普通のチェザロ和の証明

任意の$\epsilon >0$に対してある$n_0\in \mathbb{N}$があり、全ての$k\ge n_0$に対して$|a_k-\alpha |\le \epsilon$.
$$\begin{array}{rcl}|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}-\alpha |& \le & \left|\frac{a_1+\cdots +a_{n_0}}{n}\right|+|\frac{a_{n_0}+\cdots +a_n}{n}-\alpha |\\ & \le & \frac{max\{|a_1|,\dots ,|a_{n_0}|\}}{n}+|\frac{a_{n_0}+\cdots +a_n}{n}-\alpha |\\ & \le & \frac{max\{|a_1|,\dots ,|a_{n_0}|\}}{n}+\frac{|a_{n_0}-\alpha |+\cdots +|a_n-\alpha |}{n}\\ & \le & \frac{max\{|a_1|,\dots ,|a_{n_0}|\}}{n}+\epsilon \to \epsilon \end{array}$$
が$n\to \mathrm{\infty }$のとき成り立つ.
つまり、任意の$\epsilon >0$に対して$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}-\alpha |\le \epsilon$.
ここで$\epsilon \searrow 0$とすると$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}-\alpha |=0$.