集合 ⑤

Prop & Proof

集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cup C $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。

1. 和集合の定義より
   $$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\cup C) $$
   さらに和集合の定義より
   $$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor \ x\in C) $$
   であるから
   $$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ (x\in B\ \lor \ x\in C)) $$
   が成り立つ。ここで$\lor$の結合法則
   $$ P\lor(Q\lor R)\ \Leftrightarrow\ (P\lor Q)\lor R $$
   より、括弧を省略する事ができ、
   $$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\ \lor \ x\in C) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 一方で、和集合の定義より
   $$ x\in (A\cup B)\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cup B\ \lor \ x\in C) $$
   さらに
   $$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B) $$
   であるから
   $$ x\in (A\cup B)\cup C\ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \lor \ x\in B)\ \lor \ x\in C) $$
   が成り立つ。ここで$\lor$の結合法則
   $$ P\lor(Q\lor R)\ \Leftrightarrow\ (P\lor Q)\lor R $$
   より、括弧を省略する事ができ、
   $$ x\in (A\cup B)\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\ \lor \ x\in C) $$
   が成り立つ。

-以上より任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cup C $$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cap C $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。

1. 共通部分の定義より
   $$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B\cap C) $$
   さらに共通部分の定義より
   $$ x\in B\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in C) $$
   であるから
   $$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ (x\in B\ \land\ x\in C)) $$
   が成り立つ。ここで$\land$の結合法則
   $$ P\land(Q\land R)\ \Leftrightarrow\ (P\land Q)\land R $$
   より、括弧を省略する事ができ、
   $$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land \ x\in B\ \land \ x\in C) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 一方で、共通部分の定義より
   $$ x\in (A\cap B)\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cap B\ \land\ x\in C) $$
   さらに
   $$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B) $$
   であるから
   $$ x\in (A\cap B)\cap C\ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ x\in B)\ \land\ x\in C) $$
   が成り立つ。ここで$\land$の結合法則
   $$ P\land(Q\land R)\ \Leftrightarrow\ (P\land Q)\land R $$
   より、括弧を省略する事ができ、
   $$ x\in (A\cap B)\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land \ x\in B\ \land \ x\in C) $$
   が成り立つ。

-以上より任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cap C $$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。

1. 共通部分と和集合の定義より
   $$ x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B\cup C) $$
   さらに和集合の定義より
   $$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor \ x\in C) $$
   であるから
   $$ x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ (x\in B\ \lor \ x\in C)) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 一方で、和集合と共通部分の定義より
   $$ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cap B\ \lor \ x\in A\cap C) $$
   さらに共通部分の定義より
   $$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B) $$
   $$ x\in A\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in C) $$
   であるから
   $$ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ x\in B)\ \lor \ (x\in A\ \land\ x\in C)) $$
   が成り立つ。ここで命題論理の分配法則より
   $$ (x\in A\ \land\ (x\in B\ \lor \ x\in C)) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ x\in B)\ \lor \ (x\in A\ \land\ x\in C)) $$
   が成り立つ。
   $ $

-従って任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C) $$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。

1. 和集合と共通部分の定義より
   $$ x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\cap C) $$
   さらに共通部分の定義より
   $$ x\in B\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in C) $$
   であるから
   $$ x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ (x\in B\ \land\ x\in C)) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 一方で、共通部分と和集合の定義より
   $$ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cup B\ \land\ x\in A\cup C) $$
   さらに和集合の定義より
   $$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B) $$
   $$ x\in A\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in C) $$
   であるから
   $$ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \lor \ x\in B)\ \land\ (x\in A\ \lor \ x\in C)) $$
   が成り立つ。ここで命題論理の分配法則より
   $$ (x\in A\ \lor \ (x\in B\ \land\ x\in C)) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \lor \ x\in B)\ \land\ (x\in A\ \lor \ x\in C)) $$
   が成り立つ。
   $ $

-従って任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C) $$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$