C型量子群のoscillator表現

$C_n$型の量子群$U_q(sp(2n))$の表現の構成に関するメモ書きである。
oscillator表現という名前がついている。
記号や補題に関しては D型の記事 を参照してほしい
以下、$1<k\in \underset{―}{n}$とする。

表現であることの証明
$$\begin{array}{rl}[E_1,F_1]& =([{\theta }_1+2][{\theta }_1+1]-[{\theta }_1][{\theta }_1-1])/[2{]}^2\\ & =[2{\theta }_1+1]/[2]\\ & =[H_1{]}_2\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}[E_k,F_k]& =([{\theta }_k][{\theta }_{k-1}+1]-[{\theta }_k+1][{\theta }_{k-1}])\\ & =[-{\theta }_{k-1}+{\theta }_k]\\ & =[H_k]\end{array}$$
よって$[E_l,F_m]={\delta }_{lm}[H_m{]}_{d_m}$
Serre関係式
$$\begin{array}{rl}& E_1^2{E}_2-[2{]}_2{E}_1{E}_2{E}_1+E_2{E}_1^2\\ =& -\frac{1}{[2{]}^2}{x}_1^3{x}_2([{\theta }_1+4]-[2{]}_2[{\theta }_1+2]+[{\theta }_1])\\ =& -\frac{1}{[2{]}^3}{x}_1^3{x}_2([{\theta }_1+4][2]-[4][{\theta }_1+2]+[2][{\theta }_1])\\ =& -\frac{1}{[2{]}^3}{x}_1^3{x}_2([{\theta }_1+4][2]-[{\theta }_1+4][2])\\ =& 0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& F_1^2{F}_2-[2{]}_2{F}_1{F}_2{F}_1+F_2{F}_1^2\\ =& -\frac{1}{[2{]}^2}{D}_1^3{D}_2([{\theta }_1-3]-[2{]}_2[{\theta }_1-1]+[{\theta }_1+1])\\ =& -\frac{1}{[2{]}^3}{x}_1{x}_2([{\theta }_1-3][2]-[4][{\theta }_1-1]+[2][{\theta }_1+1])\\ =& -\frac{1}{[2{]}^3}{x}_1{x}_2([{\theta }_1-3][2]-[{\theta }_1-3][2])\\ =& 0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& E_2^3{E}_1-[3]E_2^2{E}_1{E}_2+[3]E_2{E}_1{E}_2^2-E_1{E}_2^3\\ =& \frac{i}{[2]}{D}_1{x}_2^3([{\theta }_1+2][{\theta }_1+1]-[3][{\theta }_1+1][{\theta }_1]+[3][{\theta }_1][{\theta }_1-1]-[{\theta }_1-1][{\theta }_1-2])\\ =& \frac{i}{[2]}{D}_1{x}_2^3(-[2][{\theta }_1+1][{\theta }_1-1]+[2][{\theta }_1+1][{\theta }_1-1])\\ =& 0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& F_2^3{F}_1-[3]F_2^2{F}_1{F}_2+[3]F_2{F}_1{F}_2^2-F_1{F}_2^3\\ =& \frac{i}{[2]}{x}_1{D}_2^3(-[{\theta }_1+3][{\theta }_1+2]+[3][{\theta }_1+2][{\theta }_1+1]-[3][{\theta }_1+1][{\theta }_1]+[{\theta }_1][{\theta }_1-1])\\ =& \frac{i}{[2]}{x}_1{D}_2^3([2][{\theta }_1+2][{\theta }_1]-[2][{\theta }_1+2][{\theta }_1])\\ =& 0\end{array}$$
あとはA型の場合と同様である。

この表現のmodule algebraを考察したが、整合性を持つような積を構成することが出来なかった。というのも、$\mathrm{\Delta }{K}_1=K_1\otimes K_1$だが、$H_1={\theta }_1+1/2$の$1/2$によって、多項式の次数が1/2だけずれてしまうからである。A,D型など$1$階微分演算子の表現に対しては構成できていたが、この表現が異質で、良い構成をつくることができなかった。
なお、$C_2$型のリー代数には1階の微分演算子の表現は存在し、
$E_1=x_1{\partial }_2-x_3{\partial }_4,E_2=x_2{\partial }_3$
$F_1=x_2{\partial }_1-x_4{\partial }_3,F_2=x_3{\partial }_2$
$H_1={\theta }_1-{\theta }_2+{\theta }_3-{\theta }_4,H_2={\theta }_2-{\theta }_3$
というふうになる。しかし、困ったことに、これの量子化を試みたが、ナイーブに微分を$q$微分に置き換えるも、$[E_2,F_2]=[H_2{]}_2,[E_2,F_1]=0$のはずだが、
$$[\frac{1}{x_3}[{\theta }_3],\frac{1}{x_3}[{\theta }_3{]}_2]\ne 0$$なので失敗する。まだまだ謎が多い。