代数学をやるその1　p群の指数pの部分群

$G$の単位元を$e$で表す．$Z\not\subset H$であるとする．このとき，$z\in Z$で$z\notin H$となる元$z$が取れる．まず，$z^l\in H$となる整数$2\le l\le p$の存在を示す．$z$の位数$k$が$p-1$以下であったとすると，$z^k=e\in H$となるから$l=k$とすればよい．$z$の位数$k$が$p$以上もしくは無限であったとすると，$e,z,z^2,\cdots ,z^{p-1}$は全て互いに相異なる．従って，$|G/H|=p$であることから，$e,z,z^2,\cdots ,z^p$の中には$H$を法として合同であるペアが存在する(鳩ノ巣原理)．それを$z^{l_1},z^{l_2}(0\le l_1<l_2\le p)$とすると，$z^{l_2-l_1}\in H$となる．即ち，$2\le l\le p$を満たす整数$l$が存在して，$z^l\in H$となる．ここで$l=1$が外されているのは$z\notin H$による．以上より，$z^l\in H$となる整数$2\le l\le p$の存在が示された．そのような整数$l$の内最小のものを改めて$l$とおく．このとき$|⟨z⟩H/H|=l$である．
さて，
$$|G/ZH\times ZH/H|=|G/H|=p<\mathrm{\infty }$$
であるから，特に$|ZH/H|$は有限で，$p$の約数である．更に$⟨z⟩\subset Z$より
$$|ZH/H|=|ZH/⟨z⟩H\times ⟨z⟩H/H|$$
が成り立つが，$|ZH/H|,|⟨z⟩H/H|$が共に有限であることから
$$|ZH/H|=|ZH/⟨z⟩H\times ⟨z⟩H/H|=|ZH/⟨z⟩H|\cdot l$$
が成り立つ．よって，
$$p=|G/H|=|G/ZH|\cdot |ZH/⟨z⟩H|\cdot l$$
が成り立つ．今$2\le l\le p$であったから，$l=p$となるしかなく，このとき
$$1=|G/ZH|\cdot |ZH/⟨z⟩H|$$
が成り立つ．これより$|G/ZH|=1$となるので$G=ZH$が成り立つ．すると，任意の$G$の元は$z^{\prime }\in Z$と$h\in H$によって$z^{\prime }h$と表される．よって任意の$x\in H$に対して
$$z^{\prime }h\cdot x(z^{\prime }h{)}^{-1}=hx{h}^{-1}\in H$$
が成り立つので，$H$は$G$の正規部分群である．

次に，$Z\subset H$であるとする．$\pi :G\to G/Z$を自然な準同型とする．$H$は$G$の部分群であるから，その$\pi$による像$\pi (H)=H/Z$は$G/Z$の部分群である．$|G/Z|=p^n(<\mathrm{\infty }),|G/H|=p(<\mathrm{\infty })$であることから，
$$\frac{|G/Z|}{|H/Z|}=|G/H|=p$$
が成り立つ．即ち，$H/Z$は$p$群$G/Z$の指数$p$の部分群である．一般に$p$群の指数$p$の部分群は正規であるので，$H/Z$は正規部分群である．よって，その$\pi$による逆像${\pi }^{-1}(H/Z)=HZ=H(\because Z\subset H)$も$G$の正規部分群である．以上より題意は示された．(証明終)

$G$の単位元を$e$で表す．$Z\not\subset H$であるとする．すると$z\in Z$で$z\notin H$となる元$z$が取れる．このとき$z\notin H$より$|⟨z⟩H/H|\ge 2$である．さて，
$$|G/ZH\times ZH/H|=|G/H|=p<\mathrm{\infty }$$
であるから，特に$|ZH/H|$は有限で，$p$の約数である．更に$⟨z⟩\subset Z$より
$$|ZH/H|=|ZH/⟨z⟩H\times ⟨z⟩H/H|$$
が成り立つが，$|ZH/H|$が有限であるから，$|ZH/⟨z⟩H|,|⟨z⟩H/H|$も共に有限で，
$$|ZH/H|=|ZH/⟨z⟩H\times ⟨z⟩H/H|=|ZH/⟨z⟩H|\cdot |⟨z⟩H/H|$$
が成り立つ．よって，
$$p=|G/H|=|G/ZH|\cdot |ZH/⟨z⟩H|\cdot |⟨z⟩H/H|$$
が成り立つ．今$|⟨z⟩H/H|\ge 2$であったから，$|⟨z⟩H/H|=p$となるしかなく，このとき
$$1=|G/ZH|\cdot |ZH/⟨z⟩H|$$
が成り立つ．これより$|G/ZH|=1$となるので$G=ZH$が成り立つ．すると，任意の$G$の元は$z^{\prime }\in Z$と$h\in H$によって$z^{\prime }h$と表される．よって任意の$x\in H$に対して
$$z^{\prime }h\cdot x(z^{\prime }h{)}^{-1}=hx{h}^{-1}\in H$$
が成り立つので，$H$は$G$の正規部分群である．

次に，$Z\subset H$であるとする．$\pi :G\to G/Z$を自然な準同型とする．$H$は$G$の部分群であるから，その$\pi$による像$\pi (H)=H/Z$は$G/Z$の部分群である．$|G/Z|=p^n(<\mathrm{\infty }),|G/H|=p(<\mathrm{\infty })$であることから，
$$\frac{|G/Z|}{|H/Z|}=|G/H|=p$$
が成り立つ．即ち，$H/Z$は$p$群$G/Z$の指数$p$の部分群である．一般に$p$群の指数$p$の部分群は正規であるので，$H/Z$は正規部分群である．よって，その$\pi$による逆像${\pi }^{-1}(H/Z)=HZ=H(\because Z\subset H)$も$G$の正規部分群である．以上より題意は示された．(証明終)

$G/H$の完全代表系を$\{g_i{\}}_{i\in I}$，$H/N$の完全代表系を$\{h_j{\}}_{j\in J}$とする．すると，
$$G=\bigcup _{i\in I}{g}_{i}H=\bigcup _{i\in I}{g}_i\bigcup _{j\in J}{h}_{j}N=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}{g}_i{h}_{j}N$$
が成り立つ．ここで，どの集合の和に関しても互いに共通部分は持たない．従って，
$$|G/N|=|I\times J|=|G/H\times H/N|$$
が成り立つ．(証明終)

正の整数$n$によって$|G|=p^n$と表し，$n$に関する帰納法で補題を示す．まず，$n=1$のときは$H=\{e\}$となるので明らかに正規である．
次に，$1\le n\le k$のとき題意が示されたとする．このとき$n=k+1$において題意が成り立つことを見る．$G$の中心を$Z$とする．一般に$p$群の中心は自明でないので，$z\in Z\mathrm{\setminus }\{e\}$が取れる．$z$の位数は$p$の倍数であるから，$e,z,z^2,\cdots ,z^{p-1}$は全て互いに相異なる．従って，$e,z,z^2,\cdots ,z^p$の中には$H$を法として合同であるペアが存在する(鳩ノ巣原理)．それを$z^{l_1},z^{l_2}(0\le l_1<l_2\le p)$とすると，$z^{l_2-l_1}\in H$となる．即ち，$1\le l\le p$を満たす整数$l$が存在して，$z^l\in H$となる．そのような整数$l$の内最小のものを改めて$l$とおく．
$1\le l\le p-1$とする．このとき$⟨z^l⟩\subset H$であるから，
$$|G/⟨z^l⟩|=|G/H|\cdot |H/⟨z^l⟩|=p\cdot |H/⟨z^l⟩|$$
が成り立つ．よって$H/⟨z^l⟩$は群$G/⟨z^l⟩$の指数$p$の部分群である．$z$の位数が$p$の倍数であることと$z\ne e$であることから$z^l\ne e$であるので，$|G/⟨z^l⟩|\le p^k$が成り立つ．従って帰納法の仮定により$H/⟨z^l⟩$は正規．$G$に戻れば$H$が正規であることを導く．
$l=p$とする．$z^p\ne e$であれば上と同様に示せる．$z^p=e$であるなら，$l$の最小性から$G/H$の完全代表系として$e,z,\cdots ,z^{p-1}$が取れるので，$G=⟨z⟩H$が成り立つ．すると，任意の$G$の元は$z^{l}h(0\le l\le p-1,h\in H)$の形で書ける．よって任意の$x\in H$に対して
$$z^{l}h\cdot x\cdot (z^{l}h{)}^{-1}=hx{h}^{-1}\in H(\because z\in Z)$$
が成り立つので$H$は正規である．以上より，$n=k+1$においても題意が成り立つことが示された．(証明終)

任意の$x\in {\phi }^{-1}(N)$と任意の$g\in G$に対して，
$$\phi (gx{g}^{-1})=\phi (g)\phi (x)\phi (g{)}^{-1}\in \phi (g)N\phi (g{)}^{-1}=N$$
が成り立つので，$gx{g}^{-1}\in {\phi }^{-1}(N)$となる．よって題意は示された．(証明終)

$G$の共役類の完全代表系を$A$とし，$G$の類等式
$$|G|=\sum _{x\in A}|C(x)|$$
を考える．$Z=\{e\}$であると仮定すると，類等式の右辺に$1$は$|C(e)|$の分の1回しか登場せず，他の$|C(x)|$は全て$|G|$の約数，即ち$p$べきである．よって
$$(pべき)=1+(pの倍数)$$
という等式が成り立ち，矛盾する．(証明終)