実数の小数第n位とそれについての基本的な定理

$$\lfloor y\rfloor <\lfloor x\rfloor$$のとき
$$\lfloor y\rfloor +1\le \lfloor x\rfloor$$
$$y<\lfloor y\rfloor +1\le \lfloor x\rfloor \le x$$
すなわち$$\lfloor y\rfloor <\lfloor x\rfloor \Rightarrow y<x$$
これの対偶をとると
$x\le y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \le \lfloor y\rfloor$

$\lfloor nx\rfloor \le nx<\lfloor nx\rfloor +1$
$nx-1<\lfloor nx\rfloor \le nx$
$x-\frac{1}{n}<\frac{1}{n}\lfloor nx\rfloor \le x$
挟み撃ちの原理から
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\lfloor nx\rfloor =x$$

$m=1$のとき
$$\lfloor x\rfloor +\sum _{n=1}^1\frac{r_n(x)}{{10}^n}=\lfloor x\rfloor +\frac{r_1(x)}{10}=\lfloor x\rfloor +\frac{\lfloor 10x\rfloor }{10}-\lfloor x\rfloor =\frac{\lfloor {10}^{1}x\rfloor }{{10}^1}$$
$m=k$のとき成り立つならば
$$\lfloor x\rfloor +\sum _{n=1}^{m+1}\frac{r_n(x)}{{10}^n}=\frac{\lfloor 10x^m\rfloor }{{10}^m}+\frac{r_{m+1}}{{10}^{m+1}}=\frac{\lfloor 10x^m\rfloor }{{10}^m}+\frac{\lfloor {10}^{m+1}x\rfloor }{{10}^{m+1}}-\frac{\lfloor 10x^m\rfloor }{{10}^m}=\frac{\lfloor {10}^{m+1}x\rfloor }{{10}^{m+1}}$$
以上から任意の$n$について
$$\lfloor x\rfloor +\sum _{n=1}^m\frac{r_n(x)}{{10}^n}=\frac{\lfloor 10x^m\rfloor }{{10}^m}=\frac{1}{{10}^m}\lfloor 10x^m\rfloor$$

$$r_n({10}^{m}x)=\lfloor {10}^n({10}^{m}x)\rfloor +10\lfloor {10}^{n-1}({10}^{m}x)\rfloor =\lfloor {10}^{n+m}x\rfloor +10\lfloor {10}^{n+m-1}x\rfloor =r_{n+m}(x)$$

$\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor \le {10}^{n-1}x<\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor +1$
$10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor \le {10}^{n}x<10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor +10$
$0\le {10}^{n}x-10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor <10$
補題1から$0\le {10}^{n}x-10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor$

$\lfloor {10}^{n}x\rfloor -10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor =\lfloor {10}^{n}x-10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor \rfloor <10$
$\lfloor {10}^{n}x\rfloor -10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor$は整数だから
$\lfloor {10}^{n}x\rfloor -10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor \le 9$

以上から、任意の$n$について$0\le r_n(x)\le 9$

$$\lfloor x\rfloor +\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\sum _{n=1}^m\frac{r_n(x)}{{10}^n}\right)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(\lfloor x\rfloor +\sum _{n=1}^m\frac{r_n(x)}{{10}^n})$$
補題3から
$$=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{10}^m}\lfloor 10x^m\rfloor$$
補題2から
$$=x$$

$m=1$のとき
とある$x$が存在し定理7が成り立たないとすると
すべての$n(\ge 1)$ついて、$r_n(x)=9$となり、
$$x=\lfloor x\rfloor +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_n(x)}{{10}^n}=\lfloor x\rfloor +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{{10}^n}=\lfloor x\rfloor +1$$
となるが、
定義から$x<\lfloor x\rfloor +1$であり、矛盾する
すなわち、 $m=1$のときなりたつ。

また、
任意の$x,m$について
すべての$n(\ge m)$について$r_n(x)<9$とすると、
補題４から、$n^{\prime }=n-m+1(\ge 1)$とすると$r_{n^{\prime }}({10}^{m-1}x)<9$
となるが、これは$m=1$の場合から成り立つ
よって
任意の$n$について、$n\le m$となる$m$が存在し、$r_m(x)<9$

$$\begin{gathered} y-x=(\lfloor y\rfloor +\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_m(y)}{{10}^m})-(\lfloor x\rfloor +\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_m(x)}{{10}^n}) \\ =\sum _{m=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_m(y)-r_m(x)}{{10}^m} \\ =\frac{r_n(y)-r_n(x)}{{10}^n}+\sum _{m=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_m(y)-r_m(x)}{{10}^m} \\ \therefore \frac{1}{{10}^n}-\sum _{m=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{{10}^m}<y-x<\sum _{m=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{{10}^m} \\ \therefore 0<y-x<\frac{1}{{10}^{n-1}} \end{gathered}$$