奥深い判別式の話-高校数学編

$D=b^2-4ac,$
$\begin{align}a^2(\alpha-\beta)^2&=a^2\left(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2 \\&=a^2\left(\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\right)^2 \\&=b^2-4ac \end{align}$
より示された.

まず,前半の主張について$S>0$ということは,$y=f(x)$と$x$軸(つまり,$y=0$))が交点を持つことであるので,定理$1$より従う.
後半の主張を示す.$y=f(x)$と$y=0$の交点の$x$座標を$\alpha,\beta$とすると,定理$2$より,$D=a(\alpha-\beta)^2$である.さらに,$\displaystyle\frac16$公式より,($x=\alpha$と$x=\beta$の間で$f(x)$の符号は変化しないので)
$\begin{align} S&=\left|\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\right|\\ &=\left|\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)dx\right|\\ &=\left|a\cdot\frac{(\alpha-\beta)^3}{6}\right|\\ &=\left|\frac{(a^2(\alpha-\beta)^{2})^{\frac32}}{6a^2}\right|=\frac{D^{\frac32}}{6a^2} \end{align}$
(絶対値をつけているので途中の絶対値の中の正負は見やすいように入れ替えたりしている)よって示された.

まず$\Delta$は$\alpha_1,...,\alpha_n$の対称式であることに注意する.これは$\Delta$の定義式のかけ算が全ての解の組について差を取って二乗しているのでどの二つを交換しても(二乗のおかげで)値が変わらないことからわかる.
対称式は基本対称式の多項式の形で書けるので示された.

(最後の部分について補足しておく.少し複雑なので飛ばして良い)
どのように$\Delta$が$f(x)$の係数で表されていくのか考える.$f(x)=x^n+s_1x^{n-1}+...+s_{n-1}x+s_n$と置いておく.
まずは$\Delta$をゴリゴリ展開したとする.これは一般に莫大な長さの式になる.しかしこれは$\alpha_1,...,\alpha_n$の対称式になる.さらに$\alpha_i$の次数の総和はどの項も等しい.(つまり斉次である).このとき次の操作を繰り返していくとできる:
まず次数が最も偏っているもの項達を選ぶ.つまり$\Delta=k\displaystyle\sum_{sym}\alpha_1^{a_1}...\alpha_n^{a_n}+($その他の項$)$として,
(ここで$k$は定数,$a_i$は単調増加数列$sym$はΣの中身を対称式になるように変数を交換したものを足してあげたものである)
他のどの項に対しても任意の$i$に対して$\displaystyle\sum_{k=1}^i a_k\geq\sum_{k=1}^ib_k$となるように選ぶのである.(muirheadの不等式の仮定とかに良く出てくるやつである.)

とにかくもっとも次数が偏っている項を見つけたら,その項を$\displaystyle\prod_{k=1}^n s_k^{a_k-a_{k+1}}-($その他の項$)$(ただし$a_{n+1}=0$)で置き換える.すると,$\Delta$の各項の次数は減少する.従ってこの操作はいつか終わるので,そのとき$\Delta$は$s_1,...,s_n$の多項式で表される.

まず$\Longrightarrow$を示す.仮定と因数定理より$f(x)=(x-\alpha)^2g(x)$となる多項式$g(x)$が存在する.よって$f'(x)=(x-\alpha)((x-\alpha)g'(x)+2g(x))$となるため$f'(\alpha)=0$.$f(\alpha)=0$は自明である.

次に$\Longleftarrow$を示す.仮定と因数定理,剰余の定理より$f(x)=(x-\alpha)^2g(x)+k(x-\alpha)$となる多項式と定数$g(x),k$が存在する.よって微分して$\alpha$を代入すると,$k$になるので,仮定とあわせて$k=0$を得る.従って$f(x)$は$(x-\alpha)^2$で割り切れるので$x=\alpha$で重解を持つ.

$f(x)=(x-\gamma_1)(x-\gamma_2)(x-\gamma_3)$とすると,$\Delta=(\gamma_1-\gamma_2)^2(\gamma_2-\gamma_3)^2(\gamma_3-\gamma_1)^2$である.
積の微分より$f'(\gamma_i)=(\gamma_i-\gamma_{i+1})(\gamma_i-\gamma_{i-1})$となる($\gamma$の添え字は$\bmod3$で考えている)また$f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)$なので,
$$(\gamma_i-\gamma_{i+1})(\gamma_i-\gamma_{i-1})=3(\gamma_i-\alpha)(\gamma_i-\beta)$$従って
$\begin{align} \Delta&=-\prod_{i=1}^3(\gamma_i-\gamma_{i+1})(\gamma_i-\gamma_{i-1}) \\&=-27\prod_{i=1}^3(\gamma_i-\alpha)(\gamma_i-\beta) \\&=-27(\alpha-\gamma_1)(\alpha-\gamma_2)(\alpha-\gamma_3)(\beta-\gamma_1)(\beta-\gamma_2)(\beta-\gamma_3) \\&=-27f(\alpha)f(\beta) \end{align}$
よって示された.