文献あり

自然密度がゼロになる例

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mathoverflowでのテレンス・タオの回答[1]の前半部分
自然密度の定義は参考文献[2]でも見てください

$A \subseteq N$ が $\sum_{a \in A} \frac{1}{a} < + \infty$ を満たすとき、 $A$ の自然密度は $0$ .

まず任意の $ε > 0$ に対して、ある $J \geq 0$ があり、全ての $j \geq J$ に対して $\frac{| [2^{j}, 2^{j + 1}) \cap A |}{2^{j}} \leq ε$ である.
なぜなら、さもなくば $j_{1} < j_{2} < \dots$ があり $| [2^{j_{i}}, 2^{j_{i} + 1}) \cap A | > 2^{j_{i}} ε$ を満たすので
$\sum_{a \in A} \frac{1}{a} \geq \sum_{i = 1}^{\infty} \sum_{a \in [2^{j_{i}}, 2^{j_{i} + 1}) \cap A} \frac{1}{a} \geq \sum_{i = 1}^{\infty} \sum_{a \in [2^{j_{i}}, 2^{j_{i} + 1}) \cap A} \frac{1}{2^{j_{i}}} \geq \sum_{i = 1}^{\infty} \sum_{a \in [2^{j_{i}}, 2^{j_{i} + 1}) \cap A} \frac{2^{j_{i}} ε}{2^{j_{i}}} = \sum_{i = 1}^{\infty} ε = + \infty$
となってしまい矛盾するからである.これより $N \geq 2^{J}$ に対して $N \in [2^{J^{'}}, 2^{J^{'} + 1})$ とし、大雑把に評価すると
$| [1, N] \cap A | \leq 2^{J} + \sum_{j = J}^{J^{'}} | [2^{j_{i}}, 2^{j_{i} + 1}) \cap A | \leq 2^{J} + \sum_{j = J}^{J^{'}} 2^{j} ε \leq 2^{J} + 2^{J^{'} + 1} ε \leq 2^{J} + 2 ε N$
なので $\underset{N \to + \infty}{lim sup} \frac{| [1, N] \cap A |}{N} \leq \underset{N \to + \infty}{lim sup} \frac{2^{J} + 2 ε N}{N} = 2 ε$ となり $ε \to 0$ とすることで、 $lim_{N \to + \infty} \frac{| [1, N] \cap A |}{N} = 0$ を得る.