院解13 京大数学系 H24 数学I 1 行列の多項式への代入

1. 複素係数の正則行列$C$の逆行列が$C$の多項式で与えられることをみる.$C$の固有多項式を$\Phi_C(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k z^k$とおくと,ケーリー・ハミルトンの定理から$\Phi_C(C)=0$.定数項$a_0$は固有値の積であり$A$の正則性から$0$ではないことに注意して整理すると
   $ I=\dfrac{1}{a_0}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k C^k=C\left(\dfrac{1}{a_0}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k C^{k-1}\right)=\left(\dfrac{1}{a_0}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k C^{k-1}\right)C$.
   よって$C^{-1}=\dfrac{1}{a_0}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k C^{k-1}$であり,たしかに$C$の多項式である.

示した事実から$f(B)^{-1}$は$f(B)$の多項式である.よって$A=Bf(B)^{-1}$は$B$の多項式であり$B$と可換.

(2)$C$を複素係数の行列とする.$\sigma(C)$で$C$の固有値全体の集合を表す.$g$を複素係数の多項式とするとスペクトル写像定理から$g(\sigma(C))=\sigma(g(C)) $.さらに$0\in \sigma(f(B))=f(\sigma(B))$だから$0\notin f(\sigma(B)\backslash \{0\})$であることをみればよい.$\alpha\in \sigma(B)\backslash\{0\}$とし,$\alpha$に対応する固有ベクトルを$v$とする.$\alpha v=Bv=Af(B)v=f(\alpha)Av$.もし$ f(\alpha)=0$であるとすれば$\alpha v=0$となり矛盾する.

最後にスペクトル写像定理を証明する.
$\alpha$を$C$の固有値とし,対応する固有ベクトルの一つを$v$とする.すると$g(B)v=g(\alpha)v$だから$v$は$g(\alpha)$に対応する固有値である.
逆に$\alpha\in \sigma(g(C))$とする.$\alpha-g(z)=a(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_n)$,$a,\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \mathbb{C}$とおく.任意の$i$に対して$ \alpha_i\notin\sigma(C)$であるとすると$\alpha I-g(C)=a(B-\alpha_1 I)\cdots(B-\alpha_n I)$は非可逆となり$\alpha$がスペクトルの元であることに矛盾する.よってある$i $に対し$\alpha_i\in\sigma(C)$.このとき$\alpha=f(\alpha_i)\in g(\sigma(C))$.逆の包含も言えた.$\Box$