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黄金三角形の性質の問題の解説.1

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この記事は こちら に載せた問題の解説になります.

この記事では(1),(2),(3)の問題の解説をします.

(4)(5)の解説は こちら .
(6)(7)の解説はそのうち書きます.


問題文

問題
$A_0,A_1,A_2,...$を次のように定めた.以下,$XY$で線分$XY$の長さを表す.

- $\triangle{A_0A_1A_2}$$\angle A_0$を頂角とした,$A_1A_2=1$の鋭角二等辺三角形とする.
- $\triangle{A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}\sim\triangle{A_{n+1}A_{n+2}A_{n+3}}$となるように,線分$A_{n}A_{n+2}$上に点$A_{n+3}$をとる.

このとき,$A_0A_3=1$であった.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて二次方程式$x^2-x-1=0$の解のうち大きいほうを$\varphi$としてよい.

(1) $\angle A_0を求めよ.$
(2) $A_{n}A_{n+1}$及び$A_{n}A_{n+3}$$n$を用いて表せ.
(3) $\cos 108^\circ$を求めよ.
(4) 点$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n$$A_{\infty}$と表す.$\displaystyle \overrightarrow{A_0A_1}=\vec{a}, \overrightarrow{A_0A_2}=\vec{b}$とするとき,
$\displaystyle\overrightarrow{A_0A_{\infty}}$$\displaystyle\vec{a}$$\displaystyle\vec{b}$の一次結合で表せ.
(5) 直線$A_nA_{\infty}$と,直線$A_{n+1}A_{n+2}$の交点を$B_n$,
直線$A_{n+2}A_{\infty}$と,直線$A_{n}A_{n+1}$の交点を$C_n$とする.
このとき,$\displaystyle\frac{A_nA_{n+1}}{B_nB_{n+1}}$及び$\displaystyle\frac{B_nB_{n+1}}{C_nC_{n+1}}$を求めよ.
(6) ある角度$\alpha^\circ$が存在して,$\triangle{A_0A_1A_2}$$\alpha^\circ$回転させると,$\triangle{A_0A_1A_2},\triangle{A_1A_2A_3},...$は,$A_{\infty}$を極とした同一の極方程式で表された曲線$\displaystyle r(\theta)=k^{\theta}$に接することを示せ.
(7) $k$を求めよ.


(1)の解説

(1)の図 (1)の図
$\angle{A_1A_0A_2}=x$とおく. $\triangle{A_3A_0A_1},\triangle{A_1A_2A_3}$は二等辺三角形なので,$\angle{A_0A_1A_3}=x,\angle{A_1A_3A_2}=\angle{A_1A_2A_3}=2x$
よって,$x+2\times2x=180^\circ$であるため,$x=\angle{A_0}=36^\circ$

(2)の解説

!FORMULA[43][-1359012641][0]を求める図. $A_0A_1$を求める図.
$A_0A_1$を求める.$\triangle{A_0A_1A_2}\sim\triangle{A_1A_2A_3}$であるため,
$y:1=1:(y-1)\Leftrightarrow y^2-y=1\Leftrightarrow y=\varphi(>0)$

各辺の長さ 各辺の長さ
$A_0A_1:A_1A_2=A_1A_2:A_2A_3$より,$\displaystyle A_2A_3=\frac{1}{\varphi}$
また,$\displaystyle A_1A_4=A_2A_3=\frac{1}{\varphi}$
以下同様にして,
$\displaystyle A_nA_{n+1}=\frac{1}{\varphi^{n-1}}$
$\displaystyle A_nA_{n+3}=\frac{1}{\varphi^{n}}$

(3)の解説

$\displaystyle \cos108^\circ=-\cos72^\circ=-\cfrac{\cfrac{A_1A_2}{2}}{A_0A_1}$であるため,
$cos108^\circ=-\dfrac{1}{2\varphi}$



(1)(2)(3)はこの先の誘導です.

投稿日:2022116
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RusK
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