集合 ⑤
はじめに
こちら ① に、これまでに作成した数学ノートをシリーズとしてまとめています(※)。
※ 読み進める順番は、ページ下部（古い記事）から上部（新しい記事）へです。
$ $
こちら ➁ に、証明を進めるうえでのポイントを随時まとめています。必要に応じて参照してください。
こちら ③ に、数学における基本用語を随時まとめています。必要に応じて参照してください。
$ $
Prop & Proof
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B,C\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cup C
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
- 和集合の定義より
$$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\cup C) $$
さらに和集合の定義より
$$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor \ x\in C) $$
であるから
$$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ (x\in B\ \lor \ x\in C)) $$
が成り立つ。ここで$\lor$の結合法則
$$ P\lor(Q\lor R)\ \Leftrightarrow\ (P\lor Q)\lor R $$
より、括弧を省略する事ができ、
$$ x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\ \lor \ x\in C) $$
が成り立つ。
$ $ - 一方で、和集合の定義より
$$ x\in (A\cup B)\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cup B\ \lor \ x\in C) $$
さらに
$$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B) $$
であるから
$$ x\in (A\cup B)\cup C\ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \lor \ x\in B)\ \lor \ x\in C) $$
が成り立つ。ここで$\lor$の結合法則
$$ P\lor(Q\lor R)\ \Leftrightarrow\ (P\lor Q)\lor R $$
より、括弧を省略する事ができ、
$$ x\in (A\cup B)\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\ \lor \ x\in C) $$
が成り立つ。
-以上より任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cup C
$$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B,C\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cap C
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
- 共通部分の定義より
$$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B\cap C) $$
さらに共通部分の定義より
$$ x\in B\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in C) $$
であるから
$$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ (x\in B\ \land\ x\in C)) $$
が成り立つ。ここで$\land$の結合法則
$$ P\land(Q\land R)\ \Leftrightarrow\ (P\land Q)\land R $$
より、括弧を省略する事ができ、
$$ x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land \ x\in B\ \land \ x\in C) $$
が成り立つ。
$ $ - 一方で、共通部分の定義より
$$ x\in (A\cap B)\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cap B\ \land\ x\in C) $$
さらに
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B) $$
であるから
$$ x\in (A\cap B)\cap C\ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ x\in B)\ \land\ x\in C) $$
が成り立つ。ここで$\land$の結合法則
$$ P\land(Q\land R)\ \Leftrightarrow\ (P\land Q)\land R $$
より、括弧を省略する事ができ、
$$ x\in (A\cap B)\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land \ x\in B\ \land \ x\in C) $$
が成り立つ。
-以上より任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cap C
$$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B,C\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
- 共通部分と和集合の定義より
$$ x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B\cup C) $$
さらに和集合の定義より
$$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor \ x\in C) $$
であるから
$$ x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ (x\in B\ \lor \ x\in C)) $$
が成り立つ。
$ $ - 一方で、和集合と共通部分の定義より
$$ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cap B\ \lor \ x\in A\cap C) $$
さらに共通部分の定義より
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B) $$
$$ x\in A\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in C) $$
であるから
$$ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ x\in B)\ \lor \ (x\in A\ \land\ x\in C)) $$
が成り立つ。ここで命題論理の分配法則より
$$ (x\in A\ \land\ (x\in B\ \lor \ x\in C)) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ x\in B)\ \lor \ (x\in A\ \land\ x\in C)) $$
が成り立つ。
$ $
-従って任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)
$$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B,C\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
- 和集合と共通部分の定義より
$$ x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B\cap C) $$
さらに共通部分の定義より
$$ x\in B\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in C) $$
であるから
$$ x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ (x\in B\ \land\ x\in C)) $$
が成り立つ。
$ $ - 一方で、共通部分と和集合の定義より
$$ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cup B\ \land\ x\in A\cup C) $$
さらに和集合の定義より
$$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in B) $$
$$ x\in A\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor \ x\in C) $$
であるから
$$ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \lor \ x\in B)\ \land\ (x\in A\ \lor \ x\in C)) $$
が成り立つ。ここで命題論理の分配法則より
$$ (x\in A\ \lor \ (x\in B\ \land\ x\in C)) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \lor \ x\in B)\ \land\ (x\in A\ \lor \ x\in C)) $$
が成り立つ。
$ $
-従って任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)
$$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
