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大学数学基礎解説
文献あり

二つの円柱を合わせた図形

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はじめに

こんにちは、AGAです。
今回は初めての図の導入も含めた記事になっています。

本題

今回考えていくのは上半分が以下の図1のようになる立体です
二つの円柱を合わせた図形(紫は重なっている部分) 二つの円柱を合わせた図形(紫は重なっている部分)

二つの円柱の式はそれぞれ$x^2+z^2=1,y^2+z^2=1$とする。

定式化

この図形の式は
$$\min(x^2,y^2)+z^2=1$$

この図形は二つの円柱の合わせた図形であるから
和集合を考えると、
$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|x^2+z^2\leq1\rbrace$$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|y^2+z^2\leq1\rbrace$
の和集合だから、$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|x^2+z^2\leq1\lor y^2+z^2\leq1\rbrace$
$=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}x^2\leq1-z^2\lor y^2\leq1-z^2\rbrace$
$=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|\min(x^2,y^2)\leq1-z^2\rbrace$
$=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R^3}|\min(x^2,y^2)+z^2\leq1\rbrace$
よってこの図形(の境界の面)の式は
$\min(x^2,y^2)+z^2=1$となる。

体積

ここからは無限の円柱の部分を考えてもつまらないので、
$$-1\leq x\leq1,-1\leq y\leq1$$
の範囲で考える。

上記の範囲で
$\min(x^2,y^2)+z^2=1$で挟まれた体積$V$
$$V=4\pi-\frac{16}{3}$$

与式を変形する
$\min(x^2,y^2)+z^2=1$
$z^2=1-\min(x^2,y^2)$
$z=\pm\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}$
$z\leq0$の部分と$z\geq0$の部分の面積は等しい

このことから重積分を用いると次のようになる
$$V=2\int^1_{-1}\int^1_{-1}\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}dxdy$$
$\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}$は偶関数だから
$$=8\int^1_0\int^1_0\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}dxdy$$
$$=8\int^1_0((\int^y_0\sqrt{1-x^2}dx)+(\int^1_y\sqrt{1-y^2}dx))dy$$
$$=8(\int^1_0\int^y_0\sqrt{1-x^2}dxdy+\int^1_0\int^1_y\sqrt{1-y^2}dxdy)$$
$$=8(\int^1_0\int^1_x\sqrt{1-x^2}dydx+\int^1_0\int^1_y\sqrt{1-y^2}dxdy)$$
$$=16\int^1_0\int^1_x\sqrt{1-x^2}dydx$$
$$=16\int^1_0(1-x)\sqrt{1-x^2}dx$$
$$=4\pi -\frac{16}{3}$$

表面積

上記の範囲で
$\min(x^2,y^2)+z^2=1$で挟まれた表面積$S$
$$S=2\pi$$

表面積の公式から
$$S=\int^1_{-1}\int^1_{-1}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$$
$$=\int^1_{-1}\int^1_{-1}\sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-\min(x^2,y^2)}\right)^2}dxdy$$
$$=4\int^1_0\left(\int^y_0\sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-x^2}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-x^2}\right)^2}dx+\int^1_y\sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-y^2}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-y^2}\right)^2}dx\right)dy$$
$$=4\int^1_0\left(\int^y_0\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}dx+\int^1_y\sqrt{1+\left(-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2}dx\right)dy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}dxdy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dxdy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}dxdy$$
$$=4\int^1_0\int^1_0\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxdy$$
$$=4\int^1_0\frac{\pi}{2}dy$$
=$2\pi$

参考文献

投稿日:20211123

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投稿者

AAG
AAG
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抽象代数学(群とか圏とか)が好きな高校3年生。気分屋です。 (元の名前:AGA) Twitterではキャベツとして呟いてます 厳密にテキトーにやってます。 基本検算しません。 間違いがあったら容赦なく指摘してください。

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