普通のチェザロ和の証明

任意の$\varepsilon>0$に対してある$n_0\in\mathbb{N}$があり、全ての$k\geq n_0$に対して$|a_k -\alpha|\leq\varepsilon$.
$$ \begin{array}{rcl} \left|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}-\alpha\right| &\leq& \left|\frac{a_1+\cdots +a_{n_0}}{n}\right|+\left|\frac{a_{n_0}+\cdots +a_n}{n}-\alpha\right| \\ & \leq& \frac{\max\{|a_1|,\ldots ,|a_{n_0}|\}}{n}+\left|\frac{a_{n_0}+\cdots +a_n}{n}-\alpha\right| \\ & \leq& \frac{\max\{|a_1|,\ldots ,|a_{n_0}|\}}{n}+\frac{|a_{n_0}-\alpha|+\cdots +|a_n -\alpha|}{n} \\ & \leq& \frac{\max\{|a_1|,\ldots ,|a_{n_0}|\}}{n}+\varepsilon \quad\to\varepsilon \\ \end{array} $$
が$n\to\infty$のとき成り立つ.
つまり、任意の$\varepsilon>0$に対して$\limsup _{n\to\infty}\left|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}-\alpha\right|\leq\varepsilon$.
ここで$\varepsilon\searrow0$とすると$\limsup _{n\to\infty}\left|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}-\alpha\right|=0$.