代数学をやるそのn　問題のまとめ

群$G$(有限群とは限らない)において，$G$の中心$Z$の指数が$p^n$($p$は素数，$n$は$1$以上の整数)であるとする．$G$の部分群$H$の指数が$p$であれば，$H$は$G$の正規部分群であることを示せ．(お茶の水女子大)

位数$5593$の群$G$は巡回群であることを示せ．

非可換群$G$が指数$n$($2 \leq n \leq 4$)の部分群$H$を持つとき，$G$は単純群でないことを示せ．

$n$そ正の整数，$p$を素数とし，
$$G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n=\underbrace{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}_{n個}$$
とおく．このとき，$G$の位数$p$の部分群の個数と，$G$の位数$p^{n-1}$の部分群の個数を求めよ．

$F$を体とする．多項式$X^a+Y^b \in F[X,Y]$が既約となるための$a,b$に関する必要十分条件を，$F$が$\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q}$の各場合について求めよ．

$G$をアーベル群，$H$を$G$の指数有限の部分群，$\varphi : H \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$を群準同型とする．このとき，準同型$f : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$で$H$への制限$f|_H$が$\varphi$に等しいものの個数は$(G:H)$であることを示せ．(京大)

以下の問に答えよ．(東大)
(1) $K$を体とする．$K$上の2変数多項式環$K[X,Y]$の極大イデアルは2つの元で生成されることを示せ．
(2) 有理整数環$\mathbb{Z}$上の2変数多項式環$\mathbb{Z}[X,Y]$の極大イデアルは3つの元で生成されることを示せ．

$n$は$2 \leq n \leq 10$を満たす整数とする．各$n$について有理数体$\mathbb{Q}$上の$n$次ガロア拡大の例を少なくとも1つ挙げよ．

$F$が可換体，$a \in F$で$b=1+a^2 \in F$は$F$の中に平方根を持たないとする．$X$に関する方程式$X^4-2bX^2+a^2b=0$の一根を$F$につけて得られる体を$K$とするとき，次の問に答えよ．(東大)
(1) $K$は$F$上のガロア拡大であることを証明せよ．
(2) $K/F$のガロア群を求めよ．
(3) $K$と$F$の中間体で，$K,F$以外のものを求めよ．

$f(x)$は有理数体$\mathbb{Q}$に係数を持つ$2$次式(最高次の係数)であって，$8$次式
$$F(x)=f(f(f(x)))-x$$
は重根を持たないとする．このとき，次の問に答えよ．(東大)

1. $a \longmapsto f(a)$は$F(x)$の根の置換を引き起こすことを示せ．
2. $\mathbb{Q}$または$\mathbb{Q}$の適当な$2$次拡大体において，$F(x)$は一つの$2$次式と二つの$3$次式の積に分解することを示せ．

元数$q$の有限体$K$上の$2$次正則行列全体の群${\rm GL}(2,K)$及び$K$上の$2$変数多項式$f=f(x,y)$に対し，
$$G_f=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in {\rm GL}(2,K) \, \middle| \, f(ax+by, cx+dy)=f(x,y) \right\}$$
とおく．次の各$f$に対して，群$G_f$及びその位数を求めよ．(東大)

1. $xy^q-x^qy$
2. $x^2+y^2$
3. $x^3+y^3$

体$K$上の2変数多項式$f(x,y),g(x,y)$が共通因子を持たないならば，集合
$$C:=\{(a,b) \in K \times K \, | \, f(a,b)=g(a,b)=0\}$$
は高々有限個の元からなることを示せ．ここで，高々有限個の元からなるとは，空集合であるか，もしくは有限集合であるかを意味することとする．(東京女子大)

問題13は，可換環のイデアルについての問題5つからなります．全部書くと長くなっちゃいますので，具体的な内容はリンク先でお確かめください．

$R$は2個以上の元を持ち，$0$と$R$以外に左イデアルを持たない環とする．但し，$R$は可換とは限らず，また単位元を持つとも限らない．このとき，$R$はどのような環か．(お茶の水女子大)

$R$を単位的とも可換とも限らない環とする．任意の$x \in R$が$x^2=x$を満たすとき，$R$は可換であることを示せ．(東海大)

有理数体上の一変数多項式環$\mathbb{Q}[X]$のイデアル$(X^n)$による剰余環$K=\mathbb{Q}[X]/(X^n)=\mathbb{Q}[\xi]$を考える($n$は正の整数，$\xi$は$X$の像)．$K$の環としての自己同型全てからなる集合を$G$とする．$G$は写像の合成を積として群となるが，このとき次の命題(1)~(3)はそれぞれ正しいか．証明，あるいは反例を与えよ(答えは$n$によって異なるかもしれない．各$n$について答えよ)．(京大)

1. $G$は可換群である．
2. $G$の位数は$n$である．
3. $\{x \in K \, | \, \sigma(x)=x \, ({}^{\forall}\sigma \in G)\}$は$\mathbb{Q}$である．

単位元を持つ可換環$R$において，素イデアルが全て単項であるとき，$R$の全てのイデアルが単項であることを，次の二段階に分けて証明せよ．(阪大)

1. $R$が単項でないイデアルを持つとすれば，単項でないイデアル全体$I$は極大元を持つ．
2. $I$の極大元は素イデアルである．

実数係数の多項式$f(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n\,(n \geq 1)$が次の性質を持てば，$(n!)a_i \, (i=0,1,\cdots, n)$は全て有理整数であることを証明せよ．(東北大)

(性質)：適当な正の整数$N$を取れば，$N$以上の正の整数$m$全てについて$f(m)$は有理整数である．

有理整数$a,b,c$について，$a>0,\, b \not\equiv 0 \, ({\rm mod}\, a)$ならば，$f(n)=a^2n^2+bn+c$が平方数となるような正の整数$n$は高々有限個であることを証明せよ．(名大)

$\mathbb{Q}$は有理数体，$\mathbb{R}$は実数体であるとき，
$$R=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array}\right) \, \middle| \, a \in \mathbb{Q}, \, b,d \in \mathbb{R} \right\}$$
について次の問に答えよ．(岡山大)

1. $R$は行列の積に関し環をなすことを証明せよ．
2. $R$は右イデアルについて極小条件(降鎖律)を満たすことを証明せよ．
3. $R$は左イデアルについては極小条件を満たさないことを示せ．

$R$は単位元を含む可換環，$M$は有限生成$R$加群で$M \neq 0$を満たすとする．$R$の任意の$0$でないイデアル$I$に対して$IM=M$が成り立つとき，$R$は体であることを証明せよ．(岡山大)