院解13 京大数学系 H24 数学I 1 行列の多項式への代入

1. 複素係数の正則行列$C$の逆行列が$C$の多項式で与えられることをみる.$C$の固有多項式を${\mathrm{\Phi }}_C(z)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k}$とおくと,ケーリー・ハミルトンの定理から${\mathrm{\Phi }}_C(C)=0$.定数項$a_0$は固有値の積であり$A$の正則性から$0$ではないことに注意して整理すると
   $I={\displaystyle \frac{1}{a_0}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{C}^k=C\left({\displaystyle \frac{1}{a_0}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{C}^{k-1}}\right)=\left({\displaystyle \frac{1}{a_0}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{C}^{k-1}}\right)C}$.
   よって$C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{a_0}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{C}^{k-1}}$であり,たしかに$C$の多項式である.

示した事実から$f(B{)}^{-1}$は$f(B)$の多項式である.よって$A=Bf(B{)}^{-1}$は$B$の多項式であり$B$と可換.

(2)$C$を複素係数の行列とする.$\sigma (C)$で$C$の固有値全体の集合を表す.$g$を複素係数の多項式とするとスペクトル写像定理から$g(\sigma (C))=\sigma (g(C))$.さらに$0\in \sigma (f(B))=f(\sigma (B))$だから$0\notin f(\sigma (B)\mathrm{\setminus }\{0\})$であることをみればよい.$\alpha \in \sigma (B)\mathrm{\setminus }\{0\}$とし,$\alpha$に対応する固有ベクトルを$v$とする.$\alpha v=Bv=Af(B)v=f(\alpha )Av$.もし$f(\alpha )=0$であるとすれば$\alpha v=0$となり矛盾する.

最後にスペクトル写像定理を証明する.
$\alpha$を$C$の固有値とし,対応する固有ベクトルの一つを$v$とする.すると$g(B)v=g(\alpha )v$だから$v$は$g(\alpha )$に対応する固有値である.
逆に$\alpha \in \sigma (g(C))$とする.$\alpha -g(z)=a(z-{\alpha }_1)\cdots (z-{\alpha }_n)$,$a,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \mathbb{C}$とおく.任意の$i$に対して${\alpha }_i\notin \sigma (C)$であるとすると$\alpha I-g(C)=a(B-{\alpha }_{1}I)\cdots (B-{\alpha }_{n}I)$は非可逆となり$\alpha$がスペクトルの元であることに矛盾する.よってある$i$に対し${\alpha }_i\in \sigma (C)$.このとき$\alpha =f({\alpha }_i)\in g(\sigma (C))$.逆の包含も言えた.$◻$