楽しそうにやる位相空間　近傍と開基と可算公理

$x \in N \subset N$ が成立.

(1)を仮定すると, $A$は$x$を含み離散位相$(X,2^X)$において開集合であるから命題1を用いればよい.　(2)を仮定すると開集合$N \in 2^X$があり $x \in N \subset A$であるから, とくに$x\in A$を得る.

$N$を点$x$の近傍とする. $N=X$であるとき小さい開近傍を取れることは明らかであるので$N \ne X$としてよい.

$I =\inf\{ \hspace{2pt} d(x,y) \hspace{2pt} | \hspace{2pt} y \in X $かつ$ y \notin N \hspace{2pt} \}>0$となることを示す. $I=0$であるとすると, $X$の元で$N$に含まれないような点の列$\{ y_n \}_{n=1}^{\infty} $で$d(x,y_n)<\frac{1}{n}$ となるような列がとれる. $N$は$x$の近傍であることから, 開集合$O$があり $x \in O \subset N$ とできる. さて, $O$は開集合であるから属する点$x$の$\epsilon$近傍$N_{\epsilon}(x)=\{ \hspace{2pt} y\in X \hspace{2pt} | \hspace{2pt} d(x,y) < \epsilon \hspace{2pt} \}$ $ (\epsilon > 0) $がとれて$N_{\epsilon}(x) \subset O$とできる. このとき, $n_0 > \frac{1}{\epsilon}$となる自然数$n_0$をとると$d(x,y_{n_0})<\frac{1}{N}<\epsilon$であり, $y_{n_0} \notin N$, とくに$y_{n_0} \notin O$ であることに反する. よって, $I>0$.

$I$の定義より$y\notin N$とすると$d(x,y) \geq I$. 対偶をとると$d(x,y)< I$ ならば$y\in N$,とできる. このとき$n > \frac{1}{I}$とすれば $y \in B_n(x)$ としたとき $d(x,y)<\frac{1}{n}< I$であるから$y\in N$を得る. したがって, $B_n(x) \subset N$.

$x \in X$とするとき, $x$の近傍は$X$のみである. したがって, 任意の点において基本近傍系を$\{X\}$とすればよい.

有理点$\mathbb{Q}^n$を中心とする半径が有理数の$\epsilon$-近傍全体の集合$Q$を考える. この集合の濃度は$|\mathbb{Q}^{n+1}|=|\mathbb{N}^{n+1}|=|\mathbb{N}|$であるので可算集合.

開基となることを示す. $O$を開集合とするとき, $O$の任意の元$x$に対して正の数$\epsilon(x)>0$があり（見やすさの都合から添え字でなく関数の形で書いている）開近傍$N_{\epsilon(x)}(x)=\{ \hspace{2pt} y\in X \hspace{2pt} | \hspace{2pt} d(x,y) < \epsilon (x) \hspace{2pt} \}$を$O$に含まれるようにとれる. 有理数の稠密性より開近傍$N'_{\epsilon(x)}(x)=\{ \hspace{2pt} y\in X \hspace{2pt} | \hspace{2pt} d(x,y) < \frac{\epsilon (x)}{2} \hspace{2pt} \}$の中に有理点$q_x$が取れる. さらに, 有理数の稠密性より$d(q_x,x)< q<\frac{\epsilon (x)}{2}$となる有理数$q$が存在し, $q_x$中心とする半径$q$の開近傍をとるとこれは$N_{\epsilon(x)}(x)$に含まれ, $x$を含み, とくに$O$に含まれる. この有理点$q_x$を中心とする半径が$q$の開近傍を$Q_x$と書く. またこれは$Q$の元である. このとき, $O=\displaystyle \bigcup_{x \in O}Q_x $であるので, 開集合を$Q$の元の和集合で書くことができた.

離散位相$(X,2^X)$が第2可算公理を満たすとすると, 高々可算個の開集合からなる開基をもつ. $x\in X$とすれば, $\{x\}$は開集合であることから開基の元を可算個とってきて和集合でかけるはずであり, 空でない開基の元$O_1 , \cdots , O_n $をとり $\{x\}=O_1 \cup \cdots \cup O_n$とできる. すると$O_1 \subset O_1 \cup \cdots \cup O_n = \{x\}$ より$O_1 = \{x\}$. よって, 開基は一元集合をすべて含む. (さらに, $X$の部分集合はすべて一元集合の和で表せることから一元集合の全体が開基となることがわかる.) したがって, 開基の濃度が高々可算であることから$X$の濃度も高々可算である. $X$の濃度が高々可算であるとすると, 開基として一元集合の全体をとることができる. これは高々可算の濃度をもつ.

$(X,\mathcal{O})$を位相空間とするとき, その開基$B \subset \mathcal{O}$をとると, $B$の濃度が高々可算であることから$B$の元の和集合によって表される元のパターンの濃度は$|2^B| \leq |2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|$. したがって, $|\mathcal{O}| \leq |2^B| \leq |\mathbb{R}|$よりわかる.

$V \subset X$に対して開集合族$\{O_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$を $\displaystyle V \subset \bigcup_{ \lambda \in \Lambda } O_{ \lambda } $となるようにとる. すると$O_{\lambda}$に対して, 開基の部分集合$B_{\lambda}$をとれて, $B_{\lambda}$の元全体の和集合が$O_{\lambda}$となるようにできる. このとき, 開基の部分集合 $\displaystyle B_{\Lambda} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_{\lambda} $を考えることができ, 開基が高々可算個の開集合からなることより, $B_{\Lambda} = \{ O'_1 , O'_2 , \cdots \}$とできる（自然数で添字付けることができる）. さて, $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_{\lambda} = \{ O'_1 , O'_2 , \cdots \}$であるから各$O'_n$は$\lambda_n \in \Lambda$があり$O'_n \in B_{\lambda_n}$とでき, $n$に対して$O_{\lambda_n}$を対応させることができる. ここで, $O'_n \subset O_{\lambda_n}$が成立している. $x \in V$とすれば, $\lambda \in \Lambda$があり $x \in O_{\lambda}$. さらに, $B_{\lambda}$の元$O'$があり$x \in O'$が成立. ここで, $O' \in B_{\Lambda}$であるから自然数$N$が存在して $O'=O'_N$. したがって, $\displaystyle x \in O'_N \subset O_{\lambda_N} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} O_{\lambda_n} .$

$x \notin \overline{A}$とするなら $X-\overline{A}$は開集合であり, これは$A$との共通部分を持たない$x$の開近傍. 対偶を取れば, 任意の$x$の近傍が$A$と共通部分をもてば$x \in \overline{A}$とできる. 逆に, $A$と共通部分をもたない$x\in X$の近傍$N$をとる. すると, $x \in N^i$と$A \subset X - N^i$が成立する. ここで, $X-N^i$は閉集合であるから$\overline{A} \subset X - N^i$であり, $x \notin \overline{A}$. これも対偶をとり命題を得る.

$(X,\mathcal{O})$を第2可算公理を満たす位相空間とし, $B$を$\mathcal{O}$の開基で濃度が高々可算であるものとする（これが基本近傍系となることを示す）. $x \in X$として, その近傍$N$をとるとき開集合$O\in \mathcal{O}$がとれて $x\in O \subset N$とできる. すると, $O = O_1 \cup O_2 \cup \cdots$ $(O_1 , O_2 , \cdots \in B)$とかけ, 自然数$n$があり $x \in O_n$. したがって, $B$は基本近傍系であり, これは濃度が高々可算な基本近傍系となる. よって第1可算公理を満たす.

$B=\{O'_1 , O'_2 , \cdots \}$のように開基の元を自然数で添字付けておく（また, 空集合は除いておく）. このとき点列$\{x_n\}^{\infty}_{n=1}$ を　$x_n \in O'_n$となるようにとり, $A=\{ x_n | \hspace{2pt} n \in \mathbb{N} \hspace{2pt} \}$ とする（これが$\overline{A}=X$となることを示す）. $x \in X$として, その近傍$N$をとるとき開集合$O\in \mathcal{O}$がとれて $x\in O \subset N$とできる. すると$O$は$B$の元による和集合であるから, 自然数$m$があり$x \in O'_m \subset N$とできる. このとき, $x_m \in N$であるから, $x$の任意の近傍は$A$と共通部分をもち, $x \in \overline{A}$がわかった.

$(X,\mathcal{O}_d)$を距離関数$d$で距離化できる可分空間とする. $\overline{A}=X$となる高々可算な濃度をもつ集合$A \subset X$をとり, $A=\{x_1 , x_2 , \cdots \}$ と自然数で添字付けておく. $N_{\epsilon}(x)=\{ \hspace{2pt} y\in X \hspace{2pt} | \hspace{2pt} d(x,y) < \epsilon \hspace{2pt} \}$とかくとき, $\mathcal{B}=\{ \hspace{2pt} N_q(x_m) \hspace{2pt} | \hspace{2pt} q\in\mathbb{Q} , m\in \mathbb{N} \hspace{2pt} \}$は高々可算な濃度をもつ集合である. これが開基となることを示す. $O \in \mathcal{O}_d$とするとき $x\in O$とすれば近傍$N_{\epsilon}(x) \subset O$をとれる. また$a \in \overline{A}$であることから$x$の開近傍$N_{\epsilon/2}(x)$は$A$と共通部分をもち, $m \in \mathbb{N}$があり$x_m \in N_{\epsilon/2}(x)$（公開から長らく$x_m \in A$と書いてましたが正しくはこっちでした）とできる. ここで, $d(x,x_m)< q<\frac{\epsilon}{2}$を満たす有理数$q$をとると$x \in N_q(x_m)$. さらに, $y \in N_q(x_m)$とすれば $d(x,y) \leq d(x,x_m) + d(x_m,y) < \epsilon$ より $y\in N_{\epsilon}(x) \subset O$であり, $N_q(x_m) \subset O$. よって, すべての点$x$に対して$\mathcal{B}$の元が定まり, それによって$x$に対応する元すべての和集合は$O$に含まれ, また含んでいる.