Fibonacci 数の三乗和の簡易な計算法について

(省略. 行列表示の記事でも解説しています)

これは左辺の$F_{n+1}$に$F_n+F_{n-1}$を代入して展開すれば得られる. $◻$

漸化式を繰りかえし代入したりすれば得られる. $◻$

計算に三本の恒等式
$$\begin{array}{rl}3F_{n+1}{F}_n{F}_{n-1}& =F_{n+1}^3-F_n^3-F_{n-1}^3,\\ F_{n+1}{F}_n{F}_{n-1}& =F_n^3+(-1{)}^n{F}_n,\\ 4F_{n+1}{F}_n{F}_{n-1}& =F_{n+1}^3-F_{n-1}^3+(-1{)}^n{F}_n(\text{本日の主役})\end{array}$$
を用いる. 先ず第三式を総和することで
$$\begin{array}{r}4\sum _{i=1}^{i=n}{F}_{i+1}{F}_i{F}_{i-1}=F_{n+1}^3+F_n^3+(-1{)}^n{F}_{n-1}-2\end{array}$$
と$F_{i+1}{F}_i{F}_{i-1}$の有限和を導出することができる. 第二式を用いてここから$\sum F_i^3$を抽出すれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{i=n}{F}_i^3& =\sum _{i=1}^{i=n}(F_{i+1}{F}_i{F}_{i-1}-(-1{)}^i{F}_i)\\ & =\frac{F_{n+1}^3+F_n^3+(-1{)}^n{F}_{n-1}-2}{4}-(-1{)}^n{F}_{n-1}+1\end{array}$$
の総和の記号を含まない表示が得られ, これを整理すれば命題の式の形となる. $◻$

$(\text{本日の主役})$から
$$\begin{array}{r}4\sum _{i=1}^{i=n}{F}_{i+1}{F}_i{F}_{i-1}=F_{n+1}^3+F_n^3+(-1{)}^n{F}_{n-1}-2\end{array}$$
の等式を導出しておくところまでは同様である. 漸化式によって確かめられる二本の恒等式
$$\begin{array}{rl}2F_{n+1}{F}_n^2& =F_{n+2}{F}_{n+1}{F}_n-F_{n+1}{F}_n{F}_{n-1},\\ 2F_{n-1}{F}_n^2& =F_{n+1}{F}_n{F}_{n-1}+F_n{F}_{n-1}{F}_{n-2}\end{array}$$
を用意し, 各等式において総和を取れば
$$\begin{array}{rl}& 2\sum _{i=1}^{i=n}{F}_{i+1}{F}_i^2=F_{n+2}{F}_{n+1}{F}_n(=F_{n+1}^3-(-1{)}^n{F}_{n+1}),\\ & 2\sum _{i=1}^{i=n}{F}_{i-1}{F}_i^2=\frac{F_{n+1}^3+2F_n^3+F_{n-1}^3+(-1{)}^n{F}_{n-3}-4}{4}\end{array}$$
の二式が得られる. これらの差を計算して$2$で除すれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{F}_i^3& =\frac{4F_{n+1}^3-4(-1{)}^n{F}_{n+1}}{8}-\frac{F_{n+1}^3+2F_n^3+F_{n-1}^3+(-1{)}^n{F}_{n-3}-4}{8}\\ & =\frac{3F_{n+1}^3-2F_n^3-F_{n-1}^3-(-1{)}^n(4F_{n+1}+F_{n-3})+4}{8}\\ & =\frac{2F_{n+1}^3-F_n^3+3F_n^3+3(-1{)}^n{F}_n-(-1{)}^n(4F_{n+1}+F_{n-3})+4}{8}\\ & =\frac{F_{n+1}^3+F_n^3-3(-1{)}^n{F}_{n-1}+2}{4}\end{array}$$
となって先程の式と合致する. $◻$