昨日「Σ[n=0,∞]1/2^(n^2)が無理数であることを示せ。」というツイートをしたところ、Q-rad.heartさんから「Σ_{n ∈ N} 1/2^(n!) が超越数であることを示せ.」という引用リツイートをいただいたので証明してみました。
(証明)とおく。まず、は無理数である(前回の記事を参照)が上次の無理数であったと仮定する。リウヴィルの定理より、となるが、が十分大きいときに矛盾するのでは超越数である。 この証明にリウヴィルの定理を使いましたが、リウヴィルの定理のステートメントを知ったのは今日が初めてでが超越数であることを示すのに使うということぐらいしか知らなかったので折角なので証明してみました。
(リウヴィルの定理)
無理数が上次の無理数であるとき、によって定まる定数が存在して任意の整数に対してが成り立つ。
(証明)
の最小多項式を適当に定数倍して整数係数にしたものをとし、とおく。
のときはとすれば題意をみたすのは明らかである。
であるとする。
まず、がの最小多項式であるので,である。
よって、
一方、
であり、をの範囲で動かしたときには有界であり、となるが存在する。
よって、であり、題意が示された。