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大学数学基礎解説
文献あり

代数学をやるそのn 問題のまとめ

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はじめに

代数学をやるのまとめページです.任意の1以上の整数nに対してある解説ページP(n)が存在して,各問題nの後ろにP(n)へのリンクが貼られています.

(※長いこと更新が止まっていますが,これから先も更新されることはない予定です.お読み頂いた方々,ありがとうございます.)

問題たち1から10

G(有限群とは限らない)において,Gの中心Zの指数がpn(pは素数,n1以上の整数)であるとする.Gの部分群Hの指数がpであれば,HGの正規部分群であることを示せ.(お茶の水女子大)

問題1のページ

位数5593の群Gは巡回群であることを示せ.

問題2のページ

非可換群Gが指数n(2n4)の部分群Hを持つとき,Gは単純群でないことを示せ.

問題3のページ

nそ正の整数,pを素数とし,
G=(Z/pZ)n=Z/pZ××Z/pZn
とおく.このとき,Gの位数pの部分群の個数と,Gの位数pn1の部分群の個数を求めよ.

問題4のページ

Fを体とする.多項式Xa+YbF[X,Y]が既約となるためのa,bに関する必要十分条件を,FC,R,Qの各場合について求めよ.

問題5のページ

Gをアーベル群,HGの指数有限の部分群,φ:HC×を群準同型とする.このとき,準同型f:GC×Hへの制限f|Hφに等しいものの個数は(G:H)であることを示せ.(京大)

問題6のページ

以下の問に答えよ.(東大)
(1) Kを体とする.K上の2変数多項式環K[X,Y]の極大イデアルは2つの元で生成されることを示せ.
(2) 有理整数環Z上の2変数多項式環Z[X,Y]の極大イデアルは3つの元で生成されることを示せ.

問題7のページ

n2n10を満たす整数とする.各nについて有理数体Q上のn次ガロア拡大の例を少なくとも1つ挙げよ.

問題8のページ

Fが可換体,aFb=1+a2FFの中に平方根を持たないとする.Xに関する方程式X42bX2+a2b=0の一根をFにつけて得られる体をKとするとき,次の問に答えよ.(東大)
(1) KF上のガロア拡大であることを証明せよ.
(2) K/Fのガロア群を求めよ.
(3) KFの中間体で,K,F以外のものを求めよ.

問題9のページ

f(x)は有理数体Qに係数を持つ2次式(最高次の係数)であって,8次式
F(x)=f(f(f(x)))x
は重根を持たないとする.このとき,次の問に答えよ.(東大)

  1. af(a)F(x)の根の置換を引き起こすことを示せ.
  2. QまたはQの適当な2次拡大体において,F(x)は一つの2次式と二つの3次式の積に分解することを示せ.

問題10のページ

問題たち11から20

元数qの有限体K上の2次正則行列全体の群GL(2,K)及びK上の2変数多項式f=f(x,y)に対し,
Gf={(abcd)GL(2,K)|f(ax+by,cx+dy)=f(x,y)}
とおく.次の各fに対して,群Gf及びその位数を求めよ.(東大)

  1. xyqxqy
  2. x2+y2
  3. x3+y3

問題11のページ

K上の2変数多項式f(x,y),g(x,y)が共通因子を持たないならば,集合
C:={(a,b)K×K|f(a,b)=g(a,b)=0}
は高々有限個の元からなることを示せ.ここで,高々有限個の元からなるとは,空集合であるか,もしくは有限集合であるかを意味することとする.(東京女子大)

問題12のページ

問題13は,可換環のイデアルについての問題5つからなります.全部書くと長くなっちゃいますので,具体的な内容はリンク先でお確かめください.

問題13のページ

Rは2個以上の元を持ち,0R以外に左イデアルを持たない環とする.但し,Rは可換とは限らず,また単位元を持つとも限らない.このとき,Rはどのような環か.(お茶の水女子大)

問題14のページ

Rを単位的とも可換とも限らない環とする.任意のxRx2=xを満たすとき,Rは可換であることを示せ.(東海大)

問題15のページ

有理数体上の一変数多項式環Q[X]のイデアル(Xn)による剰余環K=Q[X]/(Xn)=Q[ξ]を考える(nは正の整数,ξXの像).Kの環としての自己同型全てからなる集合をGとする.Gは写像の合成を積として群となるが,このとき次の命題(1)~(3)はそれぞれ正しいか.証明,あるいは反例を与えよ(答えはnによって異なるかもしれない.各nについて答えよ).(京大)

  1. Gは可換群である.
  2. Gの位数はnである.
  3. {xK|σ(x)=x(σG)}Qである.

問題16のページ

単位元を持つ可換環Rにおいて,素イデアルが全て単項であるとき,Rの全てのイデアルが単項であることを,次の二段階に分けて証明せよ.(阪大)

  1. Rが単項でないイデアルを持つとすれば,単項でないイデアル全体Iは極大元を持つ.
  2. Iの極大元は素イデアルである.

問題17のページ

実数係数の多項式f(X)=a0+a1X++anXn(n1)が次の性質を持てば,(n!)ai(i=0,1,,n)は全て有理整数であることを証明せよ.(東北大)

(性質):適当な正の整数Nを取れば,N以上の正の整数m全てについてf(m)は有理整数である.

問題18のページ

有理整数a,b,cについて,a>0,b0(moda)ならば,f(n)=a2n2+bn+cが平方数となるような正の整数nは高々有限個であることを証明せよ.(名大)

問題19のページ

Qは有理数体,Rは実数体であるとき,
R={(ab0d)|aQ,b,dR}
について次の問に答えよ.(岡山大)

  1. Rは行列の積に関し環をなすことを証明せよ.
  2. Rは右イデアルについて極小条件(降鎖律)を満たすことを証明せよ.
  3. Rは左イデアルについては極小条件を満たさないことを示せ.

問題20のページ

問題たち21から先

Rは単位元を含む可換環,Mは有限生成R加群でM0を満たすとする.Rの任意の0でないイデアルIに対してIM=Mが成り立つとき,Rは体であることを証明せよ.(岡山大)

問題21のページ

参考文献

[1]
永田雅宜, 復刻版 大学院への代数学演習, 現代数学社, 2021
投稿日:2022626
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