実連続関数が定数関数しかない位相空間の例を挙げる記事

445

どうも

　こんにちは　ごててんです　最近150円のハンドミキサーを買いました（まだ未開封）

さて、それとは関係なくこの記事の内容なのですが　それは2021/06/02の午後に遡ります... 私が前に書いた記事（距離化不可能な位相で入門（？）する距離空間）に出した位相空間の例の性質について考えていました　その位相空間が下のものです（少し変更はありますが）

この記事の主役

$n \geq 0$ を整数とするとき, $O_{n} = {0, 1, \dots, n}$ と定め,

$O_{N} = {\emptyset, N} \cup {O_{n} | n \geq 0$ は整数 $}$ と定める. (このとき, $(N, O_{N})$ は位相空間となる.)

入れる派

この記事では $0$ を自然数に含めます！

突然　この位相空間から実数の通常の位相への連続写像（実連続関数）はどういうものがあるのかが気になりまして　激闘（？）の末ある結果を導きました

　　それは...

マンガパーツSTOCK様の集中線素材995

...というわけで　この事実を示していきましょう

証明

これを示します

位相空間 $(N, O_{N})$ からの実連続関数（ $R$ の通常の位相への連続写像）は定数関数のみである.

難しくないです

$f : N \to R$ を定数でない実連続関数とすると, 自然数 $n, m$ がとれて $f (n) < f (m)$ が成立する. このとき $f^{- 1} ((- \infty, f (n)]), f^{- 1} ([f (m), + \infty))$ は $N$ でも空でもない閉集合であるから, それぞれ自然数 $N, M$ がとれ $f^{- 1} ((- \infty, f (n)]) = N - O_{N} = {N + 1, N + 2, \dots},$ $f^{- 1} ([f (m), + \infty)) = N - O_{M} = {M + 1, M + 2, \dots}$ とかける. このとき $L = max {N + 1, M + 1}$ とすれば $f (L) \leq f (n)$ かつ $f (m) \leq f (L)$ が成立し, $f (L) < f (L)$ となり矛盾.