偏差値erからの手紙(解答編)

　前回の記事で紹介した問題の解答を記す。問題文の再掲はするが、前回を読まれていない方はそちらを先に読んでいただきたい。

問題　～手紙では相手にとって分かりやすい伝え方を心がけましょう～

　数学者Aからこのような手紙が送られてきた。

　先日、僕はあるゲームに参加した。そのゲームの参加者は僕を含めて4人で、僕は2位だった。
　ゲームにはスコアというものがあって、スコアが高ければ順位が上になる。
　ゲーム終了後、僕自身のスコアの偏差値を計算してみたんだ。そのとき、ふと気づいた。
　僕の偏差値を知るだけならば、3位と4位のスコアを完全に知る必要はなく、その積

P

だけを知っていればよい、と。
　1位と僕のスコア、それから

P

の値がうまく噛み合った上に、同順位の参加者がいなかったからね。

　Aの偏差値はいくらか。ただし、スコアは任意の実数値をとる。

方針　～偏差値erって何？経歴は？年収は？調べてみました！～

　この問題は、以下の補題の考察を経て解くことができる(高校生以下が本記事を読むことも想定し、数理論理学的表記は用いていない)。

補題

　ゲームに参加した4人のスコアがそれぞれ

x, y, 0, 1

(ただし

x < 0, y < 0

)であったと仮定する。
　ある実数

d, p, q, r

が存在し、

(x + p) (y + q) = r

を満たす任意の

x, y (x < 0, y < 0)

について『スコアが

0

の人の偏差値は

d

である』が成り立つとき、

d, p, q, r

の値を求めよ。

　元の問題(原題)を一言で表すならば、「1位のスコア、2位のスコアおよび3位と4位のスコアの積のみから2位の偏差値が一意に定まる場合、その偏差値はいくらか」である。~~問題文が冗長すぎる。~~
　このことを踏まえて補題に注目すると、これは原題と殆ど同じものだと言える。1位と2位のスコアを仮定しただけだ。
　けれども、この補題はある点で原題よりも制約が弱くなっている。すなわち、

(x + p) (y + q) = r

の部分。これは「

x

に

p

を足したものと

y

に

q

を足したものの積が

r

で一定である」ということを示している。

p, q, r

の値は現時点で不明なので、その点において、補題は原題よりも少し強い主張を試みたものだと言える。

　ということで、補題から考えていこう。言うまでもないが、偏差値は((素点)-(平均点))÷(標準偏差)×10+50で与えられる。

解説　～日本のスマ補題は長すぎる～

　上の補題において、

(d, p, q, r) = (50 + \frac{10}{\sqrt{3}}, 1, 1, 1)

を証明することができる。

補題の証明

クリックすると証明が現れます

　スコアが

0

の人(以下、この人を「N」と呼ぶ)の偏差値は

d

になるそうだが、まずは偏差値の定義通りにNの偏差値を求めよう。~~つまり計算だ。~~
　スコアの平均を

M (x, y)

、分散を

V (x, y)

、標準偏差を

S (x, y)

、それからNの偏差値を

N (x, y)

とおくと、これらは以下のように表せる。

\begin{aligned} M (x, y) & = \frac{x + y + 1 + 0}{4} \\ V (x, y) & = \frac{x^{2} + y^{2} + 1^{2} + 0^{2}}{4} - {(M (x, y))}^{2} \\ S (x, y) & = \sqrt{V (x, y)} \\ N (x, y) & = \frac{0 - M (x, y)}{S (x, y)} \cdot 10 + 50 \end{aligned}

　ただし、表記を簡単にするため、分散の一般的な定義である「偏差の2乗の平均値」から派生した「素点の2乗平均から素点平均の2乗を減じたもの」を

V (x, y)

の定義に用いた(この2つが一致することは有名事実であり、もしご存知でなければ Wikipedia を参照されたい)。

d = 10 c + 50

と定めることで、以下の式が成り立つ。

\begin{aligned} N (x, y) & = d \\ \frac{0 - M (x, y)}{S (x, y)} \cdot 10 + 50 & = 10 c + 50 \\ - \frac{M (x, y)}{S (x, y)} & = c \end{aligned}

M (x, y)

、

V (x, y)

および

S (x, y)

の定義をそのまま代入して、さらに式を~~ゴリゴリと~~整理していく。

\begin{aligned} - \frac{M (x, y)}{\sqrt{V (x, y)}} & = c \\ - \frac{M (x, y)}{\sqrt{\frac{x^{2} + y^{2} + 1^{2} + 0^{2}}{4} - {(M (x, y))}^{2}}} & = c \\ - \frac{\frac{x + y + 1 + 0}{4}}{\sqrt{\frac{x^{2} + y^{2} + 1^{2} + 0^{2}}{4} - {(\frac{x + y + 1 + 0}{4})}^{2}}} & = c \\ - \frac{x + y + 1}{\sqrt{4 (x^{2} + y^{2} + 1) - {(x + y + 1)}^{2}}} & = c \\ - \frac{x + y + 1}{\sqrt{3 (x^{2} + y^{2} + 1) - 2 (x y + x + y)}} & = c \\ c \sqrt{3 (x^{2} + y^{2} + 1) - 2 (x y + x + y)} & = - (x + y + 1) \\ c^{2} (3 (x^{2} + y^{2} + 1) - 2 (x y + x + y)) & = (x + y + 1)^{2} \\ (3 c^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} + 1) - 2 (c^{2} + 1) (x y + x + y) & = 0 & \dots (★) \end{aligned}

　さて、

(★)

を満たす

(x, y)

の組を

x y

直交座標平面上にプロットすれば、明らかに2次曲線(2次曲線の基本的な性質は Wikipedia を参照)、もしくはそれが退化したものが描かれる。いま、

(★)

の式に登場する

x, y

は

(x + p) (y + q) = r

を満たす任意の数であったため、

x y

直交座標平面上のグラフ

(x + p) (y + q) = r

は

(★)

のグラフに完全に含まれていなければならない。

　グラフ

(x + p) (y + q) = r

を考えると、以下の考察から

r \neq 0

が判るので、これは2次曲線(特に、直角双曲線)の形状を呈する(反比例のグラフを思い出してほしい)。

r = 0

と仮定する。この場合、

p

と

q

の少なくとも一方は正でなければならない(

∵

p, q

がともに負であれば

x < 0, y < 0

を満たす

x, y

の組が存在しなくなる)ので、

p > 0

と仮定できる(そう仮定しても一般性を失わない)。すると、

(x, y) = (- p, - 1), (- p, - 2)

はいずれもグラフ

(x + p) (y + q) = r (= 0)

上の点となる。いずれの

(x, y)

の値においても偏差値が

d

で一定なので、

\begin{aligned} N (- p, - 1) & = N (- p, - 2) (= d) \\ - \frac{M (- p, - 1)}{S (- p, - 1)} & = - \frac{M (- p, - 2)}{S (- p, - 2)} \\ - \frac{- p - 1 + 1}{\sqrt{3 (p^{2} + 1 + 1) - 2 (p - p - 1)}} & = - \frac{- p - 2 + 1}{\sqrt{3 (p^{2} + 4 + 1) - 2 (2 p - p - 2)}} \\ \frac{p}{\sqrt{3 p^{2} + 8}} & = \frac{p + 1}{\sqrt{3 p^{2} - 2 p + 19}} \\ p \sqrt{3 p^{2} - 2 p + 19} & = (p + 1) \sqrt{3 p^{2} + 8} \\ p^{2} (3 p^{2} - 2 p + 19) & = (p + 1)^{2} (3 p^{2} + 8) \\ 3 p^{4} - 2 p^{3} + 19 p^{2} & = 3 p^{4} + 6 p^{3} + 11 p^{2} + 16 p + 8 \\ 8 p^{3} - 8 p^{2} + 16 p + 8 & = 0 \\ p {(p - 4)}^{2} + 7 p^{3} + 8 & = 0 & \dots (△) \end{aligned}

が必要である。しかしながら、

p > 0

において常に

p {(p - 4)}^{2} \geq 0

かつ

7 p^{3} > 0

であるため、左辺は常に

8

より大きくなり、方程式

(△)

は解をもたない。よって

r = 0

は補題に不適である。

　したがって、2つの2次曲線には(どの3点も同一直線上に無い)共有点が少なくとも5点存在する。「5点を通る2次曲線は一意に定まる」という2次曲線の性質を思い出せば(こちらも有名事実なので、もしご存知なければ「2次曲線 5点」でGoogle検索していただきたい(日本語版Wikipediaには掲載されていなかった))、この2つの2次曲線は同一のものと導かれる。
　同一の2次曲線を表す式では係数の比が一致するので、特に $x^{2}$ および $y^{2}$ の係数は $0$ である必要がある。

(★)

の当該係数に注目して、

\begin{aligned} 3 c^{2} - 1 & = 0 \\ c & = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

と判る。このとき

(★)

は

\begin{aligned} 0 (x^{2} + y^{2} + 1) - 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot (x y + x + y) & = 0 \\ x y + x + y & = 0 \\ (x + 1) (y + 1) & = 1 \dots (♠) \end{aligned}

と変形できるので、

p = q = r = 1

が判明する。

　あとは

c

の正負を考えればよい。Nの偏差値

d

について

d = 10 c + 50

であったから、「Nのスコア(つまり $0$ )が平均を超えているか否か」が判れば、

d

が

50

より大きいか小さいか、すなわち

c

の正負を求められる。

0

がスコアの平均を超えていればcは正で、逆もまた然り。実は、これはすぐに判明する。

x < 0, y < 0

の範囲における

(♠)

のグラフを考えることで

x < - 1, y < - 1

が言えるからだ(お手元の紙にグラフを描いて確認してみよう)。ゆえに、

\begin{array}{r} M (x, y) = \frac{x + y + 1 + 0}{4} < \frac{- 1 - 1 + 1 + 0}{4} = - \frac{1}{4} < 0 \end{array}

を得て、 $0$ はスコアの平均を超えていることが従う。
　よって

c

は正、言い換えれば

c = \frac{1}{\sqrt{3}}

であり、

d = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 50 = 50 + \frac{10}{\sqrt{3}}

である。　(証明終)

　補題に答えられたところで、以下に示す偏差値の性質を思い出しておきたい。

すべてのデータに定数を加えても各データの偏差値は不変
すべてのデータに正の定数を乗じても各データの偏差値は不変

偏差値の性質の証明

クリックすると証明が現れます

　以下では本問への応用を考えて4人の場合を示すが、一般の場合も同様に示せる。
　4人の素点を

s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}

と文字でおいて集合

s

を

s = {s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}}

と定め、平均

M (S)

、標準偏差

S (s)

を計算すると以下のようになる。

\begin{aligned} M (s) & = \frac{s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4}}{4} \\ S (s) & = \sqrt{\frac{{(s_{1} - M (s))}^{2} + {(s_{2} - M (s))}^{2} + {(s_{3} - M (s))}^{2} + {(s_{4} - M (s))}^{2}}{4}} \end{aligned}

　ただし、今回は分散を「偏差の2乗の平均値」として計算した(そのほうが議論が簡単になるので)。このとき、素点が

s_{n} (n = 1, 2, 3, 4)

の人の偏差値

N (s_{n})

は

\begin{array}{r} N (s_{n}) = \frac{s_{n} - M (s)}{S (s)} \cdot 10 + 50 \end{array}

になる。

　すべてのデータに定数

X

を加えた場合を考える。

{s_{1} + X, s_{2} + X, s_{3} + X, s_{4} + X} = s + X

と表すと、

M (s + X)

および

S (s + X)

は

\begin{aligned} M (s + X) & = \frac{(s_{1} + X) + (s_{2} + X) + (s_{3} + X) + (s_{4} + X)}{4} \\ = \frac{s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4}}{4} + \frac{4 X}{4} \\ = M (s) + X \\ S (s + X) & = \sqrt{\frac{{((s_{1} + X) - M (s + X))}^{2} + {((s_{2} + X) - M (s + X))}^{2} + {((s_{3} + X) - M (s + X))}^{2} + {((s_{4} + X) - M (s + X))}^{2}}{4}} \\ = \sqrt{\frac{{(s_{1} + X - M (s) - X)}^{2} + {(s_{2} + X - M (s) - X)}^{2} + {(s_{3} + X - M (s) - X)}^{2} + {(s_{4} + X - M (s) - X)}^{2}}{4}} \\ = \sqrt{\frac{{(s_{1} - M (s))}^{2} + {(s_{2} - M (s))}^{2} + {(s_{3} - M (s))}^{2} + {(s_{4} - M (s))}^{2}}{4}} \\ = S (s) \end{aligned}

である。したがって、

N (s_{n} + X)

は以下の通り。

\begin{aligned} N (s_{n} + X) & = \frac{(s_{n} + X) - M (s + X)}{S (s + X)} \cdot 10 + 50 \\ = \frac{s_{n} + X - M (s) - X}{S (s)} \cdot 10 + 50 \\ = \frac{s_{n} - M (s)}{S (s)} \cdot 10 + 50 \\ = N (s_{n}) \end{aligned}

　ゆえに、すべてのデータに定数

X

を加えても各データの偏差値は変わらない。

　すべてのデータに正の定数

Y > 0

を乗じた場合を考える。

{s_{1} Y, s_{2} Y, s_{3} Y, s_{4} Y} = s Y

と表すと、

M (s Y)

および

S (s Y)

は

\begin{aligned} M (s Y) & = \frac{(s_{1} Y) + (s_{2} Y) + (s_{3} Y) + (s_{4} Y)}{4} \\ = \frac{s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4}}{4} Y \\ = M (s) \cdot Y \\ S (s Y) & = \sqrt{\frac{{((s_{1} Y) - M (s Y))}^{2} + {((s_{2} Y) - M (s Y))}^{2} + {((s_{3} Y) - M (s Y))}^{2} + {((s_{4} Y) - M (s Y))}^{2}}{4}} \\ = \sqrt{\frac{{(s_{1} - M (s))}^{2} + {(s_{2} - M (s))}^{2} + {(s_{3} - M (s))}^{2} + {(s_{4} - M (s))}^{2}}{4} Y^{2}} \\ = S (s) \cdot Y \end{aligned}

である。したがって、

N (s_{n} Y)

は以下の通り。

\begin{aligned} N (s_{n} Y) & = \frac{(s_{n} Y) - M (s Y)}{S (s Y)} \cdot 10 + 50 \\ = \frac{s_{n} Y - M (s) \cdot Y}{S (s) \cdot Y} \cdot 10 + 50 \\ = \frac{s_{n} - M (s)}{S (s)} \cdot 10 + 50 \\ = N (s_{n}) \end{aligned}

　ゆえに、すべてのデータに正の定数

Y

を乗じても各データの偏差値は変わらない。

　 $X, Y$ は任意なので、これらの性質は正しい。　(証明終)

　いよいよ仕上げである。上記に倣って、原題でゲームに参加した4人のスコアを

s_{1}

～

s_{4}

で表す。ただし、「 $n$ 位のスコアが $s_{n}$ である $(n = 1, 2, 3, 4)$ 」という条件を加えておく。当然のことだが、数学者Aは2位だったので、Aのスコアは

s_{2}

である。

　仮に

{s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}} = {f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}}

(ただし

f_{1} > f_{2} > f_{3} > f_{4}

かつ

z

を定数として

f_{3} f_{4} = P

)という分布で

f_{2}

の偏差値が一定となる場合、偏差値の性質から

\begin{aligned} {s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}} & = {\frac{f_{1} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}, \frac{f_{2} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}, \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}, \frac{f_{4} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}} \\ = {1, 0, \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}, \frac{f_{4} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}} \end{aligned}

という分布(ただし、

f_{3} f_{4} = z

)における

0

の偏差値も一定となる(

∵

すべてのデータに

- f_{2}

を加えて

\frac{1}{f_{1} - f_{2}} > 0

を乗じても各データの偏差値は不変)。さらにこのとき

\begin{array}{r} (s_{3} + \frac{f_{2}}{f_{1} - f_{2}}) (s_{4} + \frac{f_{2}}{f_{1} - f_{2}}) = \frac{f_{3} f_{4}}{(f_{1} - f_{2})^{2}} = \frac{P}{(f_{1} - f_{2})^{2}} \end{array}

が成り立つため、補題の結果を用いると

\frac{f_{2}}{f_{1} - f_{2}} = \frac{P}{(f_{1} - f_{2})^{2}} = 1

である。これを解くことで

f_{1} = 2 f_{2}, P = f_{2}^{2}

が得られて、

f_{1} > f_{2}

より

f_{2} > 0

が従う。
　よって、そのときのスコアの分布は実数

k < 0

を用いて

\begin{aligned} {s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}} & = {2 f_{2}, f_{2}, f_{2} k, \frac{f_{2}}{k}} \end{aligned}

と表せる(

∵

k > 0

としてしまうと

f_{3} \geq f_{2}

または

f_{4} \geq f_{2}

が成り立ち、仮定した大小関係に矛盾する)。

f_{3} > f_{4}

を思い出すと

f_{2} k > \frac{f_{2}}{k}

、ゆえに

k > - 1

であるから、

f_{2} = F

として

\begin{aligned} {s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}} & = {2 F, F, F k, \frac{F}{k}} (F > 0, - 1 < k < 0) \end{aligned}

こそが、Aの参加したゲームにおける4人のスコアだったわけだ。要するに、このスコアの分布における $F$ の偏差値が、原題で問われている偏差値である。我々はそれを既に計算している。何故ならば、この分布における

F

の偏差値というのは、

\begin{aligned} {s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}} & = {1, 0, \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}, \frac{f_{4} - f_{2}}{f_{1} - f_{2}}} \\ = {1, 0, k - 1, \frac{1}{k} - 1} \end{aligned}

という分布における

0

の偏差値と同一なのだから。補題より、その偏差値は $50 + \frac{10}{\sqrt{3}}$ である。

　以上の議論より、ゲームにおけるAの偏差値は $50 + \frac{10}{\sqrt{3}}$ (約55.77)であった。

別解　～補題に頼らなければこうなります～

　上の解説で示した偏差値の性質より、 $P = 0, \pm 12$ の場合のみ考えればよい。1位と2位のスコアをそれぞれ

t_{1}, t_{2} (t_{1} > t_{2})

とする(当然ながら数学者Aのスコアは

t_{2}

である)。

$C a s e 1.$ 　 $P = 0$ の場合

クリックすると証明が現れます

　3位と4位のいずれかのスコアが

0

なので、

t_{2} > 0

が判る。ここで、4つの要素からなる集合

\begin{array}{r} α_{1} = {t_{1}, t_{2}, 0, - 1}, α_{2} = {t_{1}, t_{2}, 0, - 2}, α_{3} = {t_{1}, t_{2}, 0, - 3} \end{array}

のいずれにおいても、

t_{2}

の偏差値は一定であることを利用しよう。この偏差値を

10 h + 50

とおくと、偏差値の定義より

\begin{aligned} {\begin{matrix} \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} + 0 - 1}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 0^{2} + 1^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} + 0 - 1}{4})}^{2}}} & = h \\ \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} + 0 - 2}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 0^{2} + 2^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} + 0 - 2}{4})}^{2}}} & = h \\ \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} + 0 - 3}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 0^{2} + 3^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} + 0 - 3}{4})}^{2}}} & = h \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}} & = h^{2} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 2)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 4) - {(t_{1} + t_{2} - 2)}^{2}} & = h^{2} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 3)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 9) - {(t_{1} + t_{2} - 3)}^{2}} & = h^{2} \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 2)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 4) - {(t_{1} + t_{2} - 2)}^{2}} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 2)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 4) - {(t_{1} + t_{2} - 2)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 3)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 9) - {(t_{1} + t_{2} - 3)}^{2}} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 3)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 9) - {(t_{1} + t_{2} - 3)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} {(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 4) - {(t_{1} + t_{2} - 2)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 2)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}) \\ {(t_{1} - 3 t_{2} - 2)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 9) - {(t_{1} + t_{2} - 3)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 3)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 4) - {(t_{1} + t_{2} - 2)}^{2}) \\ {(t_{1} - 3 t_{2} - 3)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 9) - {(t_{1} + t_{2} - 3)}^{2}) \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 8 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 6 t_{1} t_{2} + 9 t_{2}^{2} - 2 t_{1} + 4 t_{2}) & = 0 \\ 8 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 10 t_{1} t_{2} + 15 t_{2}^{2} - 6 t_{1} + 12 t_{2}) & = 0 \\ - 16 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 8 t_{1} t_{2} + 12 t_{2}^{2} - 3 t_{1} + 6 t_{2}) & = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 6 t_{1} t_{2} - 9 t_{2}^{2} + 2 t_{1} - 4 t_{2} \\ t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 10 t_{1} t_{2} - 15 t_{2}^{2} + 6 t_{1} - 12 t_{2} \\ t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 8 t_{1} t_{2} - 12 t_{2}^{2} + 3 t_{1} - 6 t_{2} \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} 10 t_{1} t_{2} - 15 t_{2}^{2} + 6 t_{1} - 12 t_{2} & = 8 t_{1} t_{2} - 12 t_{2}^{2} + 3 t_{1} - 6 t_{2} \\ 8 t_{1} t_{2} - 12 t_{2}^{2} + 3 t_{1} - 6 t_{2} & = 6 t_{1} t_{2} - 9 t_{2}^{2} + 2 t_{1} - 4 t_{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 2 t_{1} t_{2} - 3 t_{2}^{2} + 3 t_{1} - 6 t_{2} & = 0 \\ 2 t_{1} t_{2} - 3 t_{2}^{2} + t_{1} - 2 t_{2} & = 0 & \dots (♡) \end{matrix} \\ \Rightarrow & 3 t_{1} - 6 t_{2} = t_{1} - 2 t_{2} \\ \Leftrightarrow & t_{1} = 2 t_{2} \end{aligned}

が必要である。これを

(♡)

に代入すれば

t_{2}^{2} = 0

となって

t_{2} = 0

を得るが、これは最初に確認した

t_{2} > 0

に矛盾。
　よって、この

C a s e

は問題に不適である。

$C a s e 2.$ 　 $P = 12$ の場合

クリックすると証明が現れます

C a s e 1.

と同様に考える。~~正直に言うとこの解法は大変なのでこれ以上書きたくない。~~4つの要素からなる集合

\begin{array}{r} β_{1} = {t_{1}, t_{2}, - 1, - 12}, β_{2} = {t_{1}, t_{2}, - 2, - 6}, β_{3} = {t_{1}, t_{2}, - 3, - 4} \end{array}

のいずれにおいても、

t_{2}

の偏差値は一定であることを利用しよう。この偏差値を

10 h + 50

とおくと、偏差値の定義より

\begin{aligned} {\begin{matrix} \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} - 1 - 12}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1^{2} + 12^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} - 1 - 12}{4})}^{2}}} & = h \\ \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} - 2 - 6}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2^{2} + 6^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} - 2 - 6}{4})}^{2}}} & = h \\ \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} - 3 - 4}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} - 3 - 4}{4})}^{2}}} & = h \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 13)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 13)}^{2}} & = h^{2} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 8)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 8)}^{2}} & = h^{2} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 7)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 7)}^{2}} & = h^{2} \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 13)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 13)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 8)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 8)}^{2}} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 8)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 8)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 7)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 7)}^{2}} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 7)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 7)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 13)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 13)}^{2}} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} {(t_{1} - 3 t_{2} - 13)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 8)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 8)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 13)}^{2}) \\ {(t_{1} - 3 t_{2} - 8)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 7)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 7)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 8)}^{2}) \\ {(t_{1} - 3 t_{2} - 7)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 13)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 13)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 7)}^{2}) \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} - 40 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 42 t_{1} t_{2} + 63 t_{2}^{2} - 128 t_{1} + 280 t_{2} + 252) & = 0 \\ - 8 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 30 t_{1} t_{2} + 45 t_{2}^{2} - 80 t_{1} + 184 t_{2} + 180) & = 0 \\ 48 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 40 t_{1} t_{2} + 60 t_{2}^{2} - 115 t_{1} + 254 t_{2} + 240) & = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 42 t_{1} t_{2} - 63 t_{2}^{2} + 128 t_{1} - 280 t_{2} - 252 \\ t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 30 t_{1} t_{2} - 45 t_{2}^{2} + 80 t_{1} - 184 t_{2} - 180 \\ t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 40 t_{1} t_{2} - 60 t_{2}^{2} + 115 t_{1} - 254 t_{2} - 240 \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} 42 t_{1} t_{2} - 63 t_{2}^{2} + 128 t_{1} - 280 t_{2} - 252 & = 40 t_{1} t_{2} - 60 t_{2}^{2} + 115 t_{1} - 254 t_{2} - 240 \\ 40 t_{1} t_{2} - 60 t_{2}^{2} + 115 t_{1} - 254 t_{2} - 240 & = 30 t_{1} t_{2} - 45 t_{2}^{2} + 80 t_{1} - 184 t_{2} - 180 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 2 t_{1} t_{2} - 3 t_{2}^{2} + 13 t_{1} - 26 t_{2} - 12 & = 0 \\ 5 (2 t_{1} t_{2} - 3 t_{2}^{2} + 7 t_{1} - 14 t_{2} - 12) & = 0 & \dots (♢) \end{matrix} \\ \Rightarrow & 13 t_{1} - 26 t_{2} = 7 t_{1} - 14 t_{2} \\ \Leftrightarrow & t_{1} = 2 t_{2} \end{aligned}

が必要である。これを

(♢)

に代入すれば

t_{2}^{2} - 12 = 0

となって

t_{2} = \pm 2 \sqrt{3}

を得るが、

t_{2}

は集合の中で2番目に大きい要素なので $t_{2} = 2 \sqrt{3}$ が判る。
　このとき、集合

\begin{array}{r} {2 t_{2}, t_{2}, k, \frac{12}{k}} = {4 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}, k, \frac{12}{k}} (k < 0) \end{array}

において(

k > 0

の場合は

k \geq t_{2}

または

\frac{12}{k} \geq t_{2}

が成り立つため除外できる)、

t_{2} = 2 \sqrt{3}

の偏差値が $50 + \frac{10}{\sqrt{3}}$ であることを確かめられる(証明略)。よって

50 + \frac{10}{\sqrt{3}}

は本問の解の1つである。

$C a s e 3.$ 　 $P = - 12$ の場合

クリックすると証明が現れます

C a s e 2.

と同様に考える。~~特に大変なのが式の展開。~~4つの要素からなる集合

\begin{array}{r} γ_{1} = {t_{1}, t_{2}, 1, - 12}, γ_{2} = {t_{1}, t_{2}, 2, - 6}, γ_{3} = {t_{1}, t_{2}, 3, - 4} \end{array}

のいずれにおいても、

t_{2}

の偏差値は一定であることを利用しよう。この偏差値を

10 h + 50

とおくと、偏差値の定義より

\begin{aligned} {\begin{matrix} \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} + 1 - 12}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 1^{2} + 12^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} + 1 - 12}{4})}^{2}}} & = h \\ \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} + 2 - 6}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2^{2} + 6^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} + 2 - 6}{4})}^{2}}} & = h \\ \frac{t_{2} - \frac{t_{1} + t_{2} + 3 - 4}{4}}{\sqrt{\frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{4} - {(\frac{t_{1} + t_{2} + 3 - 4}{4})}^{2}}} & = h \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 11)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 11)}^{2}} & = h^{2} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 4)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 4)}^{2}} & = h^{2} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}} & = h^{2} \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 11)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 11)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 4)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 4)}^{2}} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 4)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 4)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}} \\ \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}} & = \frac{{(t_{1} - 3 t_{2} - 11)}^{2}}{4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 11)}^{2}} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} {(t_{1} - 3 t_{2} - 11)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 4)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 4)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 11)}^{2}) \\ {(t_{1} - 3 t_{2} - 4)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 40) - {(t_{1} + t_{2} - 4)}^{2}) \\ {(t_{1} - 3 t_{2} - 1)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 145) - {(t_{1} + t_{2} - 11)}^{2}) & = {(t_{1} - 3 t_{2} - 11)}^{2} (4 (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 25) - {(t_{1} + t_{2} - 1)}^{2}) \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} - 56 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 30 t_{1} t_{2} + 45 t_{2}^{2} - 20 t_{1} + 16 t_{2} - 180) & = 0 \\ - 24 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 10 t_{1} t_{2} + 15 t_{2}^{2} + 20 t_{1} - 64 t_{2} - 60) & = 0 \\ 80 (t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} - 24 t_{1} t_{2} + 36 t_{2}^{2} + 13 t_{1} - 50 t_{2} - 144) & = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 30 t_{1} t_{2} - 45 t_{2}^{2} + 20 t_{1} - 16 t_{2} + 180 \\ t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 10 t_{1} t_{2} - 15 t_{2}^{2} - 20 t_{1} + 64 t_{2} + 60 \\ t_{1}^{3} - 4 t_{1}^{2} t_{2} + 3 t_{1} t_{2}^{2} & = 24 t_{1} t_{2} - 36 t_{2}^{2} - 13 t_{1} + 50 t_{2} + 144 \end{matrix} \\ \Rightarrow & {\begin{matrix} 30 t_{1} t_{2} - 45 t_{2}^{2} + 20 t_{1} - 16 t_{2} + 180 & = 24 t_{1} t_{2} - 36 t_{2}^{2} - 13 t_{1} + 50 t_{2} + 144 \\ 24 t_{1} t_{2} - 36 t_{2}^{2} - 13 t_{1} + 50 t_{2} + 144 & = 10 t_{1} t_{2} - 15 t_{2}^{2} - 20 t_{1} + 64 t_{2} + 60 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 3 (2 t_{1} t_{2} - 3 t_{2}^{2} + 11 t_{1} - 22 t_{2} + 12) & = 0 \\ 7 (2 t_{1} t_{2} - 3 t_{2}^{2} + t_{1} - 2 t_{2} + 12) & = 0 & \dots (♣) \end{matrix} \\ \Rightarrow & 11 t_{1} - 22 t_{2} = t_{1} - 2 t_{2} \\ \Leftrightarrow & t_{1} = 2 t_{2} \end{aligned}

が必要である。これを

(♣)

に代入すれば

t_{2}^{2} + 12 = 0

となるが、そのような

t_{2}

は存在しないため矛盾。
　よって、この

C a s e

は問題に不適である。

　以上3つの

C a s e

を考えた結果として、本問の解は $50 + \frac{10}{\sqrt{3}}$ に限られる。

あとがき　～この部分に入れる文章は朝4時のテンションで決めています～

　Aはゲーム終了後、直ちにこの事実を見抜いたという。ゲームの会場で紙とペンを取り出し、場の空気も読まずに黙々と計算したのだろうか。それとも、この程度の事実は暗算で導けたのだろうか。謎は深まるばかりだが、いずれにせよ、いかにも数学者らしいエピソードであろう。~~勿論フィクションである。~~

　本問を解く鍵はどこにあったか。それは、「Aが2位であったこと」、「3位と4位のスコア自体は不必要で、その積だけを用いてAの偏差値が算出されたこと」、それから「同順位の参加者がいなかったこと」の3つだ。
　最後の1つは一見役に立っていないように思われるが、実際には補題を解く過程で強く貢献している。それを確認しよう。補題において

x = y = 0

とすると、これは

(x + 1) (y + 1) = 1

を満たし、かつNのスコアが2番目に大きい状況は覆らない。だが、このときNの偏差値を計算すると

50 - \frac{10}{\sqrt{3}}

になってしまう(

∵

0

はスコアの平均である

\frac{0 + 0 + 0 + 1}{4} = \frac{1}{4}

よりも小さい)。補題の解が存在しなくなるのだ。補題が解けなければ原題も解けないので(原題においては4人のスコアが

2, 1, 1, 1

である場合が考えられる)、このケースを除外するために「同順位の参加者がいなかったこと」はどうしても必要だった。

　最後に解説(もしくは別解)を検討すると、副次的な結果として「題意を満たす得点分布において、1位のスコアは2位のスコアの2倍である」という性質も得られている。こちらも興味深い性質だ。もしも読者がこのゲームに(読者含め4人で)参加して2位となり、1位が読者のスコアの2倍となっていれば、本問と同様の状況を迎えているかもしれない。超レアな体験の可能性に賭けて、直ちに3位と4位のスコアの積を訊いてみよう。ゲームの名前は知らないけれども。
　本問を通じて、新たなる偏差値erが誕生することを微かに望む。

　長かった。前回の「テストと8人の受験者」で「HTMLコードも含めて7000文字以上書いたのだが」などと甘えたことを言っていたのがもはや懐かしい。今回はなんと約29000文字(HTMLコードも含めて)。「別解を書こう」と思った時点で間違っていたのかもしれない。

投稿日：2021年8月24日

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主に初等幾何・レムニスケート。時々偏差値・多重根号。「たとえ作曲家が忘れ去られた日であっても、彼の旋律が街並みを縫って美しく流れていますように。」

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偏差値erからの手紙(解答編)

問題　～手紙では相手にとって分かりやすい伝え方を心がけましょう～
方針　～偏差値erって何？経歴は？年収は？調べてみました！～
解説　～日本のスマ補題は長すぎる～
別解　～補題に頼らなければこうなります～
あとがき　～この部分に入れる文章は朝4時のテンションで決めています～

偏差値erからの手紙(解答編)

問題 ～手紙では相手にとって分かりやすい伝え方を心がけましょう～

方針 ～偏差値erって何？ 経歴は？ 年収は？ 調べてみました！～

解説 ～日本のスマ補題は長すぎる～

別解 ～補題に頼らなければこうなります～

あとがき ～この部分に入れる文章は朝4時のテンションで決めています～

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方針　～偏差値erって何？経歴は？年収は？調べてみました！～

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別解　～補題に頼らなければこうなります～

あとがき　～この部分に入れる文章は朝4時のテンションで決めています～