こんにちは ごててんです 最近概念になりました
位相空間論の勉強に記事を書くことにしました Wikipedia, Mathpedia, 内田集合位相に頼りきった記事です!!! またこの記事は過去の自分に向けて書いています((
この記事の目標は「近傍, 開基, 第1可算公理, 第2可算公理を定義して簡単な性質を示す」ことです
具体的な前提知識 → 可算集合の定義, 距離化可能の定義, 位相空間の定義, 基礎的な解析の知識
(距離空間・距離化可能・位相空間の定義は↓の記事で)
距離化不可能な位相で入門(?)する距離空間
位相空間は開集合で記述される幾何学チックな集合だと私は認識しているのですが 今回は可算無限という無限と呼ばれるものの中で最も人間が理解しやすいものの力を使って空間を分類します この可算無限で開集合の「量」を制限します
第1可算公理, 第2可算公理, 可分空間を定義したのちに 以下の錬金レシピを示すことです
第1可算公理を定義する準備として近傍と基本近傍系を定義します
ふわふわ~っと日本語にしましょう 点
ユークリッド平面の点
こういう図を書いたの久しぶり
休憩(?)に簡単な命題を示しておきます
さて 近傍でない例も見ておきましょう
ユークリッド平面の点
定規って便利
はい! ここで 直感的でないもの代表こと 離散位相さんにお越しいただきました さて離散位相ではすべての部分集合が開集合となるのでした したがって次の命題を得ます
(1)を仮定すると,
するとどうでしょう 例2は通常の位相で考えれば近傍となりませんが 離散位相で考えれば近傍となることがわかりました! さすが離散位相ですね
さて近傍のイメージがつかめてきたと思います 次に基本近傍系を定義します よくわからないヤツです
ふわふわ~~っと日本語にすると どんな近傍をとってきてもそれより小さい近傍を必ずとってこれる便利セットが基本近傍系です なんだかイプシロンデルタを感じますね さて 次の命題を示しておきます これはガッツリ伏線です
証明の指針を書きます 書いてある証明を読むより指針を読んでそこから証明を完成させるほうが楽しいと思いますし(え)
全部画像にしたほうがわかりやすい気がしてきた
ようやく準備が終わりました 第1可算公理を定義します! ここから読むしんどさが5倍以上になります!!!!
位相空間が任意の点において高々可算個の近傍からなる基本近傍系をもつとき, 第1可算公理を満たしているという.
よくわかりませんね!
わかりやすい性質として 第1可算公理を満たす位相空間において「点列連続ならば連続」が成立します これは実数列での「
第1可算公理は近傍に対して可算個の近傍族を用意することで自然数によって添字付けられた点列を支配下にできます 可算という性質は数列のようなものと相性が良さそう!と考えると自然な定義に見えてきますね!見えてくるので 見えてきます 見えてきますよ
逆を言えば点列を扱うなら第1可算公理がないとどうしようもないのかもしれないです(急に自信なさげ)
命題3の系として次を得ます.
距離化可能な位相空間は第1可算公理を満たしている.
よって人間がパッと思いつくような空間では第1可算公理の恩恵を受けることができます
逆は成り立ちません それを紹介します
密着位相
第2可算公理を定義するために(深入りしませんが)開基を定義します
開基は位相空間の前段階であり 開集合になれる才能を持った者たちのことです 考える理由の一つとして連続写像であることを示すのがラクになる(開基に属する集合すべてにおいて連続写像っぽい性質が成り立てばその開基によってできる位相空間で連続写像になっている)などのものがあります
さて 定義するだけしてしまいます
よくわからないので具体例を見ていきます
実数全体に通常の位相を入れたとき 開区間の全体は開基になります
例えば
のように実数全体は開区間の和集合で表せます
位相空間であることの定義に 無限個の開集合の和集合も開集合である, というものがありました これに対応したものが開基であり この条件を無理矢理満たしてやろう!というのが開基の魂胆です
定義より 開基が存在すればその和集合をとりまくることで位相空間を復元できます!
次に第2可算公理を定義します!!!!!! ...疲れてきたので落ち着きます ハァーッ
位相空間が高々可算個の開集合からなる開基をもつとき, 第2可算公理を満たしているという.
よくわかりませんね 具体例を見ていきましょう
当然ですが
ユークリッド空間
ユークリッド空間
証明中に出てくるものを図にしました↓
頭が爆発する
有理点
開基となることを示す.
信じられないぐらい状況把握が面倒な証明になってしまいました
さて 第2可算公理のうれしさを書きます
まず第2可算公理を満たす正規ハウスドルフ空間は距離化可能であるという事実があります(ウリゾーンの距離化定理) あまりに衝撃的です
後は命題の形で書いていきたいと思います(証明が少し重くて今後一切出ないので読み飛ばしてもいいです)
離散位相
離散位相
さて これで第2可算公理のうれしさがいろいろわかりましたね!!! 私はここで証明をいろいろ考えてバテました(疲れた)
やりたい部分までもう一息です!がんばりましょう!(これは記事を書いている自分に向けて書いています)
可分空間を定義する準備として閉集合・閉包・稠密を定義します
閉集合を深入りせずにスススーっと定義していきます
開集合と閉集合は解析学において同時期に定義されるものでおなじみですね そのニュアンスです(投げ) ユークリッド空間における閉集合もその補集合が開集合になっているはずです(投げ)
さて閉包を定義します!!!!!!!
閉包を定義しました また一般に閉包は閉集合になります(証明略)(証明しないの!?)
また
閉集合はこのままだと扱いが難しいので 次の有用な命題を示しておきます
この命題により 元が閉包に含まれることがとても示しやすくなりました!!! これはこの後に定義する可分空間にまつわる命題を示す際の(この記事における)メインウェポンになります この記事を書いているときも技術的なラクさを実感しました(
この記事を読んでいる人が閉集合の定義を知らない確率を考えると稠密性から書いてよかったような気もしますが(?) 準備ができたので稠密性を定義します
最も有名な稠密の例を挙げます 有理数全体の集合は実数全体の集合の稠密な部分集合です といいますか この例の一般化が上の定義な気がします
この例からもわかるように
離散位相では その集合自身のみが稠密な部分集合となります すべての点が離散していますから納得ですね
密着位相では 空でない任意の部分集合が稠密な部分集合となります すべての点が密着していますから納得ですね
さて この記事の第3の主人公こと 可分空間を定義します
位相空間が稠密で濃度が高々可算な部分集合をもつとき, 可分空間とよぶ
可分空間は「大きすぎない」位相空間になります そう Wikipedia にも Mathpedia にも書いてありました(おい)
可分空間の性質は次の見出しで...(うずうず)
ここまで長かった... すでに6000文字打っています これは漢検1級の出題範囲となる漢字とほぼ同じ文字数です(謎)
可算公理の関係を調べていきましょう!!! まずはこれ!!!!!!!!!!!!!!!
第2可算公理を満たす位相空間は第1可算公理を満たし, 可分空間である.
第1可算公理より真に強いことから第2可算公理のネーミングにも納得ですね
では次!!!!!
距離化可能な可分空間は第2可算公理を満たす.
この命題から 距離空間において可分空間であることと第2可算公理を満たすことが同値であるとわかりました!!!
この記事をまとめると以下のような感じです
結構示しましたね~~
気軽に書き始めたのですがかなり長い記事になってしまいました((
ここまで読んでいただきありがとうございました!!!
見やすい / 面白いと思っていただけた方 グッドよろしくおねがいします~~~
それでは!