Stirlingの公式の証明

この記事では, 私の考えたStirlingの公式の証明を解説しようと思います.

この記事 の結果を用います. これを前提とすると結構簡単に証明することができます.

一応もう一度この補題の主張を書いておくと, 以下のようになります.

(証明)

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-(n+1)x}dx=\frac{n!}{(n+1{)}^{n+1}}$$
を用いると,
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n+1{)}^{n+1}}{z}^n={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x}}{1-zx{e}^{-x}}dx$$
となります. ここで$z\mapsto ez$として両辺に$e$を掛けて,
$$\begin{array}{rcl}F(z)& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n!{\left(\frac{e}{n+1}\right)}^{n+1}{z}^n\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{1-x}}{1-zx{e}^{1-x}}dx\\ & =& {\int }_{-1}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{e^x-z(1+x)}\end{array}$$
のような$F(z)$を考えます. $F(z)=O((1-z{)}^{-\frac{1}{2}})$であることを示し, さらにその係数まで調べます.

$z\to 1$で考えると右辺の被積分関数は$x=0$周辺でのみ発散するので, その近傍での積分を評価すれば良いです(近傍以外での積分は有限なので). $z$に依らない$\epsilon >0$に対し, $\delta =\delta (\epsilon )>0$が存在して, $0<x<\delta$で
$$1+x+\frac{1}{2}{x}^2\le e^x\le 1+x+(\frac{1}{2}+\epsilon )x^2$$
$z(1+x)$を引いて評価を少し甘くして
$$(1-z)+\frac{1}{2}{x}^2\le e^x-z(1+x)\le (1-z)(1+\delta )+(\frac{1}{2}+\epsilon )x^2$$
これの逆数を$0\to \delta$で積分して, 例えば
$${\int }_0^{\delta }\frac{dx}{(1-z)(1+\delta )+(\frac{1}{2}+\epsilon )x^2}=\frac{\arctan \sqrt{\frac{(\frac{1}{2}+\epsilon )}{(1-z)(1+\delta )}}\delta }{\sqrt{(1-z)(1+\delta )(\frac{1}{2}+\epsilon )}}$$
これは$\sqrt{1-z}$を掛けて$z\to 1$として$\epsilon \to 0$とすれば$\frac{\pi }{\sqrt{2}}$になります. もう片方の評価も同様で, また$-\delta <x<0$でも同様の評価をすれば同じことになるので, $$\underset{z\to 1}{lim}\sqrt{1-z}F(z)=\sqrt{2}\pi$$
と分かります.

以上より, 補題において$c=\frac{1}{2},f(1)=\sqrt{2}\pi$としたものが適用できるので,
$$n!{\left(\frac{e}{n+1}\right)}^{n+1}\sim \frac{\sqrt{2\pi }}{\sqrt{n}}$$
即ち$n\mapsto n-1$として両辺に$n$を掛けて,
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$
を得ます.

読んでくださった方, ありがとうございました.
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