黄金三角形の性質の問題の解説.2
この記事は こちら に載せた問題の解説になります.
この記事では(4),(5)の問題の解説をします.
(1)(2)(3)の解説は
こちら
.
(6)(7)の解説はそのうち書きます.
問題文
問題
点$A_0,A_1,A_2,...$を次のように定めた.以下,$XY$で線分$XY$の長さを表す.
- $\triangle{A_0A_1A_2}$は$\angle A_0$を頂角とした,$A_1A_2=1$の鋭角二等辺三角形とする.
- $\triangle{A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}\sim\triangle{A_{n+1}A_{n+2}A_{n+3}}$となるように,線分$A_{n}A_{n+2}$上に点$A_{n+3}$をとる.
このとき,$A_0A_3=1$であった.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて二次方程式$x^2-x-1=0$の解のうち大きいほうを$\varphi$としてよい.
(1) $\angle A_0を求めよ.$
(2) $A_{n}A_{n+1}$及び$A_{n}A_{n+3}$を$n$を用いて表せ.
(3) $\cos 108^\circ$を求めよ.
(4) 点$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n$を$A_{\infty}$と表す.$\displaystyle \overrightarrow{A_0A_1}=\vec{a}, \overrightarrow{A_0A_2}=\vec{b}$とするとき,
$\displaystyle\overrightarrow{A_0A_{\infty}}$を$\displaystyle\vec{a}$と$\displaystyle\vec{b}$の一次結合で表せ.
(5) 直線$A_nA_{\infty}$と,直線$A_{n+1}A_{n+2}$の交点を$B_n$,
直線$A_{n+2}A_{\infty}$と,直線$A_{n}A_{n+1}$の交点を$C_n$とする.
このとき,$\displaystyle\frac{A_nA_{n+1}}{B_nB_{n+1}}$及び$\displaystyle\frac{B_nB_{n+1}}{C_nC_{n+1}}$を求めよ.
(6) ある角度$\alpha^\circ$が存在して,$\triangle{A_0A_1A_2}$を$\alpha^\circ$回転させると,$\triangle{A_0A_1A_2},\triangle{A_1A_2A_3},...$は,$A_{\infty}$を極とした同一の極方程式で表された曲線$\displaystyle r(\theta)=k^{\theta}$に接することを示せ.
(7) $k$を求めよ.
(4)の解説
![!FORMULA[38][-1877842838][0]の位置. 平行な辺は色で分けている.](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2F20220116140825.png?alt=media)
$A_{\infty}$の位置. 平行な辺は色で分けている.
$\angle{A_nA_{n+1}A_{n+2}}=72^\circ$であるため,
$\overrightarrow{A_n{A_{n+1}}}\parallel\overrightarrow{A_{n+5}{A_{n+6}}}$.また,$A_{n+1}A_{n+2}=\dfrac{1}{\varphi}A_nA_{n+1}$であるため,
$\overrightarrow{A_{n+5}{A_{n+6}}}=-\dfrac{1}{\varphi^5}\overrightarrow{A_n{A_{n+1}}}$. よって,
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{A_0A_{\infty}}&=&\overrightarrow{A_0A_1}+\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\overrightarrow{A_4A_5}+...\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\\
&=&\sum_{n=1}^\infty\left(\overrightarrow{A_0A_1}+\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\overrightarrow{A_4A_5}\right)\left(-\frac{1}{\varphi^5}\right)^{n-1}\\
&=&\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\varphi^5}}\overrightarrow{A_0A_5}=\frac{\varphi}{5-2\varphi}\overrightarrow{A_0A_5}
\end{eqnarray}
であることから,$\overrightarrow{A_0A_5}$を求めれば良い.(ただし,$\displaystyle\varphi^n=F_n \varphi+F_{n-1}$であることを用いた.)
$\overrightarrow{A_0A_4}=\dfrac{2}{\varphi^2}\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{\varphi^2}$
$\overrightarrow{A_4A_5}=\dfrac{\vec{b}-\overrightarrow{A_0A_4}}{\varphi^2}=\dfrac{-\vec{a}+\varphi\vec{b}}{\varphi^4}$
$\overrightarrow{A_0A_5}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{\varphi^2}+\dfrac{-\vec{a}+\varphi\vec{b}}{\varphi^4}=\dfrac{\vec{a}+\varphi^2\vec{b}}{\varphi^3}$
よって,$\overrightarrow{A_0A_{\infty}}=\dfrac{\varphi}{5-2\varphi}\dfrac{\vec{a}+\varphi^2\vec{b}}{\varphi^3}=\dfrac{\vec{a}+\varphi^2\vec{b}}{\varphi+3}$
(5)の解説
$A_1B_0:A_2B_0$について考える.他の$B_n$についても,$\triangle{A_nA_{n+1}A_{n+2}}\sim\triangle{A_{n+1}A_{n+2}A_{n+3}}$であるため,$A_{n+1}B_n:A_{n+2}B_n$は一定である.
$t$を$0< t<1$である実数とし,$B_0$は$A_1A_2$を$(1-t):t$に内分する点とすると,
$\overrightarrow{A_0B_0}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$.
$B_0$は直線$A_0A_{\infty}$上にある点であるため,実数$k$を用いて,$\overrightarrow{A_0B_0}=k\overrightarrow{A_0A_{\infty}}=\dfrac{\vec{a}+\varphi^2\vec{b}}{\varphi+3}k$と表される.
$\vec{a}\neq0,\vec{b}\neq0,\vec{a}\nparallel\vec{b}$であるため,係数を比較して連立方程式を解けば,
$k=\dfrac{\varphi+3}{\varphi^2+1},t=\dfrac{1}{\varphi+2}$を得る.よって,
$A_1B_0:A_2B_0=\varphi^2:1$
また,$A_0B_1:A_2B_1$を求めると,同様の議論によって,
$A_0B_1:A_2B_1=\varphi^2:1$であり,
$\triangle{A_2A_0A_1}\sim\triangle{A_2B_1B_0}$であると分かる.
前述の相似性により,$\triangle{A_{n+2}A_nA_{n+1}}\sim\triangle{A_{n+2}B_{n+1}B_n}$が成り立つので,$\dfrac{A_nA_{n+1}}{B_nB_{n+1}}=\dfrac{\varphi^2+1}{1}=\varphi^2+1$
$C_n$について,チェバの定理より,
$\dfrac{A_nC_n}{C_nA_{n+1}}\dfrac{A_{n+1}B_{n+1}}{B_{n+1}A_{n+2}}\dfrac{A_{n+2}B_{n+1}}{B_{n+1}A_n}=1$であり,$A_{n+1}B_{n+1}:B_{n+1}A_{n+2}=A_{n+2}B_{n+1}:B_{n+1}A_n$であるため,$C_n$は$A_nA_{n+1}$の中点であると分かる.
$\dfrac{B_nB_{n+1}}{C_nC_{n+1}}=\dfrac{2B_nB_{n+1}}{A_nA_{n+1}}=\dfrac{2}{\varphi^2+1}$
(7),(8)も頑張って描きます