点から作る方程式2
はじめに
こんにちはn=1です。今回は 前回の記事 とは別の形に合うような関数を出力するものについてやっていきます。
例
今回は冪乗の形に合わせるとして、いくつか例を上げます。
一つ目の例は
n項冪乗和方程式
を使い連立方程式を立て解く方法です。例えば「$f(x)=a^x+b^{x-1}$が$f(1)=1,f(2)=2$となるa,bを求めよ」です。これは条件に合う連立方程式を立て、
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^1+b^0=1 \\
a^2+b^1=2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$\Longleftrightarrow\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=0 \\
b=2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
となるので答えは$a=0,b=2$で$0^x$を入れると面倒なので$f(x)=2^{x-1}$となります。
二つ目の例は出された問の入力数を冪乗から引いたものに問を掛けたものの和から求める方法です。具体例は「$f(1)=\frac{1}{4},f(2)=16i,f(4)=-16i$となるf(x)を冪乗和方程式の一つであげよ」です。これは、$f(x)=a_{1}b_{1}^{x-1}+a_{2}b_{2}^{x-2}+a_{4}b_{4}^{x-4}$とし係数を各出力値、他の項の和を0にすれば成り立つので
$f(x)=\frac{1}{4}b_{1}^{x-1}+16ib_{2}^{x-2}-16ib_{4}^{x-4}$
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
16ib_{2}^{-1}-16ib_{4}^{-3}=0 \\
\frac{1}{4}b_{1}^{1}-16ib_{4}^{-2}=0 \\ \frac{1}{4}b_{1}^{3}+16ib_{2}^{2}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$\Longleftrightarrow\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
b_{2}=b_{4}^{3} \\
b_{1}=64ib_{4}^{-2} \\
b_{1}^3=-64ib_{2}^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
これは上2つを下の式に代入し、$b_{4}=2$が解の一つと分かるのでそこから$b_{1}=16i,b_{2}=8$と分かり、答えは$f(x)=\frac{1}{4}(16i)^{x-1}+16i\cdot8^{x-2}-16i\cdot2^{x-4}$が当てはまると分かります。
三つ目の例は、冪乗の積から求める方法です。具体例は「$f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$となり$f(x)=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$となるような$f(x)$を1つ求めよ」です。これは、各出力値に対応させる文字以外は1にすれば対応する文字を求めるだけでよいので
$f(x)=a^{(x-2)(x-3)}b^{(x-1)(x-3)}c^{(x-1)(x-2)}$
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^{(1-2)(1-3)}=1 \\
b^{(2-1)(2-3)}=2 \\
c^{(3-1)(3-2)}=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$\Longleftrightarrow\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=\pm1 \\
b=\frac{1}{2} \\
c=\pm\sqrt{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
となるので答えは$f(x)=(\frac{1}{2})^{x^2-4x+3}\sqrt{3}^{x^2-3x+2}$です。
この例は他の例より値が求めやすいですが、0をとる値は掛け算なのでとるには他の仕掛けをしないといけません。
例題
$f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$となり全係数1の3項冪乗和方程式で表せる$f(x)$の1つ求めよ。また、$\alpha^5+\alpha^4-2\alpha^3-2\alpha-1=0$となる$\alpha$を使ってもよい。
$f(1)=2,f(2)=4,f(3)=16$となる例2の形で冪乗和方程式を1つを求めよ。
$f(1)=2,f(2)=4,f(3)=16,f(4)=65536$となり例3の形になる式を1つ求めよ。
解説
解説です。問1は条件に合った連立方程式を立て
$f(x)=a^x+b^{x-1}+c^{x-2}$
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a^1+b^0+c^{-1}=1 \\ a^2+b^1+c^0=2 \\ a^3+b^2+c^1=3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$\Longleftrightarrow\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} c=-\frac{1}{a} \\ b=1-a^2 \\ a^3+b^2+c=3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
となり、上2つの式を下の式に代入すると$a^5+a^4-2a^2-2a-1=0$という式を得られ、$a=\alpha$とできるので答えは$f(x)=\alpha^x+(-\alpha^2)^{x-1}-\frac{1}{\alpha}+1$です。
問2の答えはまた連立方程式を立て、
$f(x)=2a^{x-1}+4b^{x-2}+16c^{x-3}$
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 4b^{-1}+16c^{-2}=0 \\ 2a^1+16c^{-1}=0 \\ 2a^2+4b^1=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$\Longleftrightarrow\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} b=-\frac{c^2}{4} \\ a=-8c^{-1} \\ a^2=-2b \end{array} \right. \end{eqnarray}$
となり$a=-2^{\frac{5}{4}},b=-2^{\frac{3}{2}},c=2^{\frac{7}{4}}$と分かります。
問3は冪乗の積であらわすので指数と対数をとり底を考えるだけなので、
$f(x)=a^{(x-2)(x-3)(x-4)}b^{(x-1)(x-3)(x-4)}c^{(x-1)(x-2)(x-4)}d^{(x-1)(x-2)(x-3)}$
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a^{(1-2)(1-3)(1-4)}=2 \\ b^{(2-1)(2-3)(2-4)}=4 \\ c^{(3-1)(3-2)(3-4)}=16 \\ d^{(4-1)(4-2)(4-3)}=65536 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$\Longleftrightarrow\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=2^{-\frac{1}{6}} \\ b=\pm2 \\ c=\pm2^{-2} \\ d= 2^{\frac{8}{3}} \end{array} \right. \end{eqnarray}$
となり、全て底が2なので指数を足して答えは$f(x)=2^{\frac{3}{2}x^3-\frac{17}{2}x^2+16x-8}$が答えの一つです。
最後に
以上で点からる来る方程式2は終わりです。投稿を見てくださりありがとうございました。