むかしわからなかった積分の解法②

　最初に、$x\mapsto \ln x$として置換して積分区間を半分にする。そして、次に部分分数分解を行う。
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a^2}{(e^x-(|a|x-b){)}^2+(a\pi {)}^2}dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{a^2}{(x-(|a|\ln x-b){)}^2+(a\pi {)}^2}\cdot \frac{dx}{x}\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a{|}^2}{((x-(|a|\ln x-b))+i|a|\pi )((x-(|a|\ln x-b))-i|a|\pi )}\cdot \frac{dx}{x}\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2i\pi }(-\frac{|a|}{(x-(|a|\ln x-b))+i|a|\pi }+\frac{|a|}{(x-(|a|\ln x-b))-i|a|\pi })\frac{dx}{x}\\ & =\frac{1}{2\pi i}(-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{x-|a|(\ln x-i\pi )+b}\cdot \frac{dx}{x}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{x-|a|(\ln x+i\pi )+b}\cdot \frac{dx}{x})\\ & =\frac{1}{2\pi i}(-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{x-|a|\ln \left(e^{-i\pi }x\right)+b}\cdot \frac{dx}{x}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{x-|a|\ln \left(e^{+i\pi }x\right)+b}\cdot \frac{dx}{x})\\ & =\frac{1}{2\pi i}(+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln \left(e^{-i\pi }x\right)-x-b}\cdot \frac{dx}{x}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln \left(e^{+i\pi }x\right)-x-b}\cdot \frac{dx}{x}).\end{array}$$
　ここで、自然対数の分枝を考慮しつつオイラーの等式$e^{+i\pi }=e^{-i\pi }=-1$を考慮して、次の複素積分を考察する。続くその次の図は積分経路$\Gamma$の図示。
$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}& :=({\underset{―}{{\int }_{{\ell }_{+}\phantom{(}}}}_{(\mathrm{I})}+{\underset{―}{{\int }_{C_R\phantom{(}}}}_{(\mathrm{I}\mathrm{I})}+{\underset{―}{{\int }_{{\ell }_{-}\phantom{(}}}}_{(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})}+{\underset{―}{{\int }_{c_{\epsilon }\phantom{(}}}}_{(\mathrm{I}\mathrm{V})})\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}\\ \cdots (\mathrm{V})& & :=({\underset{―}{{\int }_{\epsilon \phantom{(}}^R}}_{(\mathrm{I})}+{\underset{―}{{\int }_{z=R{e}^{+i\theta }:0\le \theta \le 2\pi \phantom{(}}}}_{(\mathrm{I}\mathrm{I})}+{\underset{―}{{\int }_{R\phantom{(}}^{\epsilon }}}_{(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})}+{\underset{―}{{\int }_{z=\epsilon e^{-i\theta }:0\le \theta \le 2\pi \phantom{(}}}}_{(\mathrm{I}\mathrm{V})})\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}.\end{array}$$
積分経路$\Gamma$と特異点達$\times$
原点$O$以外の孤立特異点の計算過程を次に示しておく、非自明の場合を考えているので無論以降も$a\ne 0$である。
$$\begin{array}{rl}|a|\ln (-z)-z-b=0& ⟺|a|(\ln (-z/|a|)+(-z/|a|))+|a|(\ln |a|-b/|a|)=0\\ & ⟺|a|\ln ((-z/|a|)e^{-z/|a|})+|a|\ln (|a|/e^{b/|a|})=0\\ & ⟺\ln ((-z/|a|)e^{-z/|a|})+\ln (|a|/e^{b/|a|})=0\\ & ⟺\ln ((-z/|a|)e^{-z/|a|})=\ln (e^{b/|a|}/|a|)\\ & ⟺(-z/|a|)e^{-z/|a|}=e^{b/|a|}/|a|\\ & ⟺(-z/|a|)=W(e^{b/|a|}/|a|)\\ & ⟺z=-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|).\end{array}$$
　最左辺の周回積分はコーシーの留数定理が適用可能、式途中の極限計算ではロピタルの定理を使用。
$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}=2\pi i& \cdot \underset{z=-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{\mathrm{Res}}(\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{1}{z})\\ =2\pi i\cdot \frac{1}{(1-1)!}& \cdot \underset{z\to -|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{lim}\left(\frac{d^{1-1}}{d{z}^{1-1}}((z-(-|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)){)}^1\cdot (\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{1}{z}))\right)\\ =2\pi i& \cdot \underset{z\to -|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{lim}((z+|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|))\cdot \frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{1}{z})\\ =2\pi i& \cdot \underset{z\to -|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{lim}\left(\frac{z+|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{|a|\ln (-z)-z-b}\right)\cdot (-\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)})\\ =2\pi i& \cdot \underset{z\to -|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|)}{lim}\left(\frac{{\displaystyle \frac{d}{dz}(z+|a|\cdot W(e^{b/|a|}/|a|))}}{{\displaystyle \frac{d}{dz}(|a|\ln (-z)-z-b)}}\right)\cdot (-\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)})\\ =2\pi i& \cdot (-\frac{W(e^{b/|a|}/|a|)}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1})\cdot (-\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)})\\ =2\pi i& \cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}.\end{array}$$
　よって、$R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0$による積分の極限値が存在することとなる。
$$\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\oint }_{\Gamma }\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}=2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}.$$
　また、最右辺については第$2$項$\mathrm{I}\mathrm{I}$と第$4$項$\mathrm{I}\mathrm{V}$の積分の絶対値は次のとおり上から評価される。
$$\begin{array}{rl}0\le |{\int }_{|z|=r\ne 1}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}|& \le {\int }_{|z|=r\ne 1}\left|\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\right|\cdot \left|\frac{dz}{z}\right|\\ & \le {\int }_{|z|=r\ne 1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot \underset{|z|=r\ne 1}{sup}\left|\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\right|\\ & ={\int }_{|z|=r\ne 1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot \underset{|z|=r\ne 1}{sup}\left(\frac{|a|}{||a|\ln z+z-b|}\right)\\ & \le {\int }_{|z|=r\ne 1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot \underset{|z|=r\ne 1}{sup}\left(\frac{|a|}{|||a|\ln z+z|-|b||}\right)\\ & \le {\int }_{|z|=r\ne 1}\left|\frac{dz}{z}\right|\cdot \underset{|z|=r\ne 1}{sup}\left(\frac{|a|}{|||a||\ln z|-|z||-|b||}\right)\\ & =2\pi \cdot \underset{|\theta |\le \pi }{sup}\left(\frac{|a|}{|||a|\sqrt{\ln {}^{2}r+{\theta }^2\phantom{(}}-r|-|b||}\right)\\ & =\left\{\begin{array}{rlr}& 2\pi \cdot \underset{|\theta |\le \pi }{sup}\left(\frac{|a|/r}{|||a|\sqrt{((\ln r)/r{)}^2+(\theta /r{)}^2\phantom{(}}-1|-|b|/r|}\right)& ,\\ & 2\pi \cdot \underset{|\theta |\le \pi }{sup}\left(\frac{|a|/|\ln r|}{|||a|\sqrt{1+(\theta /(\ln r){)}^2\phantom{(}}-r/|\ln r||-|b|/|\ln r||}\right)\end{array}\right\}\underset{r\to 0}{\overset{r\to \mathrm{\infty }}{\to }}0.\end{array}$$
以上の評価より、以下の極限がえられる。
$$\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{C_R}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}=\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{c_{\epsilon }}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}=0.$$
　これらより、式$\mathrm{V}$から次が帰結される。
$$\begin{array}{rlrl}& \phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}}{\oint }_{\Gamma }\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}& & =\phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}}{\int }_{{\ell }_{+}\bigsqcup {\ell }_{-}}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+\phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}}{\int }_{C_R\bigsqcup c_{\epsilon }}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}\\ ⟹& \underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\oint }_{\Gamma }\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}& & =\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{{\ell }_{+}\bigsqcup {\ell }_{-}}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{C_R\bigsqcup c_{\epsilon }}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}\\ ⟺& \underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\oint }_{\Gamma }\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}& & =\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{{\ell }_{+}\bigsqcup {\ell }_{-}}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{C_R\bigsqcup c_{\epsilon }}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}\\ ⟺& 2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}& & =\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{{\ell }_{+}\bigsqcup {\ell }_{-}}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+0+0\\ ⟺& 2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}& & =\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}({\int }_{{\ell }_{+}}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+{\int }_{{\ell }_{-}}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z})\\ ⟺& 2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}& & =\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}({\int }_{\epsilon }^R\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+{\int }_R^{\epsilon }\frac{|a|}{|a|\ln (-e^{2\pi i}z)-e^{2\pi i}z-b}\cdot \frac{dz}{z})\\ ⟺& 2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}& & =\phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln (-z)-z-b}\cdot \frac{dz}{z}+{\int }_{\mathrm{\infty }}^0\frac{|a|}{|a|\ln (-e^{2\pi i}z)-e^{2\pi i}z-b}\cdot \frac{dz}{z}\\ ⟺& 2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}& & =\phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty },\epsilon \to 0}{lim}}{\underset{―}{\underset{―}{+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln \left(e^{-i\pi }x\right)-x-b}\cdot \frac{dx}{x}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln \left(e^{+i\pi }x\right)-x-b}\cdot \frac{dx}{x}}}}_{(\mathrm{V}\mathrm{I})}.\end{array}$$
　ゆえに、最後に式$\mathrm{V}\mathrm{I}$の部分を代入すれば所望の積分をえる。
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a^2}{(e^x-(|a|x-b){)}^2+(a\pi {)}^2}dx& =\frac{1}{2\pi i}(+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln \left(e^{-i\pi }x\right)-x-b}\cdot \frac{dx}{x}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|a|}{|a|\ln \left(e^{+i\pi }x\right)-x-b}\cdot \frac{dx}{x})\\ & =\frac{1}{2\pi i}\times (2\pi i\cdot \frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1})\\ & =\frac{1}{W(e^{b/|a|}/|a|)+1}.\end{array}$$
$◻$