平均値の定理

はじめに

今回証明する平均値の定理は, Cauchyの平均値の定理とよばれるものです. ところで, この記事は高校生向けに書いているので細かいことは(議論に差し支えない範囲で)端折っています.

Cauchyの平均値の定理の紹介

Cauchyの平均値の定理

閉区間 $[a, b]$ 上定義された連続関数 $f, g$ が, 開区間 $(a, b)$ 上微分可能なとき,
$g^{'} (c) {f (b) - f (a)} = f^{'} (c) {g (b) - g (a)}$
となる $c \in (a, b)$ が存在する.

この定理の図形的意味はこちらの記事をご覧ください.

Rolleの定理の紹介と証明

Cauchyの平均値の定理の証明に便利なRolleの定理を紹介します.

Rolleの定理

閉区間 $[a, b]$ 上定義された連続関数 $f$ が, 開区間 $(a, b)$ 上微分可能で, $f (a) = f (b)$ を満たすとき,
$f^{'} (c) = 0$
となる $c \in (a, b)$ が存在する.

$f$ は閉区間 $[a, b]$ 上定義された連続関数なので, $[a, b]$ 上での最大値, 最小値が存在する. そこで, 最大値を取るような $c \in (a, b)$ が存在することがある. もし存在しないならば, 仮定より $f (a) = f (b)$ は最大値となり, 最小値をとるような $c^{'} \in (a, b)$ が存在する. このとき $f$ の代わりに $- f$ を考えればよい.
このとき, 十分小さな $h$ に対し,
$\frac{f (c + h) - f (c)}{h}$
の符号を考える. $f$ は $c$ で最大値をとると仮定しているので, $f (c + h) - f (c) \leq 0$ である. $h$ の正負に注目すれば,
$\frac{f (c + h) - f (c)}{h} \leq 0 (h > 0) \frac{f (c + h) - f (c)}{h} \geq 0 (h < 0)$
であり, $h \to 0$ の極限を考えれば, $f$ が微分可能であることから $f^{'} (c) = 0$ を得る.

これは, よくみる(Lagrangeの)平均値の定理の特殊な場合にあたります.

Cauchyの平均値の定理の証明

では, 本題であるCauchyの平均値の定理を証明していきます.

$h (x) = g (x) {f (b) - f (a)} - f (x) {g (b) - g (a)}$
とおけば, $h$ は閉区間 $[a, b]$ 上連続, 開区間 $(a, b)$ 上微分可能で, $h (a) = h (b)$ なので, Rolleの定理の仮定を満たすので, $h^{'} (c) = 0$ となる $c \in (a, b)$ が存在する.
$h^{'} (c) = g^{'} (c) {f (b) - f (a)} - f^{'} (c) {g (b) - g (a)} = 0$
なので, Cauchyの平均値の定理が示された.

まとめ

Rolleの定理を使うとCauchyの平均値の定理は簡単に示されることがわかった. このCauchyの平均値の定理において, $g (x) = x$ として得られるのが, 有名なLagrangeの平均値の定理である.

また, これら2つの平均値の定理とRolleの定理, そしてRolleの定理の証明で用いた最大値最小値定理と同値である. そしてさらに進んだ話をすれば, 大学以降で学ぶ実数の連続性の公理とも同値な命題である.　高校では図形的に認めたLagrangenの平均値の定理だが, 実はこれらの奥には複雑な背景が潜んでいる. 数学に興味があれば, 是非深入りしてほしい話題である.

投稿日：2021年6月14日