出題した積分と級数bot

先日Twitterで出題した積分

の解法と、関連した級数botの級数について書きます。

積分の解法

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\lfloor x\rfloor }{1+e^{2\pi x}}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_n^{n+1}\frac{n}{1+e^{2\pi x}}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2\pi }{[-\ln (1+e^{-2\pi x})]}_n^{n+1}\\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\ln \frac{1+e^{-2\pi n}}{1+e^{-2\pi (n+1)}}\end{array}$$
ここで、$a_n=\ln (1+e^{-2\pi n})$とおくと
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\ln \frac{1+e^{-2\pi n}}{1+e^{-2\pi (n+1)}}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(a_n-a_{n+1})\\ & =1(a_1-a_2)+2(a_2-a_3)+3(a_3-a_4)+\cdots \\ & =a_1+a_2+a_3+\cdots (\because \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_{n+1}=0)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln (1+e^{-2\pi n})\\ & =\ln \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+e^{-2\pi n})\\ & =\ln \left(e^{\pi /12}{2}^{-3/8}\right)\\ & =\frac{\pi }{12}-\frac{3\ln 2}{8}\end{array}$$
途中、こちらの記事で示した等式
$$\begin{array}{rl}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+e^{-2\pi n})& =e^{\pi /12}{2}^{-3/8}\end{array}$$
を利用しました。
以上が積分の解法です。次に関連した級数を計算していきます。

級数の計算

以上です。ありがとうございました。