自然密度がゼロになる例

まず任意の$\epsilon >0$に対して、ある$J\ge 0$があり、全ての$j\ge J$に対して$\frac{|[2^j,2^{j+1})\cap A|}{2^j}\le \epsilon$である.
なぜなら、さもなくば$j_1<j_2<\cdots$があり$|[2^{j_i},2^{j_i+1})\cap A|>2^{j_i}\epsilon$を満たすので
$$\sum _{a\in A}\frac{1}{a}\ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a\in [2^{j_i},2^{j_i+1})\cap A}\frac{1}{a}\ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a\in [2^{j_i},2^{j_i+1})\cap A}\frac{1}{2^{j_i}}\ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a\in [2^{j_i},2^{j_i+1})\cap A}\frac{2^{j_i}\epsilon }{2^{j_i}}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\epsilon =+\mathrm{\infty }$$
となってしまい矛盾するからである.これより$N\ge 2^J$に対して$N\in [2^{J^{\prime }},2^{J^{\prime }+1})$とし、大雑把に評価すると
$$|[1,N]\cap A|\le 2^J+\sum _{j=J}^{J^{\prime }}|[2^{j_i},2^{j_i+1})\cap A|\le 2^J+\sum _{j=J}^{J^{\prime }}{2}^j\epsilon \le 2^J+2^{J^{\prime }+1}\epsilon \le 2^J+2\epsilon N$$
なので$\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{|[1,N]\cap A|}{N}\le \underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{2^J+2\epsilon N}{N}=2\epsilon$となり$\epsilon \to 0$とすることで、$\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{|[1,N]\cap A|}{N}=0$を得る.