Riemannゼータ値をHoffmanインデックスにおけるMZSVで表す公式
多重ゼータ値(MZV), 多重ゼータスター値(MZSV)はそれぞれ,
\begin{align}
\zeta^{\star}(k_1,\dots,k_r)&:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\\
\zeta^{\star}(k_1,\dots,k_r)&:=\sum_{1\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
で定義される. 有名なBrownの定理はすべてのMZVが$2,3$だけからなるインデックス(Hoffmanインデックス)におけるMZVの$\QQ$係数の線形和で表されるというものだが, その類似としてGlanoisによってすべてのMZVはHoffmanインデックスにおけるMZSVの$\QQ$係数の線形和で表されるという結果が示されている. しかし, 一般のMZVをHoffmanインデックスにおけるMZVやMZSVで表したときの係数を明示的に与える公式は知られていない. Riemannゼータ値をHoffmanインデックスにおけるMZSVで表す以下のような公式が知られている.
$n\geq 1$に対し, 以下の公式が成り立つ.
\begin{align}
\zeta(2n)&=\frac 1{2(1-2^{1-2n})}\zeta^{\star}(\{2\}^n)\\
\zeta(2n+1)&=\frac 1{4n(1-2^{-2n})}\left(2\sum_{k=0}^{n-1}\zeta^{\star}(\{2\}^k,3,\{2\}^{n-k-1})+\zeta^{\star}(3,\{2\}^{n-1})\right).
\end{align}
証明には以下の結果を用いる.
$k_r\geq 2$であるインデックス$(k_1,\dots,k_r)$に対し,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^r(k_i-1+\delta_{1,i})\zeta^{\star}(k_1,\dots,k_{i-1},k_i+1,k_{i+1},\dots,k_r)\\
&=\sum_{i=1}^r\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{\star}(k_1,\dots,k_{i-1},j+1,k_i-j,k_{i+1},\dots,k_r)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}(\bk)&=2\binom{k-1}{2s-1}(1-2^{1-k})\zeta(k)
\end{align}
が成り立つ. ここで, $I_0(k,*,s)$は重さ$k$, 高さ$s$のインデックス全体の集合を表す.
Aoki-Ohnoの関係式については, 前の記事 で証明を与えた.
1つ目の式は
前の記事
で示した. 2つ目の式を示す. 定理2において, $\bk=\{2\}^n$とすると,
\begin{align}
\zeta^{\star}(3,\{2\}^{n-1})+\sum_{i=0}^{r-1}\zeta^{\star}(\{2\}^i,3,\{2\}^{r-i-1})&=\sum_{i=0}^{r-1}\zeta^{\star}(\{2\}^i,1,\{2\}^{r-i})
\end{align}
を得る. また, 定理3において, $k=2n+1,s=n$とすると,
\begin{align}
\sum_{i=0}^{r-1}\zeta^{\star}(\{2\}^i,3,\{2\}^{r-i-1})+\sum_{i=0}^{r-1}\zeta^{\star}(\{2\}^i,1,\{2\}^{r-i-1})=4n(1-2^{-2n})\zeta(2n+1)
\end{align}
を得る. これらを足し合わせると,
\begin{align}
2\sum_{i=0}^{r-1}\zeta^{\star}(\{2\}^i,3,\{2\}^{r-i-1})+\zeta^{\star}(3,\{2\}^{n-1})=4n(1-2^{-2n})\zeta(2n+1)
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
定理1がかなり簡潔な一方で, Riemannゼータ値をHoffmanインデックスにおけるMZVで表したときの係数は複雑で, 明示的に表すような公式はまだ知られていないと思われる.
