MZSVに関するIgarashiの関係式
前の記事
において, Riemannゼータ値をHoffmanインデックスにおける多重ゼータスター値(MZSV)で表す以下の公式を示した.
\begin{align}
\zeta(2n)&=\frac 1{2(1-2^{1-2n})}\zeta^{\star}(\{2\}^n)\\
\zeta(2n+1)&=\frac 1{4n(1-2^{-2n})}\left(2\sum_{k=0}^{n-1}\zeta^{\star}(\{2\}^k,3,\{2\}^{n-k-1})+\zeta^{\star}(3,\{2\}^{n-1})\right)
\end{align}
それはIgarashiによって以下のように一般化されている.
\begin{align} &\sum_{j=0}^k2^{-j}\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_s\\k_1+\cdots+k_s=k-j}}\zeta^{\star}(k_1+j+2,k_2+2,\dots,k_s+2)\\ &=2\binom{k+s-1}k(1-2^{1-k-2s})\zeta(k+2s) \end{align}
冒頭の式は$k=0,1$とすると得られることが分かる.
Andrewsの恒等式
の系
\begin{align}
&\F{2s+4}{2s+3}{a,1+\frac a2,b_1,c_1,\dots,b_{s+1},c_{s+1}}{\frac a2,1+a-b_1,1+a-c_1,\dots,1+a-b_{s+1},1+a-c_{s+1}}{-1}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-b_{s+1})\Gamma(1+a-c_{s+1})}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b_{s+1}-c_{s+1})}\sum_{0\leq l_1,\dots,l_s}\prod_{i=1}^s\frac{(1+a-b_i-c_i)_{l_i}(b_{i+1},c_{i+1})_{l_1+\cdots+l_i}}{l_i!(1+a-b_i,1+a-c_i)_{l_1+\cdots+l_i}}
\end{align}
において, $a=2-t, b_1=1-\frac t2, b_2=\cdots=b_{s+1}=1-t,c_1=\cdots=c_{s+1}=1$とすると,
\begin{align}
&(1-t)^s\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{(m+1)^s(m+1-t)^s}\\
&=\frac{\Gamma(2-t)}{\Gamma(3-t)}\sum_{0\leq l_1,\dots,l_s}\frac{(1-\frac t2)_{l_i}(1-t)_{l_1}}{(2-\frac t2,2-t)_{l_1}}\prod_{i=2}^s\frac{(1-t,1)_{l_1+\cdots+l_i}}{(2,2-t)_{l_1+\cdots+l_i}}\\
&=\frac{(1-t)^s}{2}\sum_{0\leq l_1,\dots,l_s}\frac{1}{\left(l_1+1-\frac t2\right)(l_1+1-t)}\prod_{i=2}^s\frac{1}{(l_1+\cdots+l_i+1)(l_1+\cdots+l_i+1-t)}\\
&=\frac{(1-t)^s}{2}\sum_{0< m_1\leq\cdots\leq m_s}\frac{1}{\left(m_1-\frac t2\right)(m_1-t)}\prod_{i=2}^s\frac{1}{m_i(m_i-t)}
\end{align}
より,
\begin{align}
&\sum_{0< m_1\leq\cdots\leq m_s}\frac{1}{\left(m_1-\frac t2\right)(m_1-t)}\prod_{i=2}^s\frac{1}{m_i(m_i-t)}\\
&=2\sum_{0< m}\frac{(-1)^{m-1}}{m^s(m-t)^s}
\end{align}
を得る. 両辺の$t^k$の係数を比較すると,
\begin{align}
&\sum_{j=0}^k2^{-j}\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_s\\k_1+\cdots+k_s=k-j}}\zeta^{\star}(k_1+j+2,k_2+2,\dots,k_s+2)\\
&=2\binom{k+s-1}k\sum_{0< m}\frac{(-1)^{m-1}}{m^{k+2s}}\\
&=2\binom{k+s-1}k(1-2^{1-k-2s})\zeta(k+2s)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
Andrewsの恒等式がMZSVの関係式を得ることにも応用できるのはかなり興味深いと思う.
応用
$k_1+j$を$k_1$としてまとめると,
\begin{align}
&\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_s\\k_1+\cdots+k_s=k}}(1-2^{-k_1-1})\zeta^{\star}(k_1+2,k_2+2,\dots,k_s+2)\\
&=\binom{k+s-1}k(1-2^{1-k-2s})\zeta(k+2s)
\end{align}
と書き換えることもできる. この式において, $k=2$とすると, 両辺を$8$倍して,
\begin{align}
&8\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_s\\k_1+\cdots+k_s=2}}(1-2^{-k_1-1})\zeta^{\star}(k_1+2,k_2+2,\dots,k_s+2)\\
&=4s(s+1)(1-2^{-1-2s})\zeta(2s+2)
\end{align}
を得る. 左辺は
\begin{align}
&8\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_s\\k_1+\cdots+k_s=2}}(1-2^{-k_1-1})\zeta^{\star}(k_1+2,k_2+2,\dots,k_s+2)\\
&=4\sum_{\substack{0\leq a,b,c\\a+b+c=s-3}}\zeta^{\star}(\{2\}^{a+1},3,\{2\}^b,3,\{2\}^c)+4\sum_{0\leq a,b,a+b=s-2}\zeta^{\star}(\{2\}^{a+1},4,\{2\}^b)\\
&\qquad+6\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+b=s-2}}\zeta^{\star}(3,\{2\}^{a},3,\{2\}^b)+7\zeta^{\star}(4,\{2\}^{s-1})
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=s-2}\zeta^{\star}(\{2\}^{a+1},4,\{2\}^b)&=\sum_{0\leq a,b,a+b=s-1}\zeta^{\star}(\{2\}^{a},4,\{2\}^b)-\zeta^{\star}(4,\{2\}^{s-1})
\end{align}
であり, 調和関係式により,
\begin{align}
&\sum_{0\leq a,b,a+b=s-1}\zeta^{\star}(\{2\}^{a},4,\{2\}^b)\\
&=\sum_{j=2}^{s+1}\zeta(2j)\zeta^{\star}(\{2\}^{s+1-j})\\
&=2\sum_{j=2}^{s+1}(1-2^{1-2(s+1-j)})\zeta(2j)\zeta(2s+2-2j)\\
&=\frac{(-1)^{s+1}}2\sum_{j=0}^{s-1}(1-2^{1-2(s+1-j)})\frac{B_{2j}B_{2s+2-2j}}{(2j)!(2s+2-2j)!}(2\pi)^{2s+2}\\
&=-\sum_{j=2}^{s+1}(1-2^{1-2(s+1-j)})\frac{B_{2j}B_{2s+2-2j}}{(2j)!(2s+2-2j)!}\frac{(2s+2)!}{B_{2s+2}}\zeta(2s+2)\\
&=-\frac 12\sum_{j=2}^{s+1}(1-2^{1-2(s+1-j)})\frac{B_{2j}B_{2s+2-2j}}{(2j)!(2s+2-2j)!}\frac{(2s+2)!}{(1-2^{1-2(s+1)})B_{2s+2}}\zeta^{\star}(\{2\}^{s+1})\\
&=-\frac 12\sum_{j=2}^{s+1}\binom{2s+2}{2j}\frac{B_{2j}B_{2s+2-2j}}{B_{2s+2}}\frac{1-2^{1-2(s+1-j)}}{1-2^{1-2(s+1)}}\zeta^{\star}(\{2\}^{s+1})
\end{align}
となる. まとめると,
\begin{align}
&4\sum_{\substack{0\leq a,b,c\\a+b+c=s-3}}\zeta^{\star}(\{2\}^{a+1},3,\{2\}^b,3,\{2\}^c)\\
&\qquad+6\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+b=s-2}}\zeta^{\star}(3,\{2\}^{a},3,\{2\}^b)+3\zeta^{\star}(4,\{2\}^{s-1})\\
&\qquad-2\sum_{j=2}^{s+1}\binom{2s+2}{2j}\frac{B_{2j}B_{2s+2-2j}}{B_{2s+2}}\frac{1-2^{1-2(s+1-j)}}{1-2^{1-2(s+1)}}\zeta^{\star}(\{2\}^{s+1})\\
&=4s(s+1)(1-2^{-1-2s})\zeta(2s+2)
\end{align}
を得る. 右辺は
\begin{align}
4s(s+1)(1-2^{-1-2s})\zeta(2s+2)&=2s(s+1)\zeta^{\star}(\{2\}^{s+1})
\end{align}
である. よって, これを代入して整理すると以下を得る.
\begin{align}
\zeta^{\star}(4,\{2\}^{s-1})&=c(s)\zeta^{\star}(\{2\}^{s+1})-\frac 23\sum_{\substack{0\leq a,b,c\\a+b+c=s-2}}(2+\delta_{s,0})\zeta^{\star}(\{2\}^a,3,\{2\}^b,3,\{2\}^c)
\end{align}
と表される. ここで,
\begin{align}
c(s)&=\frac{2s(s+1)}3+\frac23\sum_{j=2}^{s+1}\binom{2s+2}{2j}\frac{B_{2j}B_{2s+2-2j}}{B_{2s+2}}\frac{1-2^{1-2(s+1-j)}}{1-2^{1-2(s+1)}}
\end{align}
である.
これは, $(4,\{2\}^n)$におけるMZSVの値をHoffmanインデックスで表したときの係数が明示的に求めている. 他にこのようにHoffmanインデックスで表したときの係数が明示的に求められるような族を得ることは興味深い研究課題である.
$c(s)$には以下のような表示もIgarashiによって与えられている.
\begin{align}
c(s)&=\frac 23\left(s(s-1)-1+\frac 1{1-2^{1-2(s+1)}}\right)-\frac 1{18}\frac{(s+1)(2s+1)}{1-2^{1-2(s+1)}}\frac{B_{2s}}{B_{2s+2}}
\end{align}
表示としてはこちらの方が簡潔かもしれない.
