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実数の小数第n位とそれについての基本的な定理

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はじめに

こんにちは、AGAです。
今回は、自分の考えた実数の小数第$n$の式と満たしていてほしい性質の証明についてまとめました。
本記事は10進法で議論してますが、
10を$n$、9を$n-1$とすることで
$n$進法でも同様な議論ができるます。
ちなみに本記事では$\frac{a}{10}$などは$0.(a-1)\dot{9} $ではなく$0.a\dot{0}$のようにするとしています

定義

以下、$x,y$を実数,$m,n$を自然数とします。

床関数

$\left\lfloor x \right\rfloor$は$\left\lfloor x \right\rfloor\leq x <\left\lfloor x \right\rfloor+1$をみたす整数とする。

一意性や存在の証明は省略する

$x$の$n$桁目を返す関数$r_n(x)$は$r_n(x)=\left\lfloor 10^nx \right\rfloor-10\left\lfloor 10^{n-1}x \right\rfloor$と定義できる。

ちなみにこの定義は$10\left\lfloor 10^{n-1}x \right\rfloor$が整数であることからapu_yokaiさんのこちらと同じです。

補題

$x\leq y \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor \leq \left\lfloor y \right\rfloor$

対偶法

$$\left\lfloor y \right\rfloor \lt \left\lfloor x \right\rfloor$$のとき
$$\left\lfloor y \right\rfloor +1\leq \left\lfloor x \right\rfloor$$
$$y<\left\lfloor y \right\rfloor +1\leq \left\lfloor x \right\rfloor\leq x$$
すなわち$$\left\lfloor y \right\rfloor \lt \left\lfloor x \right\rfloor \Rightarrow y< x$$
これの対偶をとると
$x\leq y \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor \leq \left\lfloor y \right\rfloor $

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lfloor nx \right\rfloor=x$$

$\left\lfloor nx \right\rfloor\leq nx<\left\lfloor nx \right\rfloor+1$
$nx-1<\left\lfloor nx \right\rfloor\leq nx$
$x-\frac{1}{n}<\frac{1}{n}\left\lfloor nx \right\rfloor\leq x$
挟み撃ちの原理から
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lfloor nx \right\rfloor=x$$

$$\left\lfloor x\right\rfloor+\sum^m_{n=1}\frac{r_n(x)}{10^n}=\frac{1}{10^m}\left\lfloor 10x^m\right\rfloor$$

数学的帰納法

$m=1$のとき
$$\left\lfloor x\right\rfloor+\sum^1_{n=1}\frac{r_n(x)}{10^n}=\left\lfloor x\right\rfloor+\frac{r_1(x)}{10}=\left\lfloor x\right\rfloor+\frac{\left\lfloor 10x \right\rfloor}{10}-\left\lfloor x \right\rfloor=\frac{\left\lfloor 10^1x \right\rfloor}{10^1}$$
$m=k$のとき成り立つならば
$$\left\lfloor x\right\rfloor+\sum^{m+1}_{n=1}\frac{r_n(x)}{10^n}=\frac{\left\lfloor 10x^m\right\rfloor}{10^m}+\frac{r_{m+1}}{10^{m+1}}=\frac{\left\lfloor 10x^m\right\rfloor}{10^m}+\frac{\left\lfloor 10^{m+1}x \right\rfloor}{10^{m+1}}-\frac{\left\lfloor 10x^m\right\rfloor}{10^m}=\frac{\left\lfloor 10^{m+1}x \right\rfloor}{10^{m+1}}$$
以上から任意の$n$について
$$\left\lfloor x\right\rfloor+\sum^m_{n=1}\frac{r_n(x)}{10^n}=\frac{\left\lfloor 10x^m\right\rfloor}{10^m}=\frac{1}{10^m}\left\lfloor 10x^m\right\rfloor$$

ずらすことができること

$$r_n(10^mx)=r_{n+m}(x)$$

$$r_n(10^mx)=\left\lfloor 10^n(10^mx)\right\rfloor+10\left\lfloor 10^{n-1}(10^mx)\right\rfloor=\left\lfloor 10^{n+m}x\right\rfloor+10\left\lfloor 10^{n+m-1}x\right\rfloor= r_{n+m}(x)$$

定理

十進法で表せていること

任意の$n$について$0\leq r_n(x)\leq9$

$\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor\leq10^{n-1}x<\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor+1$
$10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor\leq10^nx<10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor+10$
$0\leq10^nx-10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor<10$
補題1から$0\leq10^nx-10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor$

$\left\lfloor 10^nx\right\rfloor-10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor =\left\lfloor 10^nx-10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor \right\rfloor<10$
$\left\lfloor 10^nx\right\rfloor-10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor$は整数だから
$\left\lfloor 10^nx\right\rfloor-10\left\lfloor10^{n-1}x\right\rfloor \leq9$

以上から、任意の$n$について$0\leq r_n(x)\leq9$

小数部分であること

$\left\lfloor x \right\rfloor+\sum_{n=1}^\infty\frac{r_n(x)}{10^n}=x$

$$\left\lfloor x\right\rfloor+\lim_{m\to\infty}\left( \sum^m_{n=1}\frac{r_n(x)}{10^n}\right)=\lim_{m\to\infty}\left( \left\lfloor x\right\rfloor+ \sum^m_{n=1}\frac{r_n(x)}{10^n}\right)$$
補題3から
$$=\lim_{m\to\infty}\frac{1}{10^m}\left\lfloor 10x^m\right\rfloor$$
補題2から
$$=x$$

9のみが続かないこと

任意の$n$について、$n\leq m$となる$m$が存在し、$r_m(x)\lt9$

$m=1$のとき
とある$x$が存在し定理7が成り立たないとすると
すべての$n(\geq1)$ついて、$r_n(x)=9$となり、
$$x=\left\lfloor x \right\rfloor+\sum_{n=1}^\infty\frac{r_n(x)}{10^n}=\left\lfloor x \right\rfloor+\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}=\left\lfloor x \right\rfloor+1$$
となるが、
定義から$x<\left\lfloor{x}\right\rfloor+1$であり、矛盾する
すなわち、 $m=1$のときなりたつ。

また、
任意の$x,m$について
すべての$n(\geq m)$について$r_n(x)<9$とすると、
補題４から、$n'=n-m+1(\geq 1)$とすると$r_{n'}(10^{m-1}x)<9$
となるが、これは$m=1$の場合から成り立つ
よって
任意の$n$について、$n\leq m$となる$m$が存在し、$r_{m}(x)\lt9$

初めに異なる小数の番号が大きいほど数が近いこと

$\left\lfloor x\right\rfloor=\left\lfloor y\right\rfloor$のとき、
「$m< n$のとき$r_m(x)=r_m(y)$」かつ$r_n(x)< r_n(y)$
$\Longrightarrow 0< y-x<\frac{1}{10^{n-1}}$

$$y-x=(\left\lfloor y \right\rfloor+\sum^\infty_{m=1}\frac{r_m(y)}{10^m})-(\left\lfloor x \right\rfloor+\sum^\infty_{m=1}\frac{r_m(x)}{10^n}) \\ =\sum^\infty_{m=n}\frac{r_m(y)-r_m(x)}{10^m} \\ =\frac{r_n(y)-r_n(x)}{10^n}+\sum^\infty_{m=n+1}\frac{r_m(y)-r_m(x)}{10^m} \\ \therefore \frac{1}{10^n}-\sum^\infty_{m=n+1}\frac{9}{10^m}< y-x<\sum^\infty_{m=n+1}\frac{9}{10^m} \\ \therefore 0< y-x<\frac{1}{10^{n-1}}$$