出題した積分と級数bot
先日Twitterで出題した積分
$$ \begin {aligned} \int _{0}^{\infty }\frac {\lfloor x\rfloor}{1+e^{2\pi x}}dx &=\frac {1}{24}-\frac {3\ln 2}{16\pi } \end {aligned} $$
の解法と、関連した級数botの級数について書きます。
積分の解法
$$
\begin {aligned}
\int _{0}^{\infty }\frac {\lfloor x\rfloor}{1+e^{2\pi x}}dx
&=\sum _{n=1}^\infty \int _{n}^{n+1}\frac {n}{1+e^{2\pi x}}dx\\
&=\sum _{n=1}^\infty \frac {n}{2\pi }\left [-\ln (1+e^{-2\pi x})\right ] _n^{n+1}\\
&=\frac {1}{2\pi }\sum _{n=1}^\infty n\ln \frac {1+e^{-2\pi n}}{1+e^{-2\pi (n+1)}}
\end {aligned}
$$
ここで、$a_n=\ln(1+e^{-2\pi n})$とおくと
$$
\begin {aligned}
\sum _{n=1}^\infty n\ln \frac {1+e^{-2\pi n}}{1+e^{-2\pi (n+1)}}
&=\sum _{n=1}^\infty n\left (a_n-a_{n+1}\right )\\
&=1(a_1-a_2)+2(a_2-a_3)+3(a_3-a_4)+\cdots \\
&=a_1+a_2+a_3+\cdots \quad \left (\because \lim _{n\to \infty }na_{n+1}=0\right )\\
&=\sum _{n=1}^\infty \ln (1+e^{-2\pi n})\\
&=\ln \prod _{n=1}^\infty \left (1+e^{-2\pi n}\right )\\
&=\ln \left(e^{\pi/12}2^{-3/8}\right)\\
&=\frac {\pi }{12}-\frac {3\ln 2}8
\end {aligned}
$$
途中、こちらの記事で示した等式
$$
\begin {aligned}
\prod _{n=1}^\infty \left (1+e^{-2\pi n}\right )&=e^{\pi /12}2^{-3/8}
\end {aligned}
$$
を利用しました。
以上が積分の解法です。次に関連した級数を計算していきます。
級数の計算
$$ \begin {aligned} \sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n(e^{2\pi n}-1)}&=\frac {\pi }{12}-\frac {3\ln 2}8 \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} \sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n(e^{2\pi n}-1)} &=\sum _{n,m=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}ne^{-2\pi nm}\\ &=\sum _{m=1}^\infty \ln \left (1+e^{-2\pi m}\right )\\ &=\ln \prod _{m=1}^\infty \left (1+e^{-2\pi m}\right ) \\&=\frac {\pi }{12}-\frac {3\ln 2}8 \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} \sum _{n,m=1}^\infty \frac {(-1)^{m-1}}{n^{2}+m^{2}} &=\frac {\pi ^{2}}{24}+\frac {\pi \ln 2}8 \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} \sum _{n,m=1}^\infty \frac {(-1)^{m-1}}{n^{2}+m^{2}} &=\sum _{n,m=1}^\infty \frac {(-1)^{m-1}}n\int _{0}^{\infty }e^{-mx}\sin nxdx\\ &=\int _{0}^{\infty }\frac {1}{1+e^{x}}\sum _{n=1}^\infty \frac {\sin nx}ndx\\ &=\int _{0}^{\infty }\frac {1}{1+e^{x}}\left (\frac {\pi -x}2+\pi \left \lfloor \frac {x}{2\pi }\right \rfloor\right )dx\\ &=\frac {\pi }2\int _{0}^{\infty }\frac {dx}{1+e^{x}}-\int _{0}^{\infty }\frac {xdx}{1+e^{x}}+2\pi ^2\int _{0}^{\infty }\frac {\lfloor x \rfloor }{1+e^{2\pi x}}dx\\ &=\frac {\pi \ln 2}2-\frac {\pi ^{2}}{24}+2\pi ^{2}\left (\frac {1}{24}-\frac {3\ln 2}{16\pi }\right )\\ &=\frac {\pi ^{2}}{24}+\frac {\pi \ln 2}8 \end {aligned} $$
以上です。ありがとうございました。