むかしわからなかった積分の解法②

　最初に、$x\mapsto\ln x$として置換して積分区間を半分にする。そして、次に部分分数分解を行う。
$$ \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a^2}{(e^x-(|a|x-b))^2+(a\pi)^2}\,dx&=\int_0^\infty\frac{a^2}{(x-(|a|\ln x-b))^2+(a\pi)^2}\cdot\frac{dx}{x} \\ &=\int_0^\infty\frac{|a|^2}{((x-(|a|\ln x-b))+i|a|\pi)((x-(|a|\ln x-b))-i|a|\pi)}\cdot\frac{dx}{x} \\ &=\int_0^\infty\frac{1}{2i\pi}\left(-\frac{|a|}{(x-(|a|\ln x-b))+i|a|\pi}+\frac{|a|}{(x-(|a|\ln x-b))-i|a|\pi}\right)\frac{dx}{x} \\ &=\frac{1}{2\pi i}\left(-\int_0^\infty\frac{|a|}{x-|a|(\ln x-i\pi)+b}\cdot\frac{dx}{x}+\int_0^\infty\frac{|a|}{x-|a|(\ln x+i\pi)+b}\cdot\frac{dx}{x}\right) \\ &=\frac{1}{2\pi i}\left(-\int_0^\infty\frac{|a|}{x-|a|\ln(e^{-i\pi}x)+b}\cdot\frac{dx}{x}+\int_0^\infty\frac{|a|}{x-|a|\ln(e^{+i\pi}x)+b}\cdot\frac{dx}{x}\right) \\ &=\frac{1}{2\pi i}\left(+\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(e^{-i\pi}x)-x-b}\cdot\frac{dx}{x}-\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(e^{+i\pi}x)-x-b}\cdot\frac{dx}{x}\right). \end{align} $$
　ここで、自然対数の分枝を考慮しつつオイラーの等式$e^{+i\pi}=e^{-i\pi}=-1$を考慮して、次の複素積分を考察する。続くその次の図は積分経路$\varGamma$の図示。
$$ \begin{align} \oint_\varGamma\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}&\coloneqq\left(\underline{\int_{\ell_+\mathstrut}}_{(\mathrm{I})}+\underline{\int_{C_R\mathstrut}}_{(\mathrm{I\hspace{-.1em}I})}+\underline{\int_{\ell_-\mathstrut}}_{(\mathrm{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I})}+\underline{\int_{c_\varepsilon\mathstrut}}_{(\mathrm{I\hspace{-.1em}V})}\right)\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z} \\ &\coloneqq\left(\underline{\int_{\varepsilon\mathstrut}^R}_{(\mathrm{I})}+\underline{\int_{z=Re^{+i\theta}\colon0\leq\theta\leq2\pi\mathstrut}}_{(\mathrm{I\hspace{-.1em}I})}+\underline{\int_{R\mathstrut}^\varepsilon}_{(\mathrm{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I})}+\underline{\int_{z=\varepsilon e^{-i\theta}\colon0\leq\theta\leq2\pi\mathstrut}}_{(\mathrm{I\hspace{-.1em}V})}\right)\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}.\tag*{$\cdots(\mathrm{V})$} \end{align} $$
積分経路$\varGamma$と特異点達$\Large\times$
原点$O$以外の孤立特異点の計算過程を次に示しておく、非自明の場合を考えているので無論以降も$a\neq0$である。
$$ \begin{align} |a|\ln(-z)-z-b=0&\Longleftrightarrow|a|(\ln(-z/|a|)+(-z/|a|))+|a|(\ln|a|-b/|a|)=0 \\ &\Longleftrightarrow|a|\ln((-z/|a|)e^{-z/|a|})+|a|\ln{}(|a|/e^{b/|a|})=0 \\ &\Longleftrightarrow\ln((-z/|a|)e^{-z/|a|})+\ln{}(|a|/e^{b/|a|})=0 \\ &\Longleftrightarrow\ln((-z/|a|)e^{-z/|a|})=\ln{}(e^{b/|a|}/|a|) \\ &\Longleftrightarrow(-z/|a|)e^{-z/|a|}=e^{b/|a|}/|a| \\ &\Longleftrightarrow(-z/|a|)=W(e^{b/|a|}/|a|) \\ &\Longleftrightarrow z=-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|). \end{align} $$
　最左辺の周回積分はコーシーの留数定理が適用可能、式途中の極限計算ではロピタルの定理を使用。
$$ \begin{align} \oint_\varGamma\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}=2\pi i&\cdot\mathop{\mathrm{Res}}_{z=-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}\left(\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{1}{z}\right) \\ =2\pi i\cdot\frac{1}{(1-1)!}&\cdot\lim_{z\to-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}\left(\frac{d^{1-1}}{dz^{1-1}}\left((z-(-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)))^1\cdot\left(\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{1}{z}\right)\right)\right) \\ =2\pi i&\cdot\lim_{z\to-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}\left((z+|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|))\cdot\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{1}{z}\right) \\ =2\pi i&\cdot\lim_{z\to-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}\left(\frac{z+|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{|a|\ln(-z)-z-b}\right)\cdot\left(-\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)}\right) \\ =2\pi i&\cdot\lim_{z\to-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}\left(\frac{\displaystyle\frac{d}{dz}(z+|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|))}{\displaystyle\frac{d}{dz}(|a|\ln(-z)-z-b)}\right)\cdot\left(-\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)}\right) \\ =2\pi i&\cdot\left(-\frac{W(e^{b/|a|}/|a|)}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\right)\cdot\left(-\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)}\right) \\ =2\pi i&\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}. \end{align} $$
　よって、$R\to\infty,\varepsilon\to0$による積分の極限値が存在することとなる。
$$\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\oint_\varGamma\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}=2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}.$$
　また、最右辺については第$2$項$\mathrm{I\hspace{-.1em}I}$と第$4$項$\mathrm{I\hspace{-.1em}V}$の積分の絶対値は次のとおり上から評価される。
$$ \begin{align} 0\leq\left|\int_{|z|=r\neq1}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}\right|&\leq\int_{|z|=r\neq1}\left|\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\right|\cdot\left|\frac{dz}{z}\right| \\ &\leq\int_{|z|=r\neq1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot\sup_{|z|=r\neq1}\left|\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\right| \\ &=\int_{|z|=r\neq1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot\sup_{|z|=r\neq1}\left(\frac{|a|}{||a|\ln z+z-b|}\right) \\ &\leq\int_{|z|=r\neq1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot\sup_{|z|=r\neq1}\left(\frac{|a|}{|||a|\ln z+z|-|b||}\right) \\ &\leq\int_{|z|=r\neq1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot\sup_{|z|=r\neq1}\left(\frac{|a|}{|||a||\ln z|-|z||-|b||}\right) \\ &=2\pi\cdot{}\sup_{\!\!|\theta|\leq\pi}\left(\frac{|a|}{\left|\left||a|\sqrt{\ln\!{}^2\,r+\theta^2\mathstrut}-r\right|-|b|\right|}\right) \\ &= \left\{ \begin{aligned} &2\pi\cdot{}\sup_{\!\!|\theta|\leq\pi}\left(\frac{|a|/r}{\left|\left||a|\sqrt{((\ln r)/r)^2+(\theta/r)^2\mathstrut}-1\right|-|b|/r\right|}\right)&, \\ &2\pi\cdot{}\sup_{\!\!|\theta|\leq\pi}\left(\frac{|a|/|\ln r|}{\left|\left||a|\sqrt{1+(\theta/(\ln r))^2\mathstrut}-r/|\ln r|\right|-|b|/|\ln r|\right|}\right) \end{aligned} \right\} \xrightarrow[\smash{\enspace r\to0\hspace{0.5em}\enspace}]{\enspace r\to\infty\enspace}0. \end{align} $$
以上の評価より、以下の極限がえられる。
$$\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{C_R}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}=\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{c_\varepsilon}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}=0.$$
　これらより、式$\mathrm{V}$から次が帰結される。
$$ \begin{align} &\phantom{\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}}\oint_\varGamma\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}\hspace{-2em}&&=\phantom{\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}}\int_{\ell_+\sqcup\ell_-}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+\phantom{\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}}\int_{C_R\sqcup c_\varepsilon}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z} \\ \Longrightarrow&\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\oint_\varGamma\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}\hspace{-2em}&&=\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{\ell_+\sqcup\ell_-}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{C_R\sqcup c_\varepsilon}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z} \\ \Longleftrightarrow&\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\oint_\varGamma\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}\hspace{-2em}&&=\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{\ell_+\sqcup\ell_-}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{C_R\sqcup c_\varepsilon}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z} \\ \Longleftrightarrow&\mathop{}2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\hspace{-2em}&&=\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\int_{\ell_+\sqcup\ell_-}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+0+0 \\ \Longleftrightarrow&\mathop{}2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\hspace{-2em}&&=\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\left(\int_{\ell_+}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+\int_{\ell_-}\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}\right) \\ \Longleftrightarrow&\mathop{}2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\hspace{-2em}&&=\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}\left(\int_\varepsilon^R\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+\int_R^\varepsilon\frac{|a|}{|a|\ln(-e^{2\pi i}z)-e^{2\pi i}z-b}\cdot\frac{dz}{z}\right) \\ \Longleftrightarrow&\mathop{}2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\hspace{-2em}&&=\phantom{\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}}\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(-z)-z-b}\cdot\frac{dz}{z}+\int_\infty^0\frac{|a|}{|a|\ln(-e^{2\pi i}z)-e^{2\pi i}z-b}\cdot\frac{dz}{z} \\ \Longleftrightarrow&\mathop{}2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\hspace{-2em}&&=\phantom{\lim_{R\to\infty,\varepsilon\to0}}\underline{\underline{+\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(e^{-i\pi}x)-x-b}\cdot\frac{dx}{x}-\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(e^{+i\pi}x)-x-b}\cdot\frac{dx}{x}}}_{(\mathrm{V\hspace{-.1em}I})}. \end{align} $$
　ゆえに、最後に式$\mathrm{V\hspace{-.1em}I}$の部分を代入すれば所望の積分をえる。
$$ \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a^2}{(e^x-(|a|x-b))^2+(a\pi)^2}\,dx&=\frac{1}{2\pi i}\left(+\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(e^{-i\pi}x)-x-b}\cdot\frac{dx}{x}-\int_0^\infty\frac{|a|}{|a|\ln(e^{+i\pi}x)-x-b}\cdot\frac{dx}{x}\right) \\ &=\frac{1}{2\pi i}\times\left(2\pi i\cdot\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}\right) \\ &=\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}. \end{align} $$
$\square$