分配束について

分配束の射$f:L\to L^{\prime }$を考え, $x,y\in L$, $x\le y$とする. このとき$x\vee y=y$である. よって$f(x)\vee f(y)=f(x\vee y)=f(y)$である. したがって$f(x)\le f(y)$であり, $f$は順序を保つ.

$(x)=(y)$ならば$x\in (y)$かつ$y\in (x)$である. これは$x\le y$かつ$y\le x$を意味するので$x=y$であることがわかる.

以下のことを示せば良い.

1. $0\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$
2. $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$,$y\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$ならば$x\vee y\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$
3. $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$,$y\le x$ならば$y\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$

1は分配束の射の定義より$f(0)=0$であるため従う. 2も分配束の定義より$f(x\vee y)=f(x)\vee f(y)$であるため従う. 3も$f(x)=0$と$y\le x$から$f(y)\le f(x)=0$がわかり$f(y)=0$が従うのでわかる.

まず${\sim }_I$が同値関係になっていることを確かめる. $x{\sim }_{I}x$, $x{\sim }_{I}y\iff y{\sim }_{I}x$は明らか. $x{\sim }_{I}y$, $y{\sim }_{I}z$のとき$x{\sim }_{I}z$を示す. まず${\sim }_I$の定義よりある$u,v\in I$があって$x\vee u=y\vee u$, $y\vee v=z\vee v$なので,
$$x\vee (u\vee v)=(x\vee u)\vee v=(y\vee u)\vee v=(y\vee v)\vee u=(z\vee u)\vee v=z\vee (u\vee v)$$である. イデアルの定義より$u\vee v\in I$なので$x{\sim }_{I}z$が言えた.

次に$L/I$に$\vee$と$\wedge$を定義する. $x\in L$の同値類を$x_I$と書くことにする. $x_I\vee y_I=(x\vee y{)}_I$と定義するとこれはwell-definedである. 実際, ある$u\in I$について$x\vee u=x^{\prime }\vee u$のとき,
$$(x\vee y)\vee u=(x\vee u)\vee y=(x^{\prime }\vee u)\vee y=(x^{\prime }\vee y)\vee u$$なので$x\vee y{\sim }_I{x}^{\prime }\vee y$である. $y$についても同様なので, 結局$x_I$, $y_I$の代表元によらず$x_I\vee y_I$は定まる.

$x_I\wedge y_I=(x\wedge y{)}_I$と定義するとこれはwell-definedである.
実際, ある$u\in I$について$x\vee u=x^{\prime }\vee u$のとき,
$$(x\wedge y)\vee u=(x\vee u)\wedge (y\vee u)=(x^{\prime }\vee u)\wedge (y\vee u)=(x^{\prime }\wedge y)\vee u$$なので$x\wedge y{\sim }_I{x}^{\prime }\wedge y$である. $y$についても同様なので, 結局$x_I$, $y_I$の代表元によらず$x_I\wedge y_I$は定まる.

これらが分配束の公理を満たすことは明らかである.

分配束の射であることは$L/I$の演算の定義より明らかである. $x$が$x_I=0_I$を満たすとすると, ある$u\in I$について$x\vee u=0\vee u=u$, つまり$x\le u$を満たすので$x\in I$である. 逆に任意の$I$の元$u$は$u\vee u=0\vee u$を満たすので$u_I=0_I$であり, 結局$L\to L/I$の核は$I$に一致する.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$を$I$と置く. $L/I\to L^{\prime }$を$x_I$に対して$f(x)$を割り当てるものとするとこれはwell-definedである. それを示すには$x{\sim }_I{x}^{\prime }$のとき$f(x)=f(x^{\prime })$であることを示せば良い. ${\sim }_I$の定義よりある$u\in I$によって$x\vee u=x^{\prime }\vee u$と書けるので, $f(x)\vee f(u)=f(x\vee u)=f(x^{\prime }\vee u)=f(x^{\prime })\vee f(u)$である. しかし$I$は$f$の核だったので$f(u)=0$であり, $f(x)=f(x^{\prime })$が従う. よって写像$f$が定義できる. これが分配束の射であることは明らかである.