実対称行列の対角化からのスペクトラル分解

以下では$n\times n$実行列のみを考える。
対角成分が$a_1,\ldots ,a_n$の対角行列を$\mathrm{diag}(a _1,\ldots ,a _n)$と書く。つまり
$$\mathrm{diag}(a _1,\ldots ,a _n):= \begin{bmatrix} a_1 & & \huge{0}\\ &\ddots &\\ \huge{0}&& a _n \end{bmatrix}$$
とする。
行列$A$の転置行列を$A^\top$と書く。
そして$A^\top=A$を満たすとき$A$は対称行列であるという。
また$A^\top =A^{-1}$を満たすとき$A$は直交行列であるという。
次は有名な定理。

ここで$E_1:=\mathrm{diag}(1,0,0,\ldots ,0),E_2:=\mathrm{diag}(0,1, 0,\ldots ,0),\ldots, E_n:=\mathrm{diag}(0,\ldots ,0,1)$と置き、$P_i:=O^{-1}E_iO$を考える。

スペクトラル分解については参考文献の通り。