{7}{4}\zeta (6)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2\end{array}$
より、${\displaystyle \zeta (1,5)+\zeta (6)=\frac{7}{4}\zeta (6)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2}$であるため、
${\displaystyle \zeta (1,5)=\frac{3}{4}\zeta (6)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2\dots A}$

また、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(2,4)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a^2{b}^4}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^4}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a^2}\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{b^4}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(a+b{)}^2})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2{b}^4(a+b{)}^2}\\ & =& 2L(1,3,2)+L(2,2,2)\\ & =& 8\zeta (1,5)+4\zeta (2,4)+2\zeta (3,3)\end{array}$
より、$\zeta (2,4)+\zeta (6)=8\zeta (1,5)+4\zeta (2,4)+2\zeta (3,3)$であるから、
$8\zeta (1,5)+3\zeta (2,4)+2\zeta (3,3)=\zeta (6)\dots B$
さらに、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(3,3)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a^3{b}^3}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^3}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a^3}\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{b^3}(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{(a+b{)}^3})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{3ab(a+b)+b^3}{a^3{b}^3(a+b{)}^3}\\ & =& 3L(2,2,2)+L(3,0,3)\\ & =& 12\zeta (1,5)+6\zeta (2,4)+\zeta (3,3)\end{array}$
より、$\zeta (3,3)+\zeta (6)=12\zeta (1,5)+6\zeta (2,4)+\zeta (3,3)$であるから、
$12\zeta (1,5)+6\zeta (2,4)=\zeta (6)\dots C$
$A,B,C$より、
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \zeta (1,5)=\frac{3}{4}\zeta (6)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2\dots A}\\ 8\zeta (1,5)+3\zeta (2,4)+2\zeta (3,3)=\zeta (6)\dots B\\ 12\zeta (1,5)+6\zeta (2,4)=\zeta (6)\dots C\end{array}$
これを解くと、
$\zeta (1,5)={\displaystyle \frac{3}{4}\zeta (6)-\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2}$
$\zeta (2,4)=-{\displaystyle \frac{4}{3}\zeta (6)+\zeta (3{)}^2}$ 、
$\zeta (3,3)=-{\displaystyle \frac{1}{2}\zeta (6)+\frac{1}{2}\zeta (3{)}^2}$が分かります。
また、
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (4,2)\\ & =& \zeta (2)\zeta (4)-\zeta (6)-\zeta (2,4)\\ & =& \frac{3}{4}\zeta (6)+\frac{4}{3}\zeta (6)-\zeta (3{)}^2\\ & =& \frac{25}{12}\zeta (6)-\zeta (3{)}^2\end{array}$
より、weight6は全て示されました。□

weight7の証明

depth2、weight7の和公式より、
$\zeta (1,6)+\zeta (2,5)+\zeta (3,4)+\zeta (4,3)+\zeta (5,2)=\zeta (7)$
$\zeta (1,6)=\zeta (7)-(\zeta (2,5)+\zeta (5,2))-(\zeta (3,4)+\zeta (4,3))=3\zeta (7)-\zeta (2)\zeta (5)-\zeta (3)\zeta (4)\dots A$
また、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(2,5)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a^2{b}^5}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^5}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a^2}\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{b^5}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(a+b{)}^2})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2{b}^5(a+b{)}^2}\\ & =& 2L(1,4,2)+L(2,3,2)\\ & =& 10\zeta (1,6)+5\zeta (2,5)+3\zeta (3,4)+2\zeta (4,3)\\ & =& 10\zeta (1,6)+5\zeta (2,5)+\zeta (3,4)+2\zeta (3)\zeta (4)-2\zeta (7)\end{array}$
より、$\zeta (2,5)+\zeta (7)=10\zeta (1,6)+5\zeta (2,5)+\zeta (3,4)+2\zeta (3)\zeta (4)-2\zeta (7)$であるから、
$10\zeta (1,6)+4\zeta (2,5)+\zeta (3,4)=3\zeta (7)-2\zeta (3)\zeta (4)\dots B$
さらに、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(3,4)\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{1}{a^3{b}^4}\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^4}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a^3}\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{1}{b^4}(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{(a+b{)}^3})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{3ab(a+b)+b^3}{a^3{b}^4(a+b{)}^3}\\ & =& 3L(2,3,2)+L(3,1,3)\\ & =& 20\zeta (1,6)+10\zeta (2,5)+4\zeta (3,4)\end{array}$
より、$\zeta (3,4)+\zeta (7)=20\zeta (1,6)+10\zeta (2,5)+4\zeta (3,4)$であるから、
$20\zeta (1,6)+10\zeta (2,5)+3\zeta (3,4)=\zeta (7)\dots C$
$A,B,C$より、
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle 3\zeta (7)-\zeta (2)\zeta (5)-\zeta (3)\zeta (4)=\zeta (1,6)\dots A}\\ 10\zeta (1,6)+4\zeta (2,5)+\zeta (3,4)=3\zeta (7)-2\zeta (3)\zeta (4)\dots B\\ 20\zeta (1,6)+10\zeta (2,5)+3\zeta (3,4)=\zeta (7)\dots C\end{array}$
これを解くと、
$\zeta (1,6)=3\zeta (7)-\zeta (2)\zeta (5)-\zeta (3)\zeta (4)$
$\zeta (2,5)=-11\zeta (7)+5\zeta (2)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (4)$
$\zeta (3,4)=17\zeta (7)-10\zeta (2)\zeta (5)$が分かります。
また、
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (4,3)\\ & =& \zeta (3)\zeta (4)-\zeta (7)-\zeta (3,4)\\ & =& -18\zeta (7)+10\zeta (2)\zeta (5)+\zeta (3)\zeta (4)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (5,2)\\ & =& \zeta (2)\zeta (5)-\zeta (7)-\zeta (2,5)\\ & =& 10\zeta (7)-4\zeta (2)\zeta (5)-2\zeta (3)\zeta (4)\end{array}$
より、weight7は全て示されました。□

おわりに

全ての式を1から導出し直したので、かなり疲れました。この記事の中で書いた証明で様々な方法を扱っているので、一通り見て損はないと思います。また、weight7になって急に係数が全て整数になったのは興味深いですね。weight8を計算してみるとどうなるのか楽しみです。