Fibonacci 数の行列表示とその応用

自明な等式
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}{L}_{n+1}& L_n\\ L{}_n& L{}_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{L}_n& L_{n-1}\\ L_{n-1}& L_{n-2}\end{array}\right),\\ & \left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\\ F_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right)\end{array}$$を$n$度繰りかえし用いることによって,
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}{L}_1& L_0\\ L_0& L_{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right),\\ & \left(\begin{array}{cc}{F}_1& F_0\\ F_0& F_{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$の成立に帰結される. $◻$

行列表示の等式の両辺の行列式を比較すれば, 行列式の乗法性からこれらの等式が得られる. $◻$

$n=0$の場合は既に成立すると認めた. $n\ne 0$のとき, 行列の各成分を$|F_n|$を法として見ると命題 1 から$P^n$は対角行列に合同であり, 従ってその冪である$P^{kn}$もまた対角行列と合同である. $P^{kn}$は$\left(\begin{array}{cc}{F}_{kn+1}& F_{kn}\\ F_{kn}& F_{kn-1}\end{array}\right)$とも書くことができるから, この行列の対角成分$F_{kn}$が$0$と合同であるということは$F_n\mid F_{kn}$が成立するということである. $◻$

$F_{gcd(m,n)}$と$gcd(F_m,F_n)$が互いに整除しあう関係に在ることを証明する. 先ず, $F_{gcd(m,n)}$が$F_m$と$F_n$の両方を割りきり従って$gcd(F_m,F_n)$を割りきるということは, 先の命題 3 から明白な事である. 続いて$gcd(m,n)=d$と置くと, 一次不定方程式$mA+nB=d$を充たす適当な整数$A,B$を取ることができ, 行列の関係式$P^d=(P^m{)}^A(P^n{)}^B$において右辺が法$gcd(F_m,F_n)$によって対角行列と見なされることから$P^d$も同一の法において対角行列に合同である. $P^d$は$\left(\begin{array}{cc}{F}_{d+1}& F_d\\ F_d& F_{d-1}\end{array}\right)$とも書くことができるから, このとき$F_d$は法$gcd(F_m,F_n)$において$0$と合同になるはずである. 故に, $F_{gcd(m,n)}$と$gcd(F_m,F_n)$は互いを互いの倍数として持つ関係であり, 然も二つは正であるから等しいことが判る. $◻$

(略).