二年生の夢(sophomore's dream)の初等的な証明(広義積分含む)
はじめに
ご機嫌よう! りーるるです.
今回は有名どころの 二年生の夢
という等式を初等的に示していきます.
自分が数学が好きになった時期(公文に通ってた頃)に$x^x$という関数をたくさん調べて,そこで出会った等式で,とても思い入れがあります.
$$\int_{0}^{1}x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$$
$$\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$$
丁寧に解説しているので,数3習った人ならわかると思います!!
準備
$f:(a,b]\to \mathbb R$は$x=a$で有界ではなく任意の$a<\varepsilon$に対して,$[\varepsilon,b]$で有界かつ可積分であるとき, 次の左辺が有限の値を持つならば,$f$は$(a,b]$上広義積分可能であると言い,その極限値を次の右辺で表す.
$$\lim_{\varepsilon\to a^{+}}\int_{\varepsilon}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
今回は$a=0, b=1, f(x)=(x\log{x})^n$でやります.
$k$を自然数とする.
$$ I_k=\int_{0}^{1}(x\log{x})^kdx$$
としたとき,$I_k=(-1)^k k! (k+1)^{-(k+1)}$
$x=0$で定義されず,広義積分のため,$a$とおく.
部分積分をたくさんする.
$$\int_{a}^{1}(x\log{x})^kdx=\biggl[\dfrac{x^{k+1}}{k+1}(\log{x})^k\biggl]_a^{1}-\int_{a}^{1}\dfrac{x^{k+1}}{k+1}k(\log{x})^{k-1}\dfrac{1}{x}dx$$
もちろん右辺第1項は$a\to 0$のとき$0$になる.
$$\int_{a}^{1}(x\log{x})^kdx=-\dfrac{k}{k+1}\int_{a}^{1}x^{k}(\log{x})^{k-1}dx$$
これを$I_k$の状態から$k$回繰り返すと題意を得る.
$n$を$0$以上の整数とする.
$$ f_n(x)=\int_{0}^{x}t^{n}e^{-t}dt$$としたとき,次の等式が成り立つ.
$$ \dfrac{e^x f_n(x)}{n!}=e^x-\biggl(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)$$
$f_n(x)$を$f_{n-1}(x)$を用いて表す.$(n\geqq1)$
部分積分より,
$$\int_{0}^{x}t^{n}e^{-t}dt=\biggl[-t^ne^{-t}\biggl]_{0}^{x}-\int_{0}^{x} nt^{n-1}(-e^{-t})dt$$
$$f_n(x)=-x^ne^{-x}+nf_{n-1}(x)$$
両辺を$n!$で割る.
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=-\dfrac{x^n}{n!}e^{-x}+\dfrac{f_{n-1}(x)}{(n-1)!}$$
$n$を$n-1$と置き換えることで,
$$\dfrac{f_{n-1}(x)}{(n-1)!}=-\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-x}+\dfrac{f_{n-2}(x)}{(n-2)!}$$
先ほどの式に代入すると,
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=-\dfrac{x^n}{n!}e^{-x}-\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-x}+\dfrac{f_{n-2}(x)}{(n-2)!}$$
$$ \dfrac{f_n(x)}{n!}=\dfrac{f_{n-2}(x)}{(n-2)!}-\biggl(\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}\biggl)e^{-x}$$
これを$f_n(x)$を$f_0(x)$を用いて表せるまで繰り返す.
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=\dfrac{f_{0}(x)}{0!}-\biggl(\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)e^{-x}$$
$ $
$f_0(x)=1-e^{-x},\;0!=1$より,
$ $
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=1-e^{-x}-\biggl(\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)e^{-x}$$
$$\dfrac{f_n(x)}{n!}=1-\biggl(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)e^{-x}$$
$ $
両辺に$e^x$をかけて,
$ $
$$\dfrac{e^x f_n(x)}{n!}=e^x-\biggl(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\biggl)$$
と, 題意を得る.
(帰納法でもできますよ!!)
$$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^xf_{n}(x\log{x})dx=0$$
$$
J_n=\int_{0}^{1}x^xf_{n}(x\log{x})dx$$
とおくと求める極限は
$$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{J_n}{n!}$$
となる.
$ $
$$J_n=\int_{0}^{1}x^x\Biggl(\int_{0}^{x\log{x}}t^{n}e^{-t}dt\Biggl)dx$$
$0\leqq x\leqq 1$の範囲だと$-\dfrac{1}{e}\leqq x\log{x}\leqq 0$であり,$e^{-t}$は単調減少なので
$t=-\dfrac{1}{e}$で固定したときの方が大きい.
$ $
$e^{-t}\leqq e^{\frac{1}{e}}$であるから,
$$\int_{0}^{1}x^x\Biggl(\int_{0}^{x\log{x}}t^{n}e^{-t}dt\Biggl)dx<\int_{0}^{1}x^x\Biggl(\int_{0}^{x\log{x}}t^{n}e^{\frac{1}{e}}dt\Biggl)dx$$
$$ \longrightarrow \quad e^{\frac{1}{e}}\int_{0}^{1}x^x\Biggl(\int_{0}^{x\log{x}}t^{n}dt\Biggl)dx=e^{\frac{1}{e}}\int_{0}^{1}x^x\Biggl\{\dfrac{(x\log{x})^{n+1}}{n+1}\Biggl\}dx$$
整理し,さらに上からおさえる.
$$\dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{n+1}\int_{0}^{1}x^x(x\log{x})^{n+1}dx\leqq\dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{n+1}\int_{0}^{1}x^x|(x\log{x})^{n+1}|dx$$
先程のように,$x\;(0\leqq x\leqq 1)$を最大のときで固定してあげると,上からおさえられる.
$x^x\leqq 1,\;-\dfrac{1}{e}\leqq x\log{x}\leqq 0$であるから,
$$\dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{n+1}\int_{0}^{1}x^x|(x\log{x})^{n+1}|dx<\dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{n+1}\int_{0}^{1}1^1\Biggl|\biggl(-\dfrac{1}{e}\biggl)^{n+1}\Biggl|dx=\dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{n+1}\biggl(\dfrac{1}{e}\biggl)^{n+1}$$
よって
$$|J_n|\leqq \dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{n+1}\biggl(\dfrac{1}{e}\biggl)^{n+1}$$
$$\dfrac{|J_n|}{n!}\leqq \dfrac{e^{\frac{1}{e}}}{(n+1)!}\biggl(\dfrac{1}{e}\biggl)^{n+1}\longrightarrow 0\quad (n\to\infty)$$
よって題意は示された.
本題
$$\int_{0}^{1}x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$$
$f_n(x\log{x})$を考える.補題2より,
$$\dfrac{x^x f_n(x\log{x})}{n!}=x^x-\biggl(1+\dfrac{x\log{x}}{1!}+\dfrac{(x\log{x})^2}{2!}+\dfrac{(x\log{x})^3}{3!}+\cdots +\dfrac{(x\log{x})^n}{n!}\biggl)$$
$ $
$$\dfrac{1}{n!}x^x f_n(x\log{x})=x^x-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(x\log{x})^k}{k!}$$
両辺を$x$について $0\to1$で積分する.
$$\dfrac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^xf_{n}(x\log{x})dx=\int_{0}^{1}x^xdx\,-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\int_{0}^{1}(x\log{x})^kdx$$
補題1から,
$$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\int_{0}^{1}(x\log{x})^kdx=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k k! (k+1)^{-(k+1)}}{k!}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k(k+1)^{-(k+1)}$$
$$=-\sum_{k=1}^{n+1}(-k)^{-k}$$
代入すると,
$$\dfrac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^xf_{n}(x\log{x})dx=\int_{0}^{1}x^xdx\,+\sum_{k=1}^{n+1}(-k)^{-k}$$
補題$3$より,$n\to\infty$とすると左辺は$0$になる.
よって,
$$\int_{0}^{1}x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$$
が成り立つ.
最後に
- $I_k$の被積分関数を$(-x\log{x})^k$
- $f_n(-x\log{x})$
にすれば最初の右側の等式を示せます.
初等的と言っている理由は主に補題3の部分でほぼ高校範囲のみ使っているからでした.
今回の記事は自分の大好きな等式からの投稿でした.
個人的には, $t$で積分した後に$x$で積分するのが面白くて 良いなぁ と思ってます.
しかも実質的に
$$\sum_{n=1}^{N}(-n)^{(-n)},\quad \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^n}$$
などの部分和を求めることもできている！
次の記事もこれに似たような級数,積分のお話をしようと思います.
これからもたくさんの級数に触れていきますのでお楽しみに!
