調和振動子の時間発展とsl2表現

こんばんは。今日はsl2のSchwartz空間上の表現を生成子とした変換の具体例として量子調和振動子を見ていきます。
堀田量子力学を全面的に参考にしています。

量子系の2つの時間発展の表現形式

量子力学において孤立系の純粋状態を保つ物理操作をUnitary操作と呼び、孤立系の時間発展はUnitary操作である。孤立系の時間発展に関しては次のSchrödinger方程式が基本的である。(演算子は花文字フォントで書くことにする)
$$i\hbar \frac d{dt}\pt{t}=\mathcal H_S(t) \pt{t}$$
$\ps$は状態ベクトルと呼ばれ、量子力学で物質系の状態を数学的に表すための複素ベクトルである。
$\H_S(t)$はHamiltonianと呼ばれ、通常は系の全エネルギーなる物理量に対応するHermite演算子として解釈でき、時間と共役になっている。つまり時間発展(時間並進)の生成子はHamiltonianである。時間発展のunitary演算子$\mathcal U(t)~\q{~\pt t=\mathcal U(t-t_0)\pt {t_0}~}$があって
$$i\hbar \frac d{dt}\mathcal U(t)=\mathcal H_S(t)\mathcal U(t)$$
と数学的に表せる。
任意の物理量に対してHermite演算子が対応しており、状態ベクトルに作用させて物理量を得ることができる。例えば運動量$\mathcal P=i\hbar \nabla,$位置$\mathcal X=(x_1,\ldots,x_N)$があり、ポテンシャルエネルギー$V(\mathbf x,t)$のもとでの一粒子のHamiltonianは$\mathcal H=\frac1{2m}\mathcal P^2+V(\mathbf x,t)$となる。以下ではポテンシャルが時間依存しない場合$(V(\mathbf x)=V(\mathbf x,t),\mathcal H_S=\mathcal H_S(t)~)$を考える。状態ベクトルの時間発展は$(\Delta t=t-t_0)$
$$\pt t=\mathcal U(\Delta t)\pt {t_0}=\left.\exp\q{\Delta t\frac d{dt}}\cdot \pt t\right|_{t=t_0}=\left.\exp\q{\frac{\Delta t}{i\hbar}\mathcal H_S }\cdot \pt t\right|_{t=t_0}$$
となる。量子力学における観測の場合、一定の法則を満たすような物理量は期待値としてしか得られないが、一般の物理量$O$に対応する演算子$\mathcal O$と、系の状態を表す密度演算子$\rho$があれば期待値は$\langle O\rangle=Tr[\rho \mathcal O]$と計算できる。時間$t$での物理量$O(t)$の期待値は
\begin{align}\langle O(t)\rangle &=Tr[\rho(t) \mathcal O]\\ &=Tr[\mathcal U(\Delta t)\rho(t_0) \mathcal U(\Delta t)^\dagger\mathcal O]\\ &=Tr[\rho(t_0) \mathcal U(\Delta t)^\dagger\mathcal O\mathcal U(\Delta t)]\\ &=Tr[\rho(t_0) \mathcal O_H(\Delta t)] \end{align}
というように計算できる。ここで$\mathcal O_H(\Delta t)= \mathcal U(\Delta t)^\dagger\mathcal O\mathcal U(\Delta t)$は時間発展する演算子であり、状態は$t=t_0$に固定されている。
系の時間発展について
「密度演算子$\rho(t)$や状態ベクトルが時間発展して、Observable$\mathcal O$(物理量の観測の動作、演算子の作用)は変化しない」とする考え方をSchrödinger描像、対比的に
「密度演算子$\rho(t_0)$や状態ベクトルが変化せず、Observalbe,演算子$\mathcal O_H(t)$が時間発展する」とする考え方をHeisenberg描像と呼ぶ。双方とも時間発展する中間的な考えをDirac描像(または相互作用猫象)と呼ぶ。
演算子的に見れば状態ベクトルは関数、状態空間(状態ベクトルの集合)は演算子の成す環の加群というデータ構造として見ることができる。
まさに位置と運動量が成す演算子はWeyl代数である。「位置」は古典的には連続的な概念であるので量子力学では十分大きな$N$で位置を$N$分割して物体の位置に応じて$N$個の状態があると考えて極限$N\rightarrow \infty$により連続的な物理量を扱うという導入がなされる。しかし、位置と運動量は性質が良く、無限次元行列という巨大な"表現行列"を扱わなくとも、$sl_2\R$といった小さい代数構造として考えられる場合などがある。
Heisenbergの運動方程式(微小時間発展を記述する方程式,Heisenberg描像における運動方程式)を求めておこう(これは堀田量子力学の演習問題である。)。時間発展の演算子$\mathcal U$はユニタリなので
$$i\hbar \frac d{dt}\mathcal U(t)=\mathcal H_S\mathcal U(t),~~i\hbar \frac d{dt}\mathcal U(t)^\dagger=i\hbar \frac d{dt}\mathcal U(t)^{-1}=-\mathcal H_S\mathcal U(t),~~i\hbar\d \cdot \mathcal O=0$$
より\begin{align} -i\hbar\d \mathcal O_H(t)&=\q{-i\hbar\d \mathcal U( t)^\dagger}\mathcal O\mathcal U( t)+\mathcal U(t)^\dagger\mathcal O\q{-i\hbar\d \mathcal U(t)}\\ &=\mathcal U(t)^\dagger\mathcal H_S\mathcal O\mathcal U( t)-\mathcal U(t)^\dagger\mathcal O\mathcal H_S\mathcal U( t)\\ &=\mathcal U(t)^\dagger[\mathcal H_S,\mathcal O]\mathcal U( t)\\ &=[\mathcal U(t)^\dagger\mathcal \H_S\mathcal U(t),\mathcal U(t)^\dagger \mathcal O\mathcal U(t)]\\ &=[\mathcal H_S,\mathcal O_H(t)]\\ &=ad(\mathcal H_S)\cdot O_H(t) \end{align}
となる。このようにHeisenberg描像では時間発展は時間発展のユニタリ演算子の随伴作用,演算子の時間微分はHamiltonianの随伴作用となる。Hamiltonianは時間変化しないという仮定であったので$\mathcal O_H=\mathcal H_S$とすると時間微分は$0$になる。演算子の時間発展の数式を書き直すと
\begin{align} \mathcal O_H(t)&=\left.\exp\q{\Delta t~\d}\cdot\mathcal O_H(t)\right|_{t=t_0}\\ &=\exp\q{\Delta t~\d}\cdot\mathcal O_H(t_0)\\ &=\exp\q{\dfrac{\Delta t}{i\hbar}ad(\mathcal H_S)}\cdot\mathcal O_H(t_0)\\ &=Ad\q{\exp\q{\dfrac{\Delta t}{i\hbar}\mathcal H_S}}\cdot\mathcal O_H(t_0) \end{align}

1行目と2行目は全く同じ意味であるが、2行目は「$\mathcal O_H$を$t$の関数とみなして時間微分の演算子をかけて最後に$t=t_0$の代入操作をする」のであって「代入されたものに演算子を作用させる」と解釈するのは間違いなのでニュアンスに注意である。しかし、いちいち1行目のように表記すると式のきれいさが無いのでややずれるのは仕方ないが2行目のように書く。また、時間の基準も原点に取り直す$(t_0=0,~\Delta t=t)$。

量子調和振動子

2つの表示形式での時間発展を見たので具体例を出してそこの時間発展にあらわれるSymplectic構造について見る。
前回の記事 でSchwatz空間上の$sl_2\R$の表現を紹介したがそれを再掲する。

$1$次元空間で位置の$2$次式となるような調和振動子のポテンシャル$V(x,t)=\frac 12kx^2,~k=m\omega^2,~\beta=\sqrt{\frac\hbar{m\omega}}$を考えるとHamiltonianは
\begin{align}\mathcal{H}_S&=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\mathcal{D}^2+\dfrac{1}{2}k\mathcal{X}^2=\frac12\hbar\omega\q{-\beta^2\mathcal D^2+\beta^{-2}\mathcal X^2}\\ &=\frac 12\hbar \omega Ad\q{\beta^{-\mathcal{XD}-\frac12}}\cdot(\mathcal D^2-\mathcal X^2)\end{align}
となる。$\q{位置演算子\mathcal{X}･g(x)=xg(x),~微分演算子\mathcal{D}･g(x)=\dfrac{d}{dx}･g(x)=g'(x)}$
これを見るとまさに調和振動子のHamiltonianは$sl_2\R$の表現で表される対象であるとわかる。$sl_2\R$上に自己同型Adが作用しているが、生成元$H$がスケール変換の生成子であることを踏まえれば、$Ad\q{\beta^{-H}}\cdot E_+=\beta^{-2}E_+,~Ad\q{\beta^{-H}}\cdot E_-=\beta^{2}E_-$のように作用する。(HがHamiltonianの記号と紛らわしくなってしまった...)
このような2次式のポテンシャルは一般のポテンシャルの停留点微小近傍での近似を考える際によく用いられたりする。
Heisenberg描像での調和振動子の時間発展の生成子は
\begin{align}\frac t{i\hbar}ad(\mathcal H_S)&= {\omega t}~ad\q{Ad\q{\beta^{-H}}\cdot (E_+-E_-)}\\ &=\omega t~Ad\q{\beta^{-H}}\cdot ad(E_+-E_-)\\ &\equiv \Delta t\d\end{align}
と計算できる。ここで同値記号は、演算子としてはイコールではないが物理量の演算子に作用させる場合において等しいと言う意味で用いた。なので演算子の時間発展の演算子(Ad作用は演算子を演算子に変換する演算子である)は
\begin{align}\exp\q{\Delta t \d}&\equiv \exp\q{\omega t~Ad\q{\beta^{-H}}\cdot ad(E_+-E_-)}\\ &=Ad\q{\beta^{-H}}\cdot\exp\q{-\omega t~ad(E_r)}\end{align}
$(E_r=E_--E_+)$となる。形式的に演算子で書いたが、調和振動子は角速度$\omega$で運動を行うが、演算子には「周期性」が明示的には現れていない。通常はここから演算子を作用させて解を考察することで周期性があることを確認することができるが、具体的に関数に作用させること無く、純粋なHeisenberg描像として演算子だけで周期性の性質を確認することはできるだろうか?というのが僕の高2夏のときの疑問である。実際に$SL_2\R$の構造を経由して自然表現を用いて演算子を別の表示に変形すると周期性が一目瞭然の形になるということに高2夏のとき気づいた。

時間発展は演算子のAd作用ではたらくが、$sl_2\R$のHeisenberg代数上のad作用は
\begin{align} ad(E_+)\cdot (c_+\mathcal X+c_-i\mathcal D)&=c_-\mathcal X\\ ad(E_-)\cdot (c_+\mathcal X+c_-i\mathcal D)&=c_+i\mathcal D\\ ad(H)\cdot (c_+\mathcal X+c_-i\mathcal D)&=2c_+\mathcal X-2c_-i\mathcal D \end{align}

となるから基底$[\mathcal{X,iD}]$での表現行列は見事に$sl_2\R$の自然表現と一致する。

\begin{align}\rho( H)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\\ \rho( E_+)= \left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\\ \rho( E_-) = \left(\begin{array}{cc}0&0\\ 1&0\end{array}\right)\\ \end{align}
$\R^2$での原点中心の回転全体は回転行列の線形Lie群
$$SO(2)=\left\{ \begin{eqnarray} \left.\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{array} \right)\right|\theta\in \R \end{eqnarray}\right\}$$となるが、これのLie環は
$$so(2)=\left\{ \begin{eqnarray} \left.\left( \begin{array}{cc} 0 & -t \\ t & 0 \end{array} \right)\right|t\in \R \end{eqnarray}\right\}$$
となる。これは$\rho(E_r)=-\rho(E_+)+\rho(E_-)$を基底とする線形空間であり、本質的に演算子の時間発展の部分になっている。
前回の記事 の$\exp(sl2)$の明示公式を使えば

\begin{align} \exp\left( \begin{array}{cc} 0 & -\theta \\ \theta & 0 \end{array} \right)&=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} 1 & -\tan(\theta/2) \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \sin\theta & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & -\tan(\theta/2) \\ 0 & 1 \end{array} \right)\\ &=\exp\left( \begin{array}{cc} 0 & -\tan(\theta/2) \\ 0 & 0 \end{array} \right)\exp\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & 0 \end{array} \right)\exp\left( \begin{array}{cc} 0 & -\tan(\theta/2) \\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{align}
という式が成立するので表現の逆写像の準同型$\rho^{-1}$に対応するLie群の準同型で全体を写すとHeisenberg Lie代数上の表現の等式が得られる:
$$\exp (\theta ad(E_r))=\exp\q{-\tan\frac\theta2ad(E+)}\exp\q{\sin\theta~ad(E-)}\exp\q{-\tan\frac\theta2~ad(E_+)}$$
なお、単純にLie環の準同型に対応するLie群の準同型を考えられる正当性は$Ad$だからLie群が単連結になっているという事による。$\theta=-\omega t$として最終的に調和振動子の時間発展は
\begin{align} \mathcal O(t)&=\exp\q{\Delta t~\d}\cdot \mathcal O(t_0)\\ &=Ad\q{\beta^{-ad(H)}}\cdot\exp\q{-\omega t~ad(E_r)}\cdot \mathcal O(t_0)\\ &=Ad\q{\beta^{-ad(H)}}\cdot\exp\q{-\tan\frac\theta2~ad(E_+)}\exp\q{\sin\theta~ad(E_-)}\exp\q{-\tan\frac{\theta}2~ad(E_+)}\cdot \mathcal O(t_0)\\ &=\beta^{ -ad(\mathcal{XD})}\exp\q{\frac i2\tan\frac{\omega t}2~ad\q{\mathcal X^2}}\exp\q{-\frac i2\sin{\omega t}~ad\q{\mathcal D^2}}\exp\q{\frac i2\tan\frac{\omega t}2~ad\q{\mathcal X^2}}\beta^{ad(\mathcal{XD})}\cdot \mathcal O(t_0)\\ &=\exp\q{\frac i2\beta^{-2}\tan\frac{\omega t}2~ad\q{\mathcal X^2}}\exp\q{-\frac i2\beta^{2}\sin{\omega t}~ad\q{\mathcal D^2}}\exp\q{\frac i2\beta^{-2}\tan\frac{\omega t}2~ad\q{\mathcal X^2}}\cdot \mathcal O(t_0) \end{align}
という結果になる。たしかに任意の物理量の演算子$\mathcal O(t)$はtの周期$2\pi/\omega$の関数になっていることがわかったので量子系はその周期で時間発展していると考えることができるのである。

ポテンシャルが与えられた量子系を任意の初期状態から始めて、時間$t$経過後の状態を積分変換
$$\psi(t,x)=\int_{-\infty}^\infty K(t;x,x')\psi(t_0,x')dx'$$
として表す方法について書く。その積分核は「伝播関数」と呼ばれ、時刻$t$の関数$K(t;x,x')$で、初期状態$t=0$でこの積分変換が恒等変換となる条件$K(0;x,x')=\delta (x-x')$と、時間発展を規定するSchrödinger方程式と整合する条件
$$i\hbar \dfrac d{dt}\cdot K(t;x,x')=\mathcal H_S\cdot K(t;x,x')$$を満たしている。堀田量子力学では天下り的に量子調和振動子が与えられているが、この積分核はMehler核と呼ばれ、積分変換は実数回Fourier変換というLCTの系として書ける。
LCTの記事に出てくる公式の系によれば
\begin{align}&\exp\frac i2\theta\left[\frac{d^2}{dx^2}-x^2\right]\cdot f(x)\\ =&\epsilon(\theta)\sqrt{\frac{1}{2 \pi i\sin \theta}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x') \exp {\frac{i}{2\sin\theta}\left[ (x^{2}+x'^{2})\cos\theta-2 x x'\right]} dx'\end{align}
$(\epsilon(\theta)\in \{\pm1 \})$という式が成立するが、$x\rightarrow x/\beta,x'\rightarrow x'/\beta$という変数変換をして$f(x/\beta)=\psi(t_0,x)$とすると
\begin{align}\psi(t,x)=&e^{\Delta t\frac d{dt}}\cdot \psi(t_0,x)\\ =&\exp\frac{\Delta t}{i\hbar}\mathcal H_S\cdot \psi(t_0,x)\\ =&\exp\frac i2\omega t\q{-\beta^2\mathcal D^2+\beta^{-2}\mathcal X^2}\cdot \psi(t_0,x)\\ =&\epsilon(\theta)\sqrt{\frac{1}{2 \pi i\sin \theta}}\beta^{-1}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t_0,x') \exp {\frac{i\beta^{-2}}{2\sin\theta}\left[ (x^{2}+x'^{2})\cos\theta-2 x x'\right]} dx'\\ =&\epsilon(\theta)\sqrt{\frac{m\omega}{2 \pi i\hbar\sin \omega t}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t_0,x') \exp {\frac{im\omega}{2\hbar\sin\omega t}\left[ (x^{2}+x'^{2})\cos\omega t-2 x x'\right]} dx'\end{align}
を得る。$\epsilon(\theta)$の$\pm1$の違いは大域的位相の違いであるため本質的な影響を波動関数に及ぼさない。

流れを振り返るとHeisenberg代数の生成元$\mathcal{X,iD}$で張られる線形空間は物理的には位置と運動量を座標軸に取る2次元の相空間に対応しており、そこにWeyl代数の二次式がad作用するとき$sl_2\R$の構造が現れる。調和振動子場合はHamiltonianにこの$sl_2\R$の構造が入るのでLie群とLie環の対応、Lie群の三角行列による分解、群準同型を経て、Heisenberg描像で表されたHamiltonianで生成される時間発展の演算子を書き換えることができる。とくに時間発展の本質的な部分は$SL_2\R$の部分群である$SO(2)$の構造を持っていて、そのLie環として$so(2)\cong i\mathcal H_S\R$という対応がなされ、調和振動子の系の演算子の時間発展の周期性を理解することができたと言う次第である。この$SO(2)$の状態ベクトルへの作用として時間発展を見ると、伝播関数(propagator)を積分核とした積分変換が「実数階Fourier変換」である、ということが言える。調和振動子の時間発展が相空間では回転運動に相当するということを数学的にHeisenberg代数への$SO(2)$作用と読み替えて考察できたり、実数回Fourier変換作用と見なせる、という対応がとてもおもしろい。
Heisenberg描像においてはAd作用としてSchwartz空間上の
$sl_2\R$の表現が作用しているが、波動関数に対する作用を考える際はAd作用ではないので単連結性がなりたたず、　先程の「自然表現→演算子の表現」というLie群の準同型の部分がうまく行かない。$sl_2\R$の2階微分演算子の表現を微分表現とするLie群の構造Metaplectic群を考察することでSchröndinger描像における状態ベクトルの時間発展の積分変換をLCTの系として書けたのである。

自分なりに考えた内容を記事にしてみましたが面白かったでしょうか。
最後まで付き合っていただきありがとうございました。

$$i\hbar \frac d{dt}\pt{t}=\mathcal H_S(t) \pt{t}$$
$1$次元空間で位置の$2$次式となるような調和振動子のポテンシャル
$V(x,t)=\frac 12kx^2,~k=m\omega^2,~\beta=\sqrt{\frac\hbar{m\omega}}$を考えるとHamiltonianは
\begin{align}\mathcal{H}_S&=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\mathcal{\p}^2+\dfrac{1}{2}k\mathcal{x}^2=\frac12\hbar\omega\q{-\beta^2\mathcal \p^2+\beta^{-2}\mathcal x^2}\end{align}
\begin{align}\psi(t,x)=&e^{\Delta t\frac d{dt}}\cdot \psi(t_0,x)\\ =&\exp\frac{\Delta t}{i\hbar}\mathcal H_S\cdot \psi(t_0,x)\\ =&\exp\frac i2\omega t\q{-\beta^2\p^2+\beta^{-2}x^2}\cdot \psi(t_0,x)\\ =&\epsilon(\theta)\sqrt{\frac{1}{2 \pi i\sin \theta}}\beta^{-1}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t_0,x') \exp {\frac{i\beta^{-2}}{2\sin\theta}\left[ (x^{2}+x'^{2})\cos\theta-2 x x'\right]} dx'\\ =&\epsilon(\theta)\sqrt{\frac{m\omega}{2 \pi i\hbar\sin \omega t}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t_0,x') \exp {\frac{im\omega}{2\hbar\sin\omega t}\left[ (x^{2}+x'^{2})\cos\omega t-2 x x'\right]} dx'\end{align}