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大学数学基礎解説
Σ1/2^(n!) が超越数であることの証明
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昨日「Σ[n=0,∞]1/2^(n^2)が無理数であることを示せ。」というツイートをしたところ、Q-rad.heartさんから「Σ_{n ∈ N} 1/2^(n!) が超越数であることを示せ.」という引用リツイートをいただいたので証明してみました。
(証明)
$\displaystyle x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n!}}$とおく。
まず、$x$は無理数である(前回の記事を参照)
$x$が$\mathbb{Q}$上$m$次の無理数であったと仮定する。
リウヴィルの定理より、$\displaystyle\left|x-\sum_{n=0}^N\frac{1}{2^{n!}}\right|>\frac{c}{(2^{N!})^m}$となるが、$N$が十分大きいときに矛盾するので$x$は超越数である。
$\displaystyle x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n!}}$とおく。
まず、$x$は無理数である(前回の記事を参照)
$x$が$\mathbb{Q}$上$m$次の無理数であったと仮定する。
リウヴィルの定理より、$\displaystyle\left|x-\sum_{n=0}^N\frac{1}{2^{n!}}\right|>\frac{c}{(2^{N!})^m}$となるが、$N$が十分大きいときに矛盾するので$x$は超越数である。
この証明にリウヴィルの定理を使いましたが、リウヴィルの定理のステートメントを知ったのは今日が初めてで$\sum_{n=0}^\infty1/10^{n!}$が超越数であることを示すのに使うということぐらいしか知らなかったので折角なので証明してみました。
(リウヴィルの定理)
無理数$x$が$\mathbb{Q}$上$n$次の無理数であるとき、$x$によって定まる定数$c(x)$が存在して任意の整数$p,q$$(q>0)$に対して$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{c(x)}{q^n}$が成り立つ。
無理数$x$が$\mathbb{Q}$上$n$次の無理数であるとき、$x$によって定まる定数$c(x)$が存在して任意の整数$p,q$$(q>0)$に対して$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{c(x)}{q^n}$が成り立つ。
(証明)
$x$の最小多項式を適当に定数倍して整数係数にしたものを$f(X)$とし、$f(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}...+a_0$とおく。
$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|≥1$のときは$c<1$とすれば題意をみたすのは明らかである。
$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|<1$であるとする。
まず、$f(X)$が$x$の最小多項式であるので$f(x)=0$,$\displaystyle f\left(\frac{p}{q}\right)\neq0$である。
よって、
$\displaystyle\left|f(x)-f\left(\frac{p}{q}\right)\right|=\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \\=\displaystyle\left|a_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+...+a_0\right|≥\frac{1}{q^n}$
一方、
$\displaystyle\left|f(x)-f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \\=\displaystyle\left|a_n\left(x^n-\left(\frac{p}{q}\right)^n\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}-\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_1\left(x-\left(\frac{p}{q}\right)\right)\right| \\=\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|\left|a_n\left(x^{n-1}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-2}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2}\right)+...+a_1\right|$
であり、$\displaystyle\frac{p}{q}$を$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|<1$の範囲で動かしたときに$\left|a_n\left(x^{n-1}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-2}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2}\right)+...+a_1\right|$は有界であり、$\left|a_n\left(x^{n-1}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-2}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2}\right)+...+a_1\right|< C$となる$C$が存在する。
よって、$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{Cq^n}$であり、題意が示された。
$x$の最小多項式を適当に定数倍して整数係数にしたものを$f(X)$とし、$f(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}...+a_0$とおく。
$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|≥1$のときは$c<1$とすれば題意をみたすのは明らかである。
$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|<1$であるとする。
まず、$f(X)$が$x$の最小多項式であるので$f(x)=0$,$\displaystyle f\left(\frac{p}{q}\right)\neq0$である。
よって、
$\displaystyle\left|f(x)-f\left(\frac{p}{q}\right)\right|=\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \\=\displaystyle\left|a_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+...+a_0\right|≥\frac{1}{q^n}$
一方、
$\displaystyle\left|f(x)-f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \\=\displaystyle\left|a_n\left(x^n-\left(\frac{p}{q}\right)^n\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}-\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_1\left(x-\left(\frac{p}{q}\right)\right)\right| \\=\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|\left|a_n\left(x^{n-1}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-2}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2}\right)+...+a_1\right|$
であり、$\displaystyle\frac{p}{q}$を$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|<1$の範囲で動かしたときに$\left|a_n\left(x^{n-1}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-2}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2}\right)+...+a_1\right|$は有界であり、$\left|a_n\left(x^{n-1}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-2}+...+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2}\right)+...+a_1\right|< C$となる$C$が存在する。
よって、$\displaystyle\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{Cq^n}$であり、題意が示された。
投稿日：2021年5月9日
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