黄金三角形の性質の問題の解説.2

この記事はこちらに載せた問題の解説になります.

この記事では(4),(5)の問題の解説をします.

(1)(2)(3)の解説はこちら .
(6)(7)の解説はそのうち書きます.

問題文

問題
点 $A_{0}, A_{1}, A_{2}, . . .$ を次のように定めた.以下, $X Y$ で線分 $X Y$ の長さを表す.

- $△ A_{0} A_{1} A_{2}$ は $∠ A_{0}$ を頂角とした, $A_{1} A_{2} = 1$ の鋭角二等辺三角形とする.
- $△ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2} \sim △ A_{n + 1} A_{n + 2} A_{n + 3}$ となるように,線分 $A_{n} A_{n + 2}$ 上に点 $A_{n + 3}$ をとる.

このとき, $A_{0} A_{3} = 1$ であった.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて二次方程式 $x^{2} - x - 1 = 0$ の解のうち大きいほうを $φ$ としてよい.

(1) $∠ A_{0} を求めよ .$
(2) $A_{n} A_{n + 1}$ 及び $A_{n} A_{n + 3}$ を $n$ を用いて表せ.
(3) $\cos 108^{\circ}$ を求めよ.
(4) 点 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ を $A_{\infty}$ と表す. $\vec{A_{0} A_{1}} = \vec{a}, \vec{A_{0} A_{2}} = \vec{b}$ とするとき,
$\vec{A_{0} A_{\infty}}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の一次結合で表せ.
(5) 直線 $A_{n} A_{\infty}$ と,直線 $A_{n + 1} A_{n + 2}$ の交点を $B_{n}$ ,
直線 $A_{n + 2} A_{\infty}$ と,直線 $A_{n} A_{n + 1}$ の交点を $C_{n}$ とする.
このとき, $\frac{A_{n} A_{n + 1}}{B_{n} B_{n + 1}}$ 及び $\frac{B_{n} B_{n + 1}}{C_{n} C_{n + 1}}$ を求めよ.
(6) ある角度 $α^{\circ}$ が存在して, $△ A_{0} A_{1} A_{2}$ を $α^{\circ}$ 回転させると, $△ A_{0} A_{1} A_{2}, △ A_{1} A_{2} A_{3}, . . .$ は, $A_{\infty}$ を極とした同一の極方程式で表された曲線 $r (θ) = k^{θ}$ に接することを示せ.
(7) $k$ を求めよ.

(4)の解説

!FORMULA[38][-1877842838][0]の位置. 平行な辺は色で分けている. $A_{\infty}$ の位置. 平行な辺は色で分けている.
$∠ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2} = 72^{\circ}$ であるため,
$\vec{A_{n} A_{n + 1}} ∥ \vec{A_{n + 5} A_{n + 6}}$ .また, $A_{n + 1} A_{n + 2} = \frac{1}{φ} A_{n} A_{n + 1}$ であるため,
$\vec{A_{n + 5} A_{n + 6}} = - \frac{1}{φ^{5}} \vec{A_{n} A_{n + 1}}$ . よって,
$\begin{array}{rcl} \vec{A_{0} A_{\infty}} & = & \vec{A_{0} A_{1}} + \vec{A_{1} A_{2}} + \vec{A_{2} A_{3}} + \vec{A_{3} A_{4}} + \vec{A_{4} A_{5}} + . . . \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \vec{A_{n} A_{n + 1}} \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} (\vec{A_{0} A_{1}} + \vec{A_{1} A_{2}} + \vec{A_{2} A_{3}} + \vec{A_{3} A_{4}} + \vec{A_{4} A_{5}}) {(- \frac{1}{φ^{5}})}^{n - 1} \\ = & \frac{1}{1 + \frac{1}{φ^{5}}} \vec{A_{0} A_{5}} = \frac{φ}{5 - 2 φ} \vec{A_{0} A_{5}} \end{array}$
であることから, $\vec{A_{0} A_{5}}$ を求めれば良い.(ただし, $φ^{n} = F_{n} φ + F_{n - 1}$ であることを用いた.)
$\vec{A_{0} A_{4}} = \frac{2}{φ^{2}} \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{φ^{2}}$
$\vec{A_{4} A_{5}} = \frac{\vec{b} - \vec{A_{0} A_{4}}}{φ^{2}} = \frac{- \vec{a} + φ \vec{b}}{φ^{4}}$
$\vec{A_{0} A_{5}} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{φ^{2}} + \frac{- \vec{a} + φ \vec{b}}{φ^{4}} = \frac{\vec{a} + φ^{2} \vec{b}}{φ^{3}}$
よって, $\vec{A_{0} A_{\infty}} = \frac{φ}{5 - 2 φ} \frac{\vec{a} + φ^{2} \vec{b}}{φ^{3}} = \frac{\vec{a} + φ^{2} \vec{b}}{φ + 3}$

(5)の解説

$A_{1} B_{0} : A_{2} B_{0}$ について考える.他の $B_{n}$ についても, $△ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2} \sim △ A_{n + 1} A_{n + 2} A_{n + 3}$ であるため, $A_{n + 1} B_{n} : A_{n + 2} B_{n}$ は一定である.
$t$ を $0 < t < 1$ である実数とし, $B_{0}$ は $A_{1} A_{2}$ を $(1 - t) : t$ に内分する点とすると,
$\vec{A_{0} B_{0}} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ .
$B_{0}$ は直線 $A_{0} A_{\infty}$ 上にある点であるため,実数 $k$ を用いて, $\vec{A_{0} B_{0}} = k \vec{A_{0} A_{\infty}} = \frac{\vec{a} + φ^{2} \vec{b}}{φ + 3} k$ と表される.
$\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0, \vec{a} ∦ \vec{b}$ であるため,係数を比較して連立方程式を解けば,
$k = \frac{φ + 3}{φ^{2} + 1}, t = \frac{1}{φ + 2}$ を得る.よって,
$A_{1} B_{0} : A_{2} B_{0} = φ^{2} : 1$
また, $A_{0} B_{1} : A_{2} B_{1}$ を求めると,同様の議論によって,
$A_{0} B_{1} : A_{2} B_{1} = φ^{2} : 1$ であり,
$△ A_{2} A_{0} A_{1} \sim △ A_{2} B_{1} B_{0}$ であると分かる.
前述の相似性により, $△ A_{n + 2} A_{n} A_{n + 1} \sim △ A_{n + 2} B_{n + 1} B_{n}$ が成り立つので, $\frac{A_{n} A_{n + 1}}{B_{n} B_{n + 1}} = \frac{φ^{2} + 1}{1} = φ^{2} + 1$

$C_{n}$ について,チェバの定理より,
$\frac{A_{n} C_{n}}{C_{n} A_{n + 1}} \frac{A_{n + 1} B_{n + 1}}{B_{n + 1} A_{n + 2}} \frac{A_{n + 2} B_{n + 1}}{B_{n + 1} A_{n}} = 1$ であり, $A_{n + 1} B_{n + 1} : B_{n + 1} A_{n + 2} = A_{n + 2} B_{n + 1} : B_{n + 1} A_{n}$ であるため, $C_{n}$ は $A_{n} A_{n + 1}$ の中点であると分かる.
$\frac{B_{n} B_{n + 1}}{C_{n} C_{n + 1}} = \frac{2 B_{n} B_{n + 1}}{A_{n} A_{n + 1}} = \frac{2}{φ^{2} + 1}$