この記事では H.E.さんの提起された問題 の一つ、「射影加群の圏が余核を持つのはいつか？」について私の考えたことを述べます．内容は以下の2つです．
以下、環$R$に対して左$R$加群の圏を$R\Mod$、射影左$R$加群の圏を$R\Proj$で表します．まず加群の射影化という概念を定義します．
$R$を環とする．左$R$加群$M$の射影化とは、射影左$R$加群$P$と射$f\colon M\to P$の組であって以下の普遍性を満たすものである：任意の射影左$R$加群$P'$と射$g\colon M\to P'$に対して、射$h\colon P\to P'$であって$g=h\circ f$を満たすものが一意的に存在する．
例えば有限生成$\mathbb{Z}$加群$M$の射影化は$M/M_{\rm tor}$になります．
環$R$に対して以下の3条件は同値である：
(R1) $R\Proj$は余核を持つ．
(R2) 任意の左$R$加群は射影化を持つ．
(R3) 包含関手$R\Proj\to R\Mod$は左随伴を持つ．
(i)$\implies$(ii)：左$R$加群$M$に対して表示
$$
R^{\oplus J}\xrightarrow{f} R^{\oplus I}\to M\to 0\,\,\,(\text{exact})
$$
を選び、$f$の$R\Proj$における余核を$P$とすると、$P$が$M$の射影化の普遍性を満たす．
(ii)$\implies$(iii)：左$R$加群に対してその射影化を返す関手が包含関手の左随伴となる．
(iii)$\implies$(i)：左随伴は余核を余核に移すのでよい．
$R$を環とする．$R\Proj$が余核を持つならば、任意の小さな集合$I$に対して$R^I$は射影左$R$加群である．
$R^I$の射影化を$(M,f)$とする．$i\in I$に対して第$i$射影$\pr_i\colon R^I\to R$に射影化の普遍性を適用することで$f(x)=0\implies\pr_i(x)=0$がわかる．よって$f$は単射である．$N=\Coker\,f$とすると
$$
\Hom_R(M,R)\xrightarrow{{-}\circ f} \Hom_R(R^I,R)\to \Ext^1_R(N,R)\to 0\,\,\,(\text{exact})
$$
となるが、射影化の普遍性より${-}\circ f$は同型なので$\Ext^1_R(N,R)=0$である．したがって$\Ext^1(N,R^I)=0$であり、短完全列
$$
0\to R^I\to M\to N\to 0\,\,\,(\text{exact})
$$
は分裂するので$R^I$は射影左$R$加群である．
$R$を可換整域とする．$R^\N$から自由$R$加群$R^{\oplus I}$への単射が存在するならば$I$は非可算である．
$R$が高々可算な場合、もしも$I$が高々可算ならば$R^{\oplus I}$も高々可算である．一方で$|R^\N|\geq 2^{\aleph_0}>\aleph_0$となり矛盾するので$I$は非可算である．$R$が非可算の場合、Vandermonde行列式の性質より$\{(1,a,a^2,\dots)\mid a\in R\}\subset R^\N$は線型独立なので$|I|\geq|R|>\aleph_0$である．
$R$を体でない可換Noether整域とする．このとき$\bigcap_{n=0}^\infty(r^n)=\{0\}$なる$r\in R\setminus \{0\}$が存在する．
$R$は体でない可換整域なので$\{0\}$でない極大イデアル$\m$が取れる．Krullの交叉定理より
$$
\bigcap_{n=0}^\infty\m^n\subset \bigcap_{n=0}^\infty\m^nR_\m=\{0\}
$$
なので、$r\in \m\setminus\{0\}$を取ればよい．
$R=\mathbb{Z}$ならば任意の$n\in \mathbb{Z}\setminus\{0,1\}$が補題の条件を満たす．
可換Noether整域$R$に対して以下は同値である：
(R1) $R\Proj$は余核を持つ．
(R2) $R$は体である．
(ii)$\implies$ (i) は明らかなので (i)$\implies$ (ii) を示す．
$R\Proj$が余核を持つが$R$が体でないとして矛盾を導く．補題4の通りに$r\in \N$を取る．命題2より$R^\N$は射影$R$加群であり、特に自由$R$加群$R^{\oplus I}$への単射$f$を持つ．補題3より$I$は非可算である．
$$
S=\{(a_n)_{n\in \N}\in R^\N\mid \forall n\in \N,\,a_n\in (r^n)\}\subset R^\N
$$
と定めると$S$の階数は非可算である．一方で
$$
J=\min\{I'\subset I\mid f(R^{\oplus \N})\subset R^{\oplus I'}\}
$$
は可算なので$f(S)\not\subset R^{\oplus J}$である．$s\in S\setminus f^{-1}(R^{\oplus J})$を任意に取る．自然な$R$準同型$R^\N/R^{\oplus \N} \to R^{\oplus I\setminus J}$による$s$の像は$0$でない．一方で任意の$n$に対して$s\in R^\N/R^{\oplus \N}$は$r^n$-可除なので矛盾する．