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depth2,weight7以下のMZVを求める

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

この記事では$\zeta(2,4)$$\zeta(1,6)$などのdepthが2、weightが7以下のものを全て求めていきます。時間に余裕があればweight8以上も作っていきます。
前提知識としてdepth2の和公式が必要ですが、これは$\zeta(1,n-1)$を考えることで証明ができます。詳しくはkozyさんが証明をしているので こちら を参照してください。
また、この記事では表記を省略するために函数$\displaystyle L(p,q,r)=\sum_{0\f a,b}\frac1{a^pb^q(a+b)^r} $を定義しています。
この函数の性質として、
$L(p,q,r)=L(q,p,r) $
$L(p,0,r)=\zeta(p,r) $
$L(p,q,r)=L(p-1,q,r+1)+L(p,q-1,r+1)~~~~~(0\f p,q) $
というものがあります。上二つは自明ですが、下は$\displaystyle \frac1{ab}=\left(\frac1a+\frac1b \right)\frac1{a+b} $からわかります。
weightが大きくなるとこの函数の計算量が増えるのでプログラムに任せることが多々あります。ご了承ください。

一覧表

$ \zeta(1,2)=\zeta(3)\\ \zeta(1,3)=\displaystyle\frac14\zeta(4)\\ \zeta(2,2)=\displaystyle\frac34\zeta(4)\\ \zeta(1,4)=2\displaystyle\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)\\ \zeta(2,3)=-\displaystyle \frac{11}2\zeta(5)+3\zeta(2)\zeta(3)\\ \zeta(3,2)=\displaystyle\frac92\zeta(5)-2\zeta(2)\zeta(3)\\ \zeta(1,5)=\displaystyle\frac34\zeta(6)-\frac12\zeta(3)^2\\ \zeta(2,4)=-\displaystyle\frac43\zeta(6)+\zeta(3)^2\\ \zeta(3,3)=-\displaystyle\frac12\zeta(6)+\frac12\zeta(3)^2\\ \zeta(4,2)=\displaystyle\frac{25}{12}\zeta(6)-\zeta(3)^2\\ \zeta(1,6)=3\zeta(7)-\zeta(2)\zeta(5)-\zeta(3)\zeta(4)\\ \zeta(2,5)=-11\zeta(7)+5\zeta(2)\zeta(5)+2\zeta(3)\zeta(4)\\ \zeta(3,4)=17\zeta(7)-10\zeta(2)\zeta(5)\\ \zeta(4,3)=-18\zeta(7)+10\zeta(2)\zeta(5)+\zeta(3)\zeta(4)\\ \zeta(5,2)=10\zeta(7)-4\zeta(2)\zeta(5)-2\zeta(3)\zeta(4)\\ $

weight3の証明

$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(1,2)\\ &=&\sum_{0\f a \le b}\frac1{ab^2}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^2}\sum_{a=1}^b\frac1a\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^2}\sum_{a=1}^\infty \left(\frac1a-\frac1{a+b} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{ab(a+b)}\\ &=&\sum_{0\f a,b} \left(\frac1a+\frac1b \right)\frac1{(a+b)^2}\\ &=&2\zeta(1,2) \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(1,2)+\zeta(3)= 2\zeta(3)$であるため、
$\zeta(1,2)=\zeta(3) $が示されました。□

weight4の証明

$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(2,2)\\ &=&\sum_{0\f a \le b}\frac1{a^2b^2}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^2}\sum_{a=1}^b \frac1{a^2}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^2}\sum_{a=1}^\infty \left(\frac1{a^2}-\frac1{(a+b)^2} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b} \frac{2ab+b^2}{a^2b^2(a+b)^2}\\ &=&\zeta(2,2)+2\sum_{0\f a,b}\frac1{ab(a+b)^2}\\ &=&\zeta(2,2)+2\sum_{0\f a,b}\left(\frac1a+\frac1b \right)\frac1{(a+b)^3}\\ &=&\zeta(2,2)+4\zeta(1,3) \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(2,2)+\zeta(4)=\zeta(2,2)+4\zeta(1,3) $であるため、
$\zeta(1,3)=\displaystyle\frac14\zeta(4) $が示されました。
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(2,2)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{a(a+b)^2}\\ &=&-\sum_{0\f a,b}\frac1{a^2}\int_0^1x^{a+b-1} \log xdx\\ &=&-\int_0^1 \frac{\log x}x\sum_{0\f a,b}\frac{x^ax^b}{a^2}dx\\ &=&-\int_0^1 \frac{\text{Li}_2(x)\log x }{1-x}dx\\ &=&-\int_0^1 \frac{\log x}{1-x}\int_0^\infty \frac{tx}{e^t-x}dtdx\\ &=&-\int_0^\infty \frac{t\zeta(2)-te^t\text{Li}_2(e^{-t})}{1-e^t}dt\\ &=&\zeta(2)^2+\int_0^1 \frac{\log x\text{Li}_2(x)}{x(1-x)}dx\\ &=&\frac12\zeta(2)^2+\frac12\int_0^1\frac{\log x\text{Li}_2(x)}{1-x}\left(\frac1x-1 \right)dx\\ &=&\frac54\zeta(4)+\frac12\int_0^1 \frac{\log x\text{Li}_2(x)}xdx\\ &=&\frac54\zeta(4)+\frac12\int_0^1 \frac{\log x}x\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}\\ &=&\frac54\zeta(4)+\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}\int_0^1 x^{k-1}\log xdx\\ &=&\frac54\zeta(4)-\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2} \int_0^\infty te^{-kt}dt\\ &=&\frac54\zeta(4)-\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4}\\ &=&\frac54\zeta(4)-\frac12\zeta(4)\\ &=&\frac34\zeta(4) \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(2,2)=\displaystyle\frac34\zeta(4) $も示されました。□
これは余談ですが、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(2,2)\\ &=&\frac12\sum_{a=1}^\infty\sum_{b=1}^\infty \frac1{a^2b^2}-\frac12\sum_{a=1}^\infty \frac1{a^4}\\ &=&\frac12\zeta(2)^2-\frac12\zeta(4)\\ &=&\frac54\zeta(4)-\frac12\zeta(4)\\ &=&\frac34\zeta(4) \end{eqnarray*} $
とすることもできます。

weight5の証明

depth2、weight5の和公式より、
$\zeta(1,4)+\zeta(2,3)+\zeta(3,2)=\zeta(5) $
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(1,4) \\ &=&\zeta(5)-(\zeta(2,3)+\zeta(3,2))\\ &=&2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3) \end{eqnarray*} $
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(2,3)\\ &=&\sum_{0\f a\le b}\frac1{a^2b^3}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^3}\sum_{a=1}^b\frac1{a^2}\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{b^3}\left(\frac1{a^2}-\frac1{(a+b)^2} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b} \frac{2ab+b^2}{a^2b^3(a+b)^2}\\ &=&2L(1,2,2)+L(2,1,2)\\ &=&6\zeta(1,4)+3\zeta(2,3) \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(2,3)+\zeta(5)=6\zeta(1,4)+3\zeta(2,3) $であるため、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(2,3)\\ &=&\displaystyle\frac12\zeta(5)-3\zeta(1,4) \\ &=&\frac12\zeta(5)-6\zeta(5)+3\zeta(2)\zeta(3)\\ &=&-\frac{11}2\zeta(5)+3\zeta(2)\zeta(3) \end{eqnarray*} $
よって、$\zeta(1,4)=2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)$$\d\zeta(2,3)=-\frac{11}2\zeta(5)+3\zeta(2)\zeta(3) $ が示されました。□

weight6の証明

$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(1,5)\\ &=&\sum_{0\f a\le b}\frac1{ab^5}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^5}\sum_{a=1}^b \frac1a\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{b^5}\left(\frac1a-\frac1{a+b} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{ab^4(a+b)}\\ &=&\frac12\sum_{0\f a,b}\frac{a^3+b^3}{a^4b^4(a+b)}\\ &=&\frac12\sum_{0\f a,b}\frac{a^2+b^2-ab}{a^4b^4}\\ &=&\zeta(2)\zeta(4)-\frac12\zeta(3)^2\\ &=&\frac74\zeta(6)-\frac12\zeta(3)^2\\ \end{eqnarray*} $
より、$\d\zeta(1,5)+\zeta(6)= \frac74\zeta(6)-\frac12\zeta(3)^2$であるため、
$\d\zeta(1,5)= \frac34\zeta(6)-\frac12\zeta(3)^2~~~~~~~~~~~~ \ldots A$

また、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(2,4)\\ &=&\sum_{0\f a\le b}\frac1{a^2b^4}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty\frac1{b^4}\sum_{a=1}^b\frac1{a^2}\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{b^4}\left(\frac1{a^2}-\frac1{(a+b)^2} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b} \frac{2ab+b^2}{a^2b^4(a+b)^2}\\ &=&2L(1,3,2)+L(2,2,2)\\ &=&8\zeta(1,5)+4\zeta(2,4)+2\zeta(3,3)\\ \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(2,4)+\zeta(6)=8\zeta(1,5)+4\zeta(2,4)+2\zeta(3,3) $であるから、
$8\zeta(1,5)+3\zeta(2,4)+2\zeta(3,3)=\zeta(6)~~~~~~~~~~~~ \ldots B $
さらに、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(3,3)\\ &=&\sum_{0\f a\le b}\frac1{a^3b^3}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^3}\sum_{a=1}^b\frac1{a^3}\\ &=&\sum_{0\f a,b} \frac1{b^3}\left(\frac1{a^3}-\frac1{(a+b)^3} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b} \frac{3ab(a+b)+b^3}{a^3b^3(a+b)^3}\\ &=&3L(2,2,2)+L(3,0,3)\\ &=&12\zeta(1,5)+6\zeta(2,4)+\zeta(3,3) \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(3,3)+\zeta(6)=12\zeta(1,5)+6\zeta(2,4)+\zeta(3,3) $であるから、
$12\zeta(1,5)+6\zeta(2,4)=\zeta(6)~~~~~~~~~~~~ \ldots C $
$A,B,C$より、
$ \begin{cases} \d\zeta(1,5)= \frac34\zeta(6)-\frac12\zeta(3)^2~~~~~~~~~~~~ \ldots A \\ 8\zeta(1,5)+3\zeta(2,4)+2\zeta(3,3)=\zeta(6)~~~~~~~~~~~~ \ldots B \\ 12\zeta(1,5)+6\zeta(2,4)=\zeta(6)~~~~~~~~~~~~ \ldots C \end{cases} $
これを解くと、
$\zeta(1,5)=\displaystyle\frac34\zeta(6)-\frac12\zeta(3)^2\\ $
$\zeta(2,4)=-\displaystyle\frac43\zeta(6)+\zeta(3)^2$
$\zeta(3,3)=-\displaystyle\frac12\zeta(6)+\frac12\zeta(3)^2~~~~~~~$が分かります。
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(4,2)\\ &=&\zeta(2)\zeta(4)-\zeta(6)-\zeta(2,4)\\ &=&\frac34\zeta(6)+\frac43\zeta(6)-\zeta(3)^2\\ &=&\frac{25}{12}\zeta(6)-\zeta(3)^2 \end{eqnarray*} $
より、weight6は全て示されました。□

weight7の証明

depth2、weight7の和公式より、
$\zeta(1,6)+\zeta(2,5)+\zeta(3,4)+\zeta(4,3)+\zeta(5,2)=\zeta(7)$
$\zeta(1,6)=\zeta(7)-(\zeta(2,5)+\zeta(5,2))-(\zeta(3,4)+\zeta(4,3))=3\zeta(7)-\zeta(2)\zeta(5)-\zeta(3)\zeta(4)~~~~~~~~~~~~ \ldots A $
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(2,5)\\ &=&\sum_{0\f a \le b}\frac1{a^2b^5}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^5}\sum_{a=1}^b \frac1{a^2}\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{b^5}\left(\frac1{a^2}-\frac1{(a+b)^2} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2b^5(a+b)^2}\\ &=&2L(1,4,2)+L(2,3,2)\\ &=&10\zeta(1,6)+5\zeta(2,5)+3\zeta(3,4)+2\zeta(4,3)\\ &=&10\zeta(1,6)+5\zeta(2,5)+\zeta(3,4)+2\zeta(3)\zeta(4)-2\zeta(7) \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(2,5)+\zeta(7)=10\zeta(1,6)+5\zeta(2,5)+\zeta(3,4)+2\zeta(3)\zeta(4)-2\zeta(7) $であるから、
$10\zeta(1,6)+4\zeta(2,5)+\zeta(3,4)=3\zeta(7)-2\zeta(3)\zeta(4)~~~~~~~~~~~~ \ldots B $
さらに、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta^*(3,4)\\ &=&\sum_{0\f a \le b}\frac1{a^3b^4}\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^4}\sum_{a=1}^b \frac1{a^3}\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{b^4}\left(\frac1{a^3}-\frac1{(a+b)^3} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac{3ab(a+b)+b^3}{a^3b^4(a+b)^3}\\ &=&3L(2,3,2)+L(3,1,3)\\ &=&20\zeta(1,6)+10\zeta(2,5)+4\zeta(3,4)\\ \end{eqnarray*} $
より、$\zeta(3,4)+\zeta(7)= 20\zeta(1,6)+10\zeta(2,5)+4\zeta(3,4)$であるから、
$20\zeta(1,6)+10\zeta(2,5)+3\zeta(3,4)=\zeta(7)~~~~~~~~~~~~ \ldots C $
$A,B,C$より、
$ \begin{cases} \d3\zeta(7)-\zeta(2)\zeta(5)-\zeta(3)\zeta(4)=\zeta(1,6)~~~~~~~~~~~~ \ldots A \\ 10\zeta(1,6)+4\zeta(2,5)+\zeta(3,4)=3\zeta(7)-2\zeta(3)\zeta(4)~~~~~~~~~~~~ \ldots B\\ 20\zeta(1,6)+10\zeta(2,5)+3\zeta(3,4)=\zeta(7)~~~~~~~~~~~~ \ldots C \end{cases} $
これを解くと、
$\zeta(1,6)=3\zeta(7)-\zeta(2)\zeta(5)-\zeta(3)\zeta(4) $
$\zeta(2,5)=-11\zeta(7)+5\zeta(2)\zeta(5)+2\zeta(3)\zeta(4) $
$\zeta(3,4)=17\zeta(7)-10\zeta(2)\zeta(5)\\ ~~~~~~~$が分かります。
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(4,3)\\ &=&\zeta(3)\zeta(4)-\zeta(7)-\zeta(3,4)\\ &=&-18\zeta(7)+10\zeta(2)\zeta(5)+\zeta(3)\zeta(4) \end{eqnarray*} $
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(5,2)\\ &=&\zeta(2)\zeta(5)-\zeta(7)-\zeta(2,5)\\ &=&10\zeta(7)-4\zeta(2)\zeta(5)-2\zeta(3)\zeta(4) \end{eqnarray*} $
より、weight7は全て示されました。□

おわりに

全ての式を1から導出し直したので、かなり疲れました。この記事の中で書いた証明で様々な方法を扱っているので、一通り見て損はないと思います。また、weight7になって急に係数が全て整数になったのは興味深いですね。weight8を計算してみるとどうなるのか楽しみです。

投稿日:2020117

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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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