代数学をやるその1　p群の指数pの部分群

$G$の単位元を$e$で表す．$Z \not\subset H$であるとする．このとき，$z \in Z$で$z \notin H$となる元$z$が取れる．まず，$z^l \in H$となる整数$2 \leq l \leq p$の存在を示す．$z$の位数$k$が$p-1$以下であったとすると，$z^k=e \in H$となるから$l=k$とすればよい．$z$の位数$k$が$p$以上もしくは無限であったとすると，$e,z,z^2, \cdots ,z^{p-1}$は全て互いに相異なる．従って，$|G/H|=p$であることから，$e,z,z^2,\cdots,z^p$の中には$H$を法として合同であるペアが存在する(鳩ノ巣原理)．それを$z^{l_1},z^{l_2} \, (0 \leq l_1< l_2 \leq p)$とすると，$z^{l_2-l_1} \in H$となる．即ち，$2 \leq l \leq p$を満たす整数$l$が存在して，$z^l \in H$となる．ここで$l=1$が外されているのは$z \notin H$による．以上より，$z^l \in H$となる整数$2 \leq l \leq p$の存在が示された．そのような整数$l$の内最小のものを改めて$l$とおく．このとき$|\langle z \rangle H/H|=l$である．
さて，
$$|G/ZH \times ZH/H|=|G/H|=p<\infty$$
であるから，特に$|ZH/H|$は有限で，$p$の約数である．更に$\langle z \rangle \subset Z$より
$$|ZH/H|=|ZH/\langle z \rangle H \times \langle z \rangle H/H|$$
が成り立つが，$|ZH/H|, \, |\langle z \rangle H/H|$が共に有限であることから
$$|ZH/H|=|ZH/\langle z \rangle H \times \langle z \rangle H/H|= |ZH/\langle z \rangle H| \cdot l$$
が成り立つ．よって，
$$p=|G/H| = |G/ZH| \cdot |ZH/\langle z \rangle H| \cdot l$$
が成り立つ．今$2 \leq l \leq p$であったから，$l=p$となるしかなく，このとき
$$1=|G/ZH| \cdot |ZH/\langle z \rangle H|$$
が成り立つ．これより$|G/ZH|=1$となるので$G=ZH$が成り立つ．すると，任意の$G$の元は$z' \in Z$と$h \in H$によって$z'h$と表される．よって任意の$x \in H$に対して
$$z'h \cdot x (z'h)^{-1}=hxh^{-1} \in H$$
が成り立つので，$H$は$G$の正規部分群である．

次に，$Z \subset H$であるとする．$\pi : G \rightarrow G/Z$を自然な準同型とする．$H$は$G$の部分群であるから，その$\pi$による像$\pi(H)=H/Z$は$G/Z$の部分群である．$|G/Z|=p^n(<\infty), \, |G/H|=p(<\infty)$であることから，
$$\frac{|G/Z|}{|H/Z|}=|G/H|=p$$
が成り立つ．即ち，$H/Z$は$p$群$G/Z$の指数$p$の部分群である．一般に$p$群の指数$p$の部分群は正規であるので，$H/Z$は正規部分群である．よって，その$\pi$による逆像$\pi^{-1}(H/Z)=HZ=H \, (\because Z \subset H)$も$G$の正規部分群である．以上より題意は示された．(証明終)

$G$の単位元を$e$で表す．$Z \not\subset H$であるとする．すると$z \in Z$で$z \notin H$となる元$z$が取れる．このとき$z \notin H$より$|\langle z \rangle H/H| \geq 2$である．さて，
$$|G/ZH \times ZH/H|=|G/H|=p<\infty$$
であるから，特に$|ZH/H|$は有限で，$p$の約数である．更に$\langle z \rangle \subset Z$より
$$|ZH/H|=|ZH/\langle z \rangle H \times \langle z \rangle H/H|$$
が成り立つが，$|ZH/H|$が有限であるから，$|ZH/\langle z \rangle H|, \, |\langle z \rangle H/H|$も共に有限で，
$$|ZH/H|=|ZH/\langle z \rangle H \times \langle z \rangle H/H|= |ZH/\langle z \rangle H| \cdot |\langle z \rangle H/H|$$
が成り立つ．よって，
$$p=|G/H| = |G/ZH| \cdot |ZH/\langle z \rangle H| \cdot |\langle z \rangle H/H|$$
が成り立つ．今$|\langle z \rangle H/H| \geq 2$であったから，$|\langle z \rangle H/H|=p$となるしかなく，このとき
$$1=|G/ZH| \cdot |ZH/\langle z \rangle H|$$
が成り立つ．これより$|G/ZH|=1$となるので$G=ZH$が成り立つ．すると，任意の$G$の元は$z' \in Z$と$h \in H$によって$z'h$と表される．よって任意の$x \in H$に対して
$$z'h \cdot x (z'h)^{-1}=hxh^{-1} \in H$$
が成り立つので，$H$は$G$の正規部分群である．

次に，$Z \subset H$であるとする．$\pi : G \rightarrow G/Z$を自然な準同型とする．$H$は$G$の部分群であるから，その$\pi$による像$\pi(H)=H/Z$は$G/Z$の部分群である．$|G/Z|=p^n(<\infty), \, |G/H|=p(<\infty)$であることから，
$$\frac{|G/Z|}{|H/Z|}=|G/H|=p$$
が成り立つ．即ち，$H/Z$は$p$群$G/Z$の指数$p$の部分群である．一般に$p$群の指数$p$の部分群は正規であるので，$H/Z$は正規部分群である．よって，その$\pi$による逆像$\pi^{-1}(H/Z)=HZ=H \, (\because Z \subset H)$も$G$の正規部分群である．以上より題意は示された．(証明終)

$G/H$の完全代表系を$\{g_i\}_{i \in I}$，$H/N$の完全代表系を$\{h_j\}_{j \in J}$とする．すると，
$$G=\bigcup_{i \in I}g_iH=\bigcup_{i \in I}g_i\bigcup_{j \in J}h_jN=\bigcup_{(i,j) \in I \times J}g_ih_jN$$
が成り立つ．ここで，どの集合の和に関しても互いに共通部分は持たない．従って，
$$|G/N|=|I \times J|=|G/H \times H/N|$$
が成り立つ．(証明終)

正の整数$n$によって$|G|=p^n$と表し，$n$に関する帰納法で補題を示す．まず，$n=1$のときは$H=\{e\}$となるので明らかに正規である．
次に，$1 \leq n \leq k$のとき題意が示されたとする．このとき$n=k+1$において題意が成り立つことを見る．$G$の中心を$Z$とする．一般に$p$群の中心は自明でないので，$z \in Z \backslash \{e\}$が取れる．$z$の位数は$p$の倍数であるから，$e,z,z^2, \cdots ,z^{p-1}$は全て互いに相異なる．従って，$e,z,z^2,\cdots,z^p$の中には$H$を法として合同であるペアが存在する(鳩ノ巣原理)．それを$z^{l_1},z^{l_2} \, (0 \leq l_1< l_2 \leq p)$とすると，$z^{l_2-l_1} \in H$となる．即ち，$1 \leq l \leq p$を満たす整数$l$が存在して，$z^l \in H$となる．そのような整数$l$の内最小のものを改めて$l$とおく．
$1 \leq l \leq p-1$とする．このとき$\langle z^l \rangle \subset H$であるから，
$$|G/\langle z^l \rangle|=|G/H| \cdot |H/\langle z^l \rangle| = p \cdot |H/\langle z^l \rangle|$$
が成り立つ．よって$H/\langle z^l \rangle$は群$G/\langle z^l \rangle$の指数$p$の部分群である．$z$の位数が$p$の倍数であることと$z \neq e$であることから$z^l \neq e$であるので，$|G/\langle z^l \rangle| \leq p^{k}$が成り立つ．従って帰納法の仮定により$H/\langle z^l \rangle$は正規．$G$に戻れば$H$が正規であることを導く．
$l=p$とする．$z^p \neq e$であれば上と同様に示せる．$z^p=e$であるなら，$l$の最小性から$G/H$の完全代表系として$e,z,\cdots,z^{p-1}$が取れるので，$G=\langle z \rangle H$が成り立つ．すると，任意の$G$の元は$z^lh \, (0 \leq l \leq p-1, \, h \in H)$の形で書ける．よって任意の$x \in H$に対して
$$z^lh \cdot x \cdot (z^lh)^{-1}=hxh^{-1} \in H \hspace{0.2in} (\because z \in Z)$$
が成り立つので$H$は正規である．以上より，$n=k+1$においても題意が成り立つことが示された．(証明終)

任意の$x \in \varphi^{-1}(N)$と任意の$g \in G$に対して，
$$\varphi(gxg^{-1})=\varphi(g)\varphi(x)\varphi(g)^{-1} \in \varphi(g)N\varphi(g)^{-1}=N$$
が成り立つので，$gxg^{-1} \in \varphi^{-1}(N)$となる．よって題意は示された．(証明終)

$G$の共役類の完全代表系を$A$とし，$G$の類等式
$$|G|=\sum_{x \in A}|C(x)|$$
を考える．$Z=\{e\}$であると仮定すると，類等式の右辺に$1$は$|C(e)|$の分の1回しか登場せず，他の$|C(x)|$は全て$|G|$の約数，即ち$p$べきである．よって
$$(pべき)=1+(pの倍数)$$
という等式が成り立ち，矛盾する．(証明終)