はじめに
今回は,可換環のイデアルについての問題を5つ持ってきました.どれも小問と言っても良いぐらいの難易度だと思います.
※代数学をやるそのうんたらの他の問題たちが
こちらのまとめページ
から見れます.良ければリンクをご利用ください.
更新履歴
(2022/8/3):問題1(1)の解答を修正しました.
問題と解答
は単位元を持つとは限らない可換環,をそのイデアルとする.次の問に答えよ.(新潟大)
- が体であるためには,(i)が極大イデアル,(ii) の2条件が必要十分であることを示せ.
- が単位元を持つならば,(1)における(i),(ii)について(i)ならば(ii)が成り立つことを示せ.
感想
パッと問題を見たときは何を当たり前なことを…と思いましたが,よくよく問題を見たらが単位元を持つとは仮定されていないから問題として成り立っているのだなと思いました.十分性を示すときにの中で単位元を作り出せるかが一番のポイントですね.
剰余環の元は上にバーを付けて表すことにします.
1 間違っている方
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まず,が体であるとする.このとき,は自明でないイデアルを持たないから,は確かに極大イデアルである.がを満たすとする.に移って考えるととなる.は体であるから,となる.即ちである.
逆に条件(i),(ii)が成り立つとする.が単位元を持てば,条件(i)よりが体であることが従う.よって示すべきはが単位元を持つことである.
あるを取る.であるから,が生成するのイデアルは零イデアルでない(ここが間違いである.単位元を持たない環においては零でない元が生成するイデアルが零イデアルとなることがある.例えばにおけるが生成するイデアル等.そもそもこの解答が正しいならば条件(ii)を用いる場面が存在しないので違和感を感じるべきでした…).更に,がの極大イデアルであることから,が成り立つ.これより,でないあるが存在して,が成り立つ.さて,任意のに対して,あるが存在してが成り立つから,
が成り立つ.が可換環であることからも成り立つ.即ちは単位元である.(証明終)
1 修正された方
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まず,が体であるとする.このとき,は自明でないイデアルを持たないから,は確かに極大イデアルである.がを満たすとする.に移って考えるととなる.は体であるから,となる.即ちである.
逆に条件(i),(ii)が成り立つとする.が単位元を持てば,条件(i)よりが体であることが従う.よって示すべきはが単位元を持つことである.
とする.が極大イデアルであることから,が生成するのイデアルは零イデアルであるか自身であるかのいずれかである.仮に零イデアルであるとするとよりが成り立つ.すると条件(ii)よりとなり,これはを意味する.対偶を取るとならばである.よって任意のを取ると,よりである.これより,でないあるが存在して,が成り立つ.さて,任意のに対して,あるが存在してが成り立つから,
が成り立つ.が可換環であることからも成り立つ.即ちは単位元である.(証明終)
2
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が単位元を持つとき,条件(i)のみでが体となる.よってに対してならが成り立つ.即ち条件(ii)が成り立つ.(証明終)
単位元を持つ可換環において,でない全てのイデアルが素イデアルであれば,は体であることを示せ.(阪大)
感想
当初は全てのイデアルの和とか色々難しく考えていましたが,もっと素朴に解けると分かってちょっと悲しかったです.また,この問題の逆は明らかに成り立つので,
となります.
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仮定より零イデアルが素イデアルであるから,は整域である.が単元でないと仮定する.このとき,が生成するイデアルはに等しくないから,仮定よりは素イデアルである.であるから,が成り立つ.よってあるによってと書けるが,これを変形するととなる.は整域でであるからとなるが,これはが単元でないことに矛盾する.従っての任意の元は単元である.即ちは体である.(証明終)
が(単位元を持つとは限らない)整域,が単項生成な素イデアルであれば,任意のに対してが準素イデアルであることを示せ.(学習院大)
感想
準素イデアルであることをその定義に従って示すだけです.が単項イデアルであることがありがたいですね.
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が零イデアルであるときは明らかに主張が成り立つ.以下は零イデアルでないとする.の生成元をとする.主張が成り立つことをに関する帰納法で示す.素イデアルは準素イデアルであるからのときは主張は明らかに成り立つ.
のとき成り立つとし,とする.はかつを満たすとする.このときを満たすような正の整数が存在することを示せば良い.であるからである.帰納法の仮定よりは準素イデアルであるから,(i),もしくは(ii)となる正の整数が存在する.
(i):であるとする.このときと書ける.とおくと,より
となる.よりとなる.とするととなって仮定に矛盾する.よってであり,このときが成り立つ.
(ii):となる正の整数が存在するとする.このとき,が成り立つ(よりに注意).(証明終)
は有理数体の部分環で有理整数環を含むものとする.次の問に答えよ.(京大)
- に対してはのイデアルであることを示し,の生成元を求めよ.
- で生成されるのイデアルはと一致することを示せ.
感想
京大だからと身構えて取り掛かったらめちゃくちゃあっさり解けてしまって,逆に疑心暗鬼になりそうな問題ですね.
1
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であるなら,
となるのでである.また,のとき任意のに対して
が成り立つ.以上よりはのイデアルとなる.
を既約分数で表すととなるとする.このとき,は明らかである.逆の包含を示す.は単項イデアル整域であるから,あるが存在してと書ける.と表すと,が成り立つ.は互いに素であるから,はで割り切れる.即ちである.以上よりとなるので,を既約分数で表したときの分母が求める生成元である.(証明終)
2
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で生成されるのイデアルをと表す.を既約分数で表すととなるとすると,(1)の結果からである.このとき,
が成り立つ.は互いに素であるから,ある整数が存在してを満たす.すると,であることとがを含むことからとなる.従ってである.(証明終)
は以外の零因子を持たない,2個以上の有限個の元からなる可換環であるとする.但し,単位元の存在は仮定しない.次の問に答えよ.(東海大)
- は単位元を持つことを証明せよ.
- は体であることを証明せよ.
感想
単位元の存在を仮定していないのが問題1を彷彿とさせます.単位元の存在を示す際にはの有限性が大事になります.
1
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でない任意の元を取り,写像
を考える.がを満たすとすると,である.は零因子でないから,即ちが成り立つ.即ちは単射である.は有限集合であるからは全単射となる.従って,あるが存在してが成り立つ.任意のを取る.は全射であるから,あるが存在してと書ける.すると,
が成り立つ.は可換環であるからも成り立つ.即ちは単位元である.(証明終)
2
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(1)で定義したは全射であるから,となるが存在する.の可換性によりも成り立つ.即ち,任意のは可逆であるから,は体である.(証明終)
最後までお読み頂きありがとうございました.