黄金三角形の性質の問題の解説.1

問題
点$A_0,A_1,A_2,...$を次のように定めた.以下,$XY$で線分$XY$の長さを表す.

- $\triangle{A_0A_1A_2}$は$\angle A_0$を頂角とした,$A_1A_2=1$の鋭角二等辺三角形とする.
- $\triangle{A_{n}A_{n+1}A_{n+2}}\sim\triangle{A_{n+1}A_{n+2}A_{n+3}}$となるように,線分$A_{n}A_{n+2}$上に点$A_{n+3}$をとる.

このとき,$A_0A_3=1$であった.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて二次方程式$x^2-x-1=0$の解のうち大きいほうを$\varphi$としてよい.

(1) $\angle A_0を求めよ.$
(2) $A_{n}A_{n+1}$及び$A_{n}A_{n+3}$を$n$を用いて表せ.
(3) $\cos 108^\circ$を求めよ.
(4) 点$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n$を$A_{\infty}$と表す.$\displaystyle \overrightarrow{A_0A_1}=\vec{a},　\overrightarrow{A_0A_2}=\vec{b}$とするとき,
$\displaystyle\overrightarrow{A_0A_{\infty}}$を$\displaystyle\vec{a}$と$\displaystyle\vec{b}$の一次結合で表せ.
(5) 直線$A_nA_{\infty}$と,直線$A_{n+1}A_{n+2}$の交点を$B_n$,
直線$A_{n+2}A_{\infty}$と,直線$A_{n}A_{n+1}$の交点を$C_n$とする.
このとき,$\displaystyle\frac{A_nA_{n+1}}{B_nB_{n+1}}$及び$\displaystyle\frac{B_nB_{n+1}}{C_nC_{n+1}}$を求めよ.
(6) ある角度$\alpha^\circ$が存在して,$\triangle{A_0A_1A_2}$を$\alpha^\circ$回転させると,$\triangle{A_0A_1A_2},\triangle{A_1A_2A_3},...$は,$A_{\infty}$を極とした同一の極方程式で表された曲線$\displaystyle r(\theta)=k^{\theta}$に接することを示せ.
(7) $k$を求めよ.