0

実連続関数が定数関数しかない位相空間の例を挙げる記事

350
0
$$$$

どうも

 こんにちは ごててんです 最近150円のハンドミキサーを買いました(まだ未開封)

さて、それとは関係なくこの記事の内容なのですが それは2021/06/02の午後に遡ります... 私が前に書いた記事( 距離化不可能な位相で入門(?)する距離空間 )に出した位相空間の例の性質について考えていました その位相空間が下のものです(少し変更はありますが)

この記事の主役

$n \geq 0$を整数とするとき, $O_n=\{0,1, \cdots , n\}$ と定め,

$\mathcal{O}_{\mathbb{N}} = \{ \emptyset , \mathbb{N} \} \cup \{ \hspace{3pt} O_n \hspace{3pt} | \hspace{3pt} n \geq 0 $は整数$\}$ と定める. (このとき, $(\mathbb{N},\mathcal{O}_{\mathbb{N}})$は位相空間となる.)

入れる派

この記事では$0$を自然数に含めます!

突然 この位相空間から実数の通常の位相への連続写像(実連続関数)はどういうものがあるのかが気になりまして 激闘(?)の末ある結果を導きました

   

 

   

 

 

 

   

  それは...

   

 

 

 

 

 

 

 

     

マンガパーツSTOCK様の集中線素材995
マンガパーツSTOCK様の集中線素材995

   

 

 

 

...というわけで この事実を示していきましょう

証明

これを示します

位相空間$(\mathbb{N},\mathcal{O}_{\mathbb{N}})$からの実連続関数($\mathbb{R}$の通常の位相への連続写像)は定数関数のみである.

難しくないです

$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$を定数でない実連続関数とすると, 自然数$n,m$がとれて$f(n)< f(m)$が成立する. このとき$f^{-1}((-\infty,f(n)]), f^{-1}([f(m),+\infty))$$\mathbb{N}$でも空でもない閉集合であるから, それぞれ自然数$N,M$がとれ$f^{-1}((-\infty,f(n)])=\mathbb{N} - O_N = \{ N+1,N+2,\cdots\},$ $f^{-1}([f(m),+\infty))=\mathbb{N} - O_M=\{ M+1,M+2,\cdots\}$ とかける. このとき$L=\max\{N+1,M+1\}$とすれば$f(L) \leq f(n)$かつ$f(m) \leq f(L)$が成立し, $f(L)< f(L)$となり矛盾.

...はい 証明完了です あっけないですね

しかしなんと性質の悪い位相なのでしょう コンパクトじゃないし... ハウスドルフじゃないし...

この位相のいい性質を見つけてあげたいですね(連結なのが救い(?)) それでは~~~

投稿日:202167

投稿者

位相空間と環が好きです

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中