射影加群の圏が余核を持つ環について

(i)$⟹$(ii)：左$R$加群$M$に対して表示
$$R^{\oplus J}\stackrel{f}{\to }{R}^{\oplus I}\to M\to 0(\text{exact})$$
を選び、$f$の$R\mathrm{Proj}$における余核を$P$とすると、$P$が$M$の射影化の普遍性を満たす．
(ii)$⟹$(iii)：左$R$加群に対してその射影化を返す関手が包含関手の左随伴となる．
(iii)$⟹$(i)：左随伴は余核を余核に移すのでよい．

$R^I$の射影化を$(M,f)$とする．$i\in I$に対して第$i$射影${\mathrm{pr}}_i:R^I\to R$に射影化の普遍性を適用することで$f(x)=0⟹{\mathrm{pr}}_i(x)=0$がわかる．よって$f$は単射である．$N=\mathrm{Coker}f$とすると
$${\mathrm{Hom}}_R(M,R)\stackrel{-\circ f}{\to }{\mathrm{Hom}}_R(R^I,R)\to {\mathrm{Ext}}_R^1(N,R)\to 0(\text{exact})$$
となるが、射影化の普遍性より$-\circ f$は同型なので${\mathrm{Ext}}_R^1(N,R)=0$である．したがって${\mathrm{Ext}}^1(N,R^I)=0$であり、短完全列
$$0\to R^I\to M\to N\to 0(\text{exact})$$
は分裂するので$R^I$は射影左$R$加群である．

$R$が高々可算な場合、もしも$I$が高々可算ならば$R^{\oplus I}$も高々可算である．一方で$|R^{\mathbb{N}}|\ge 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_0$となり矛盾するので$I$は非可算である．$R$が非可算の場合、Vandermonde行列式の性質より$\{(1,a,a^2,\dots )\mid a\in R\}\subset R^{\mathbb{N}}$は線型独立なので$|I|\ge |R|>{\mathrm{\aleph }}_0$である．

$R$は体でない可換整域なので$\{0\}$でない極大イデアル$\mathfrak{m}$が取れる．Krullの交叉定理より
$$\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathfrak{m}}^n\subset \bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathfrak{m}}^n{R}_{\mathfrak{m}}=\{0\}$$
なので、$r\in \mathfrak{m}\setminus \{0\}$を取ればよい．

(ii)$⟹$ (i) は明らかなので (i)$⟹$ (ii) を示す．
$R\mathrm{Proj}$が余核を持つが$R$が体でないとして矛盾を導く．補題4の通りに$r\in \mathbb{N}$を取る．命題2より$R^{\mathbb{N}}$は射影$R$加群であり、特に自由$R$加群$R^{\oplus I}$への単射$f$を持つ．補題3より$I$は非可算である．
$$S=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in R^{\mathbb{N}}\mid \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},a_n\in (r^n)\}\subset R^{\mathbb{N}}$$
と定めると$S$の階数は非可算である．一方で
$$J=min\{I^{\prime }\subset I\mid f(R^{\oplus \mathbb{N}})\subset R^{\oplus I^{\prime }}\}$$
は可算なので$f(S)\not\subset R^{\oplus J}$である．$s\in S\setminus f^{-1}(R^{\oplus J})$を任意に取る．自然な$R$準同型$R^{\mathbb{N}}/R^{\oplus \mathbb{N}}\to R^{\oplus I\setminus J}$による$s$の像は$0$でない．一方で任意の$n$に対して$s\in R^{\mathbb{N}}/R^{\oplus \mathbb{N}}$は$r^n$-可除なので矛盾する．