実連続関数が定数関数しかない位相空間の例を挙げる記事
どうも
こんにちは ごててんです 最近150円のハンドミキサーを買いました（まだ未開封）
さて、それとは関係なくこの記事の内容なのですが それは2021/06/02の午後に遡ります... 私が前に書いた記事（ 距離化不可能な位相で入門（？）する距離空間 ）に出した位相空間の例の性質について考えていました その位相空間が下のものです（少し変更はありますが）
$n \geq 0$を整数とするとき, $O_n=\{0,1, \cdots , n\}$ と定め,
$\mathcal{O}_{\mathbb{N}} = \{ \emptyset , \mathbb{N} \} \cup \{ \hspace{3pt} O_n \hspace{3pt} | \hspace{3pt} n \geq 0 $は整数$\}$ と定める. (このとき, $(\mathbb{N},\mathcal{O}_{\mathbb{N}})$は位相空間となる.)
この記事では$0$を自然数に含めます！
突然 この位相空間から実数の通常の位相への連続写像（実連続関数）はどういうものがあるのかが気になりまして 激闘（？）の末ある結果を導きました
それは...
マンガパーツSTOCK様の集中線素材995
...というわけで この事実を示していきましょう
証明
位相空間$(\mathbb{N},\mathcal{O}_{\mathbb{N}})$からの実連続関数（$\mathbb{R}$の通常の位相への連続写像）は定数関数のみである.
$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$を定数でない実連続関数とすると, 自然数$n,m$がとれて$f(n)< f(m)$が成立する. このとき$f^{-1}((-\infty,f(n)]), f^{-1}([f(m),+\infty))$は$\mathbb{N}$でも空でもない閉集合であるから, それぞれ自然数$N,M$がとれ$f^{-1}((-\infty,f(n)])=\mathbb{N} - O_N = \{ N+1,N+2,\cdots\},$ $f^{-1}([f(m),+\infty))=\mathbb{N} - O_M=\{ M+1,M+2,\cdots\}$ とかける. このとき$L=\max\{N+1,M+1\}$とすれば$f(L) \leq f(n)$かつ$f(m) \leq f(L)$が成立し, $f(L)< f(L)$となり矛盾.
...はい 証明完了です あっけないですね
しかしなんと性質の悪い位相なのでしょう コンパクトじゃないし... ハウスドルフじゃないし...
この位相のいい性質を見つけてあげたいですね（連結なのが救い（？）） それでは～～～
