Fibonacci 数の三乗和の簡易な計算法について

(省略. 行列表示の記事でも解説しています)

これは左辺の$F_{n+1}$に$F_n+F_{n-1}$を代入して展開すれば得られる. $\quad\Box$

漸化式を繰りかえし代入したりすれば得られる. $\quad\Box$

計算に三本の恒等式
\begin{align} 3F_{n+1}F_nF_{n-1}&=F_{n+1}^3-F_n^3-F_{n-1}^3,\\ F_{n+1}F_nF_{n-1}&=F_n^3+(-1)^nF_n,\\ 4F_{n+1}F_nF_{n-1}&=F_{n+1}^3-F_{n-1}^3+(-1)^nF_n\quad(\mbox{本日の主役}) \end{align}
を用いる. 先ず第三式を総和することで
\begin{align} 4\sum_{i=1}^{i=n}F_{i+1}F_iF_{i-1}=F_{n+1}^3+F_n^3+(-1)^nF_{n-1}-2 \end{align}
と$F_{i+1}F_iF_{i-1}$の有限和を導出することができる. 第二式を用いてここから$\sum F_i^3$を抽出すれば
\begin{align} \sum_{i=1}^{i=n}F_i^3&=\sum_{i=1}^{i=n}\left(F_{i+1}F_iF_{i-1}-(-1)^iF_i\right)\\ &=\frac{\,F_{n+1}^3+F_n^3+(-1)^nF_{n-1}-2\,}{\,4\,}-(-1)^nF_{n-1}+1 \end{align}
の総和の記号を含まない表示が得られ, これを整理すれば命題の式の形となる. $\quad\Box$

$(\mbox{本日の主役})$から
\begin{align} 4\sum_{i=1}^{i=n}F_{i+1}F_iF_{i-1}=F_{n+1}^3+F_n^3+(-1)^nF_{n-1}-2 \end{align}
の等式を導出しておくところまでは同様である. 漸化式によって確かめられる二本の恒等式
\begin{align} 2F_{n+1}F_n^2&=F_{n+2}F_{n+1}F_n-F_{n+1}F_nF_{n-1},\\ 2F_{n-1}F_n^2&=F_{n+1}F_nF_{n-1}+F_nF_{n-1}F_{n-2} \end{align}
を用意し, 各等式において総和を取れば
\begin{align} &2\sum_{i=1}^{i=n}F_{i+1}F_i^2=F_{n+2}F_{n+1}F_n\quad\left(=F_{n+1}^3-(-1)^nF_{n+1}\right),\\ &2\sum_{i=1}^{i=n}F_{i-1}F_i^2=\frac{\,F_{n+1}^3+2F_n^3+F_{n-1}^3+(-1)^nF_{n-3}-4\,}{\,4\,} \end{align}
の二式が得られる. これらの差を計算して$2$で除すれば
\begin{align} \sum_{i=1}^nF_i^3&=\frac{\,4F_{n+1}^3-4(-1)^nF_{n+1}\,}{\,8\,}-\frac{\,F_{n+1}^3+2F_n^3+F_{n-1}^3+(-1)^nF_{n-3}-4\,}{\,8\,}\\ &=\frac{\,3F_{n+1}^3-2F_n^3-F_{n-1}^3-(-1)^n(4F_{n+1}+F_{n-3})+4\,}{\,8\,}\\ &=\frac{\,2F_{n+1}^3-F_n^3+3F_n^3+3(-1)^nF_n-(-1)^n(4F_{n+1}+F_{n-3})+4\,}{\,8\,}\\ &=\frac{\,F_{n+1}^3+F_n^3-3(-1)^nF_{n-1}+2\,}{\,4\,} \end{align}
となって先程の式と合致する. $\quad\Box$