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実対称行列の対角化からのスペクトラル分解

以下では $n \times n$ 実行列のみを考える。
対角成分が $a_{1}, \dots, a_{n}$ の対角行列を $diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ と書く。つまり
$diag (a_{1}, \dots, a_{n}) := [\begin{matrix} a_{1} & 0 \\ ⋱ \\ 0 & a_{n} \end{matrix}]$
とする。
行列 $A$ の転置行列を $A^{⊤}$ と書く。
そして $A^{⊤} = A$ を満たすとき $A$ は対称行列であるという。
また $A^{⊤} = A^{- 1}$ を満たすとき $A$ は直交行列であるという。
次は有名な定理。

対称行列の対角化

$A$ が対称行列なら、ある $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in R$ とある直交行列 $O$ があり
$A = O^{- 1} diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) O$
と書ける。

ここで $E_{1} := diag (1, 0, 0, \dots, 0), E_{2} := diag (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, E_{n} := diag (0, \dots, 0, 1)$ と置き、 $P_{i} := O^{- 1} E_{i} O$ を考える。