Rousseauによる平方剰余の相互法則の短い証明

奇数$m$に対して
$L_m=\{n\in \mathbb{Z}|1\le n\le {\displaystyle \frac{m-1}{2}},(n,m)=1\}$
と定める．$1$以上$pq$未満で$p,q$と互いに素な整数のうち

• $L_{pq}$に含まれるもの全体の積を$A$、
• mod $p$で$L_p$に含まれるもの全体の積を$B_p$、
• mod $q$で$L_q$に含まれるもの全体の積を$B_q$とする．

これらはいずれも、各$n\in L_{pq}$に対して$n$と$pq-n$のうち片方を選んで掛けたものになっている．したがってこれらの値はmod $pq$で$\pm 1$倍を除いて一致する．$A={\epsilon }_p{B}_p\mathrm{mod}pq$および$A={\epsilon }_q{B}_q\mathrm{mod}pq$を満たす${\epsilon }_p,{\epsilon }_q\in \{1,-1\}$を取る．

${\epsilon }_p$を決定するためにmod $q$で考える．Eulerの規準を使うと

$$\begin{array}{rl}A& ={\displaystyle \frac{\left(\frac{pq-1}{2}\right)!}{p\times 2p\times \cdots \times \frac{q-1}{2}p\times q\times 2q\times \cdots \times \frac{p-1}{2}q}}\\ & \equiv {\displaystyle \frac{((q-1)!{)}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{q-1}{2}\right)!}{p^{\frac{q-1}{2}}\left(\frac{q-1}{2}\right)!}}\mathrm{mod}q\\ & \equiv \left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)((q-1)!{)}^{\frac{p-1}{2}}\mathrm{mod}q,\\ B_p& \equiv ((q-1)!{)}^{\frac{p-1}{2}}\mathrm{mod}q\end{array}$$
となるので${\epsilon }_p=\left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)$であることがわかる．同様に${\epsilon }_q=\left({\displaystyle \frac{q}{p}}\right)$である．

一方で$B_q$は$B_p$を定める積に現れる数$n$のうち「mod $p$で$L_p$に含まれるがmod $q$で$L_q$に含まれないもの」を全て$pq-n$に置き換えたものである．そのような$n$は中国剰余定理より${\displaystyle \frac{p-1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{q-1}{2}}$個あるので
$$B_q=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}{B}_p\mathrm{mod}pq$$
が成り立つ．よって${\epsilon }_p{\epsilon }_q=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}$である．