二つの円柱を合わせた図形

この図形は二つの円柱の合わせた図形であるから
和集合を考えると、
$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|x^2+z^2\leq1\rbrace$と$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|y^2+z^2\leq1\rbrace$
の和集合だから、$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|x^2+z^2\leq1\lor y^2+z^2\leq1\rbrace$
$=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}x^2\leq1-z^2\lor y^2\leq1-z^2\rbrace$
$=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|\min(x^2,y^2)\leq1-z^2\rbrace$
$=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|\min(x^2,y^2)+z^2\leq1\rbrace$
よってこの図形(の境界の面)の式は
$\min(x^2,y^2)+z^2=1$となる。

与式を変形する
$\min(x^2,y^2)+z^2=1$
$z^2=1-\min(x^2,y^2)$
$z=\pm\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}$
$z\leq0$の部分と$z\geq0$の部分の面積は等しい

このことから重積分を用いると次のようになる
$$V=2\int^1_{-1}\int^1_{-1}\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}dxdy$$
$\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}$は偶関数だから
$$=8\int^1_0\int^1_0\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}dxdy$$
$$=8\int^1_0((\int^y_0\sqrt{1-x^2}dx)+(\int^1_y\sqrt{1-y^2}dx))dy$$
$$=8(\int^1_0\int^y_0\sqrt{1-x^2}dxdy+\int^1_0\int^1_y\sqrt{1-y^2}dxdy)$$
$$=8(\int^1_0\int^1_x\sqrt{1-x^2}dydx+\int^1_0\int^1_y\sqrt{1-y^2}dxdy)$$
$$=16\int^1_0\int^1_x\sqrt{1-x^2}dydx$$
$$=16\int^1_0(1-x)\sqrt{1-x^2}dx$$
$$=4\pi -\frac{16}{3}$$

表面積の公式から
$$S=\int^1_{-1}\int^1_{-1}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$$
$$=\int^1_{-1}\int^1_{-1}\sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}\right)^2}dxdy$$
$$=4\int^1_0\left(\int^y_0\sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-x^2}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-x^2}\right)^2}dx+\int^1_y\sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-y^2}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-y^2}\right)^2}dx\right)dy$$
$$=4\int^1_0\left(\int^y_0\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}dx+\int^1_y\sqrt{1+\left(-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2}dx\right)dy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}dxdy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dxdy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}dxdy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxdy$$
$$=4\int^1_0\frac{\pi}{2}dy$$
=$2\pi$