黄金三角形の性質の問題

黄金三角形で遊んでたら面白い性質があったので問題形式で載せます。

問題
点 $A_{0}, A_{1}, A_{2}, . . .$ を次のように定めた.以下, $X Y$ で線分 $X Y$ の長さを表す.

$△ A_{0} A_{1} A_{2}$ は $∠ A_{0}$ を頂角とした, $A_{1} A_{2} = 1$ の鋭角二等辺三角形とする.
$△ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2} \sim △ A_{n + 1} A_{n + 2} A_{n + 3}$ となるように,線分 $A_{n} A_{n + 2}$ 上に点 $A_{n + 3}$ をとる.

このとき, $A_{0} A_{3} = 1$ であった.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて二次方程式 $x^{2} - x - 1 = 0$ の解のうち大きいほうを $φ$ としてよい.

$∠ A_{0} を求めよ .$
$A_{n} A_{n + 1}$ 及び $A_{n} A_{n + 3}$ を $n$ を用いて表せ.
$\cos 108^{\circ}$ を求めよ.
点 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ を $A_{\infty}$ と表す. $\vec{A_{0} A_{1}} = \vec{a}, \vec{A_{0} A_{2}} = \vec{b}$ とするとき,
$\vec{A_{0} A_{\infty}}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の一次結合で表せ.
直線 $A_{n} A_{\infty}$ と,直線 $A_{n + 1} A_{n + 2}$ の交点を $B_{n}$ ,
直線 $A_{n + 2} A_{\infty}$ と,直線 $A_{n} A_{n + 1}$ の交点を $C_{n}$ とする.
このとき, $\frac{A_{n} A_{n + 1}}{B_{n} B_{n + 1}}$ 及び $\frac{B_{n} B_{n + 1}}{C_{n} C_{n + 1}}$ を求めよ.
ある角度 $α^{\circ}$ が存在して, $△ A_{0} A_{1} A_{2}$ を $α^{\circ}$ 回転させると, $△ A_{0} A_{1} A_{2}, △ A_{1} A_{2} A_{3}, . . .$ は, $A_{\infty}$ を極とした同一の極方程式で表された曲線 $r (θ) = k^{θ}$ に接することを示せ.
$k$ を求めよ.

(1)(2)(3)の解説はこちら
(4)(5)の解説はこちら
(6)(7)の解説は今書いています.

投稿日：2022年1月14日

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