有限体のガロア理論

まず$K$は体なので$G$はアーベル群である.$x\in G$を$G$における位数が最大となる元とし,その位数を$m$とする.もし, ある$y\in G$の位数$n$が$m$を割り切らないとする. このとき, $y$を$y^m$に取り替えて$(m,n)=1$とできる. このとき$xy$の位数が$x$の位数より大きくなる.なぜなら,$(xy{)}^k=1,1\le k<m$なる$k$が存在すると仮定すると,両辺$n$乗して$y^{nk}=1$.従って$m|nk$しかし$(m,n)=1$だったので$m|k$となり,$1\le k<m$に矛盾する.
よって全ての$y\in G$は$y^m=1$を満たす.よって因数定理より$m\ge \mathrm{\#}G$.よって$G\supset H=\{x^k|k\in \mathbb{Z}\}$とすると,$\mathrm{\#}H=m\ge \mathrm{\#}G$が成り立つので,$G=H$.よって$G$は$x$によって生成される巡回群である.

(単射性)$x^p=y^p$とすると両辺を${\displaystyle \frac{\mathrm{\#}K}{p}}(\in \mathbb{N})$乗すると$x=y$となることから従う.
(全射性)任意の$x\in K$に対し$(x^{\mathrm{\#}K/p}{)}^p=x$で$x^{\mathrm{\#}K/p}\in K$であることから従う.

$p$を$K$の標数とする. $a\in L$の$K$上の最小多項式を$f(x)$とする.$f^{\prime }(a)=0$と仮定して,矛盾を示す. このとき$f^{\prime }(x)$は$K$上の$a$を根に持つ$f$より次数の小さい多項式なので$0$である. よって$f(x)$は$x^{kp}$上の項にのみ係数を持つ. 特に$f(x)=a_n{x}^{np}+a_{n-1}{x}^{(n-1)p}+...+a_0$と書ける. ここで定理$2$の系より$b_i^p=a_i$なる$b_i\in K$が存在する. $g(x)=b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+...+b_0$とおくと, 定理$2$の系より,
$$\begin{array}{rl}g(x{)}^p=& b_n^p{x}^{np}+b_{n-1}^p{x}^{(n-1)p}+...+b_0^p\\ =& a_n{x}^{np}+a_{n-1}{x}^{(n-1)p}+...+a_0=f(x)\end{array}$$となる. これは最小多項式の次数の最小性に矛盾する. よって示された.

まず定理$3$より$L/K$は分離拡大.$f:L\to L$が体自己準同型であることは二項定理とコンビネーションの性質,$\mathrm{\#}K=(\mathrm{ch}K{)}^n$となる$n$が存在することから従う.また,定理$2$の系より$a\in K$なら$f(a)=a$.よって$f\in G=\mathrm{Aut}(L/K)$.($f$が全射である事は非自明だが,すぐ後の議論から従う.)
$f$の$G$における位数$m$を求める.まず$f^{[L:K]}(a)=a^{\mathrm{\#}{K}^{[L:K]}}=a^{\mathrm{\#}L}=a$(定理$2$の系より)なので$m|[L:K]$.逆に$m<[L:K]$とすると,全ての$a\in L$に対して$a^n=a$となる$n$が存在することとなり,定理$2$の系に矛盾する.
$L/K$は有限次分離拡大なので$L=K(\alpha )$となる$\alpha \in L$が存在する.その最小多項式を$g(x)$とする.この次数は$[L:K]$である.$g(f^n(\alpha ))=f^n(g(\alpha ))=0$より,$g$は$f^n(\alpha )$を根に持つ.もし,$1\le n<[L:K]$で$f^n(\alpha )=\alpha$となる$n$が存在したとすると,$f^n$は準同型なので任意の$a\in L$に対して$f^n(a)=a$が成り立つこととなり,$f$の位数が$[L:K]$である事に矛盾する.よって$\alpha ,f(\alpha ),...,f^{[L:K]-1}(\alpha )\in L$は全て異なる$g$の根である.従って因数定理より,次数を比べると,$g$の根はそれが全てである事が分かる.これは$L/K$が正規拡大である事を意味する.
以上より$L/K$はガロア拡大であり,#$\mathrm{Gal}(K/L)=[L:K]$は$f$の位数と等しいので,ガロア群は$f$によって生成される巡回群となる.