今回証明する平均値の定理は, Cauchyの平均値の定理とよばれるものです. ところで, この記事は高校生向けに書いているので細かいことは(議論に差し支えない範囲で)端折っています.
閉区間
となる
この定理の図形的意味は こちら の記事をご覧ください.
Cauchyの平均値の定理の証明に便利なRolleの定理を紹介します.
閉区間
となる
このとき, 十分小さな
の符号を考える.
であり,
これは, よくみる(Lagrangeの)平均値の定理の特殊な場合にあたります.
では, 本題であるCauchyの平均値の定理を証明していきます.
とおけば,
なので, Cauchyの平均値の定理が示された.
Rolleの定理を使うとCauchyの平均値の定理は簡単に示されることがわかった. このCauchyの平均値の定理において,
また, これら2つの平均値の定理とRolleの定理, そしてRolleの定理の証明で用いた 最大値最小値定理 と同値である. そしてさらに進んだ話をすれば, 大学以降で学ぶ実数の連続性の公理とも同値な命題である. 高校では図形的に認めたLagrangenの平均値の定理だが, 実はこれらの奥には複雑な背景が潜んでいる. 数学に興味があれば, 是非深入りしてほしい話題である.