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大学数学基礎解説
文献あり

Tate-Senの定理とTateのnormalized trace

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本記事ではTate-Senによって知られている連続cohomology群Hi(GK,CK(r))の消滅定理をなるべく前提知識を仮定せずに, その証明を与えたいと思います. ただし無限次Galois理論程度の代数及び位相の知識やp進数環Zpなどは断らずに用います.

Introduction

K=Qpp進体とし, GK=Gal(K¯/K)をその絶対Galois群とします.
このときGKCKに自然に作用しています.
さてK上の拡大体L(inK¯)に対してCKGL不変部分はどうなっているでしょうか.
これに関してはAx-Tate-Senによって次の結果が知られています.

Ax-Tate-Sen's Theorem

CKGL=L^,  CKGK=K

この証明は技術的な補題を要するので, 証明は省略します.
ところでCKGKの表現(正確にはCK半線形な表現)でした. ではこのようなGK表現のGK不変空間はどうなってるの??というのは自然な疑問です. 一般にこれ知るのは容易ではありませんが, 特別な(1次元)表現に関してはこの疑問に完全に答えることができます. 以下ではそのような特別な表現の構成とそのGK不変空間の分類を行いたいと思います.

p進円分指標とTate捻り

GK上の重要な指標としてp進円分指標χcycがあります.
ここではその定義と, それによるCKのTate捻りCK(r)について解説したいと思います.
(ζpn)n1K¯における点列で, ζpnは1の原始pn乗根, ζpn+1p=ζpnとします.
このときgGKに対してただ一つのχcyc(g)Zp×が存在して
g(ζ)=(ζpnχcyc(g))=ζχcyc(g)
が成立します.
χcycは連続指標GKZp×を定めます. この指標をp進円分指標と呼びます.
特にHK=Ker(χcyc)に対応するK上の拡大体はK=Knになります.
ただしKn=K(ζpn)です. この事実は後程用います.

最後にTate捻りCK(r)を構成したいと思います.
これは基底eを持つ1次元CKベクトル空間でGKが次のように作用するものです:
                   g.(ce)=g(c)χcyc(g)re, gGK, cCK
ただしrZです. CK(r)CKr次Tate捻りと呼びます.

上で述べたζ=(ζpn)Zp上の基底とみなした階数1の自由Zp加群をZ_p(1)と書き, これをTate捻りと呼ぶこともあります. この定義は上の定義とcompatibleです.
実際, CK(1)=Zp(1)ZpCKです. またすぐに分かるようにZp(1)r(>0)回テンソルを取ったものZp(r)CK(r)に対応し, そのZp加群としての双対Zp(r)CK(r)に対応しています.

Tate-Senの定理

GK関手:RepCK(GK)VecKは左完全関手です. この右導来関手は連続cohomology群関手Hi(GK,)なのでした. 例えばHi(GK,W)=0 (i=0,1) ならWGK=(W/W)GKが成立します.
つまりWGK不変空間を調べたいとき, Wよりも次元の低いW/WGK不変空間を調べることに帰着できます. この手法は基本的ですが非常に有効に思えます.
したがってH^i(G_K,W)=0となるのはいつか?を決定することは非常に重要な問題となります. Tate-Senはこれに関して一つの答えを与えました:

Tate-Sen's Theorem

Hi(GK,CK(r))={K :r=00 :otherwise   (i=0,1)

Tate-Senの定理はより広い範囲で証明できます.
つまりη:GKZp×が連続指標で像が次元1p進Lie群の時にHi(GK,CK(η))を完全に分類できます.

さて定理1の証明をなるべく前提知識を仮定せずに証明をしたいと思います.
しかしH1に関しては連続cocycleを有限群上のcocyleで近似する, という議論が必要なのでどうしても証明に至るまでが長くなってしまいよくありません. そこでこの記事ではH0に限って証明を与えることにします.

normalized trace

ここでは定理の証明で最も重要な役割を果たすTateのnormalized traceについて解説します. 以下K:=Kn  (Kn=K(ζpn), ζpn:1pn)p進円分拡大とします. このとき, 次が知られています.

Kn+1/KnはGalois拡大であり
[Kn+1:Kn]={p         :  n1p1  :  n=1

n1に対して
Rn(x):=TrKm/Kn(x)pmnKn
と定義します. ただしxKmです.
これはmに依存した定義ですが補題3から実際にはmには依存しません.

mの取り方に依存しないこと

xKm1Km2とします. Kmi/Knは有限次Galois拡大なので
TrKm2/Kn(x)=[Km2:Km1]TrKm1/Kn(x)です. また補題2から[Km2:Km1]=pm2m1なのでpm2nで割ることで
TrKm2/Kn(x)pm2n=TrKm1/Kn(x)pm1n
を得ます.したがってRn(x)mの取り方には依存しません.

定義からRn:KKnKn-線形写像であり次の性質を満たします.

(i) Rn|Kn=idKn(ii) limnRn(x)=x,xK(iii)  c>0s.t.v(Rn(x))v(x)c,xK(iv) g(Rn(x))=Rn(g(x)), gGK, xK

補題4からRnは連続延長Rn^:K^Knを持ち, 補題3と全く同じ性質を満たします. 簡単のためにRn^Rnと書くことにします.

定理の証明

証明を行う前に言葉を定義しておきます.

η:GKZp×を(連続とは限らない)指標, xCK
任意のgGKに対して
g(x)=η(g)x
を満たすとき, xηのperiodと呼びます.
特に0を自明なperiodと呼びます.

さて定理2(i=0)の証明を少し一般的な主張を経由して証明します.

η:GKZp×:指標
HKKer(η), ηの像は無限集合とするとηのperiodは自明なものしかない

xCKηのperiodとします. 任意のgGKに対して
g(x)=η(g)x
が成立します. 特にgHKKer(η)に対しては
g(x)=x
つまりxCKHK=K^です.
さてxn:=Rn(x)Knとおくとnormalized traceの性質(補題4-(ii))から{xn}xに収束します. またRnGKの作用と可換なのでgGKに対して
g(xn)=η(g)xn
が成立します.
もしxn0ならxnKnよりGKn上でηは自明な指標になります. したがってηは有限群GK/GKn=Gal(Kn/K)を経由するので像は有限集合となります. しかしこれはηの仮定に矛盾します. ゆえxn=0です.
nとすればxが得られます.

定理2の証明

xCK(r)GKとします. 任意のgGKに対して
x=χcyc(g)rg(x)
となるのでr0ならxχcycrのperiodでありHKKer(χcycr)かつχcycrは無限の像を持つので定理5からx=0です. ゆえCK(r)GK=0です.
r=0の時はAx-Tate-Senの定理からCKGK=Kです.

参考文献

投稿日:2021514
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投稿者

p進表現の研究をしてます。どっちかというと解析寄りです。

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  1. Introduction
  2. p進円分指標とTate捻り
  3. Tate-Senの定理
  4. normalized trace
  5. 定理の証明
  6. 参考文献