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大学数学基礎解説
文献あり

代数学をやるその13 可換環のイデアル小問集合

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はじめに

今回は,可換環のイデアルについての問題を5つ持ってきました.どれも小問と言っても良いぐらいの難易度だと思います.

※代数学をやるそのうんたらの他の問題たちが こちらのまとめページ から見れます.良ければリンクをご利用ください.

更新履歴

(2022/8/3):問題1(1)の解答を修正しました.

問題と解答

R単位元を持つとは限らない可換環,Iをそのイデアルとする.次の問に答えよ.(新潟大)

  1. R/Iが体であるためには,(i)Iが極大イデアル,(ii)x2IxI の2条件が必要十分であることを示せ.
  2. Rが単位元を持つならば,(1)における(i),(ii)について(i)ならば(ii)が成り立つことを示せ.

感想

パッと問題を見たときは何を当たり前なことを…と思いましたが,よくよく問題を見たらRが単位元を持つとは仮定されていないから問題として成り立っているのだなと思いました.十分性を示すときにR/Iの中で単位元を作り出せるかが一番のポイントですね.

剰余環の元は上にバーを付けて表すことにします.

1 間違っている方
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まず,R/Iが体であるとする.このとき,R/Iは自明でないイデアルを持たないから,Iは確かに極大イデアルである.xRx2Iを満たすとする.R/Iに移って考えるとx2=0となる.R/Iは体であるから,x=0となる.即ちxIである.

逆に条件(i),(ii)が成り立つとする.R/I単位元を持てば,条件(i)よりR/Iが体であることが従う.よって示すべきはR/Iが単位元を持つことである.
あるxRIを取る.x0であるから,xが生成するR/Iのイデアル(x)は零イデアルでない(ここが間違いである.単位元を持たない環においては零でない元が生成するイデアルが零イデアルとなることがある.例えば2Z/4Zにおける2が生成するイデアル等.そもそもこの解答が正しいならば条件(ii)を用いる場面が存在しないので違和感を感じるべきでした…).更に,IRの極大イデアルであることから,(x)=R/Iが成り立つ.これより,0でないあるeR/Iが存在して,xe=xが成り立つ.さて,任意のyR/Iに対して,あるzR/Iが存在してy=zxが成り立つから,
ye=zxe=zx=y
が成り立つ.Rが可換環であることからey=yも成り立つ.即ちeR/Iは単位元である.(証明終)

1 修正された方
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まず,R/Iが体であるとする.このとき,R/Iは自明でないイデアルを持たないから,Iは確かに極大イデアルである.xRx2Iを満たすとする.R/Iに移って考えるとx2=0となる.R/Iは体であるから,x=0となる.即ちxIである.

逆に条件(i),(ii)が成り立つとする.R/I単位元を持てば,条件(i)よりR/Iが体であることが従う.よって示すべきはR/Iが単位元を持つことである.
xRとする.Iが極大イデアルであることから,xR/Iが生成するR/Iのイデアル(x)は零イデアルであるかR/I自身であるかのいずれかである.仮に零イデアルであるとするとx2=0よりx2Iが成り立つ.すると条件(ii)よりxIとなり,これはx=0を意味する.対偶を取るとx0ならば(x)=R/Iである.よって任意のxRIを取ると,x0より(x)=R/Iである.これより,0でないあるeR/Iが存在して,xe=xが成り立つ.さて,任意のyR/Iに対して,あるzR/Iが存在してy=zxが成り立つから,
ye=zxe=zx=y
が成り立つ.Rが可換環であることからey=yも成り立つ.即ちeR/Iは単位元である.(証明終)

2
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Rが単位元を持つとき,条件(i)のみでR/Iが体となる.よってxR/Iに対してx2=0ならx=0が成り立つ.即ち条件(ii)が成り立つ.(証明終)

単位元を持つ可換環Rにおいて,Rでない全てのイデアルが素イデアルであれば,Rは体であることを示せ.(阪大)

感想

当初は全てのイデアルの和とか色々難しく考えていましたが,もっと素朴に解けると分かってちょっと悲しかったです.また,この問題の逆は明らかに成り立つので,
RR
となります.

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仮定より零イデアル(0)Rが素イデアルであるから,Rは整域である.xR{0}が単元でないと仮定する.このとき,x2が生成するイデアル(x2)Rに等しくないから,仮定より(x2)は素イデアルである.xx=x2(x2)であるから,x(x2)が成り立つ.よってあるaRによってx=ax2と書けるが,これを変形するとx(ax1)=0となる.Rは整域でx0であるからax=1となるが,これはxが単元でないことに矛盾する.従ってR{0}の任意の元は単元である.即ちRは体である.(証明終)

Rが(単位元を持つとは限らない)整域,Pが単項生成な素イデアルであれば,任意のn1に対してPnが準素イデアルであることを示せ.(学習院大)

感想

準素イデアルであることをその定義に従って示すだけです.Pが単項イデアルであることがありがたいですね.

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Pが零イデアルであるときは明らかに主張が成り立つ.以下Pは零イデアルでないとする.Pの生成元をp(0)とする.主張が成り立つことをnに関する帰納法で示す.素イデアルは準素イデアルであるからn=1のときは主張は明らかに成り立つ.
n=k(1)のとき成り立つとし,n=k+1とする.x,yRxPk+1かつxyPk+1を満たすとする.このときylPk+1を満たすような正の整数lが存在することを示せば良い.Pk+1PkであるからxyPkである.帰納法の仮定よりPkは準素イデアルであるから,(i)xPk,もしくは(ii)ylPkとなる正の整数lが存在する.

(i):xPkであるとする.このときx=xpk(xR)と書ける.xy=apk+1(aR)とおくと,xpky=apk+1より
(xyap)pk=0
となる.p0よりxy=apPとなる.xPとするとx=xpkPk+1となって仮定に矛盾する.よってyPであり,このときyk+1Pk+1が成り立つ.

(ii):ylPkとなる正の整数lが存在するとする.このとき,y2lP2kPk+1が成り立つ(k1より2kk+1に注意).(証明終)

Rは有理数体Qの部分環で有理整数環Zを含むものとする.次の問に答えよ.(京大)

  1. αRに対してI(α)={xZ|xαZ}Zのイデアルであることを示し,I(α)の生成元を求めよ.
  2. I(α)で生成されるRのイデアルはRと一致することを示せ.

感想

京大だからと身構えて取り掛かったらめちゃくちゃあっさり解けてしまって,逆に疑心暗鬼になりそうな問題ですね.

1
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x,yI(α)であるなら,
(xy)α=xαyαZ
となるのでxyI(α)である.また,xI(α)のとき任意のaZに対して
(ax)α=a(xα)Z
が成り立つ.以上よりI(α)Zのイデアルとなる.

αを既約分数で表すとα=γβとなるとする.このとき,(β)I(α)は明らかである.逆の包含を示す.Zは単項イデアル整域であるから,あるmZが存在してI(α)=(m)と書ける.mγβ=nZと表すと,mγ=nβが成り立つ.β,γは互いに素であるから,mβで割り切れる.即ちI(α)=(m)(β)である.以上よりI(α)=(β)となるので,αを既約分数で表したときの分母βが求める生成元である.(証明終)

2
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I(α)で生成されるRのイデアルをI(α)と表す.αを既約分数で表すとα=γβとなるとすると,(1)の結果からI(α)=βである.このとき,
γ=γββI(α)
が成り立つ.β,γは互いに素であるから,ある整数x,yが存在してβx+γy=1を満たす.すると,β,γI(α)であることとRZを含むことから1=βx+γyI(α)となる.従ってI(α)=Rである.(証明終)

R0以外の零因子を持たない,2個以上の有限個の元からなる可換環であるとする.但し,単位元の存在は仮定しない.次の問に答えよ.(東海大)

  1. Rは単位元を持つことを証明せよ.
  2. Rは体であることを証明せよ.

感想

単位元の存在を仮定していないのが問題1を彷彿とさせます.単位元の存在を示す際にはRの有限性が大事になります.

1
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0でない任意の元rRを取り,写像
φr:RxrxR
を考える.x,yRrx=ryを満たすとすると,r(xy)=0である.rは零因子でないから,xy=0即ちx=yが成り立つ.即ちφrは単射である.Rは有限集合であるからφr全単射となる.従って,あるeRが存在してre=φr(e)=rが成り立つ.任意のxRを取る.φrは全射であるから,あるyRが存在してx=ryと書ける.すると,
xe=rye=rey=ry=x
が成り立つ.Rは可換環であるからex=xも成り立つ.即ちeRは単位元である.(証明終)

2
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(1)で定義したφrは全射であるから,rr=φr(r)=eとなるrRが存在する.Rの可換性によりrr=eも成り立つ.即ち,任意のrR{0}は可逆であるから,Rは体である.(証明終)

最後までお読み頂きありがとうございました.

参考文献

[1]
永田雅宜, 復刻版 大学院への代数学演習, 現代数学社, 2021
投稿日:2022711
OptHub AI Competition

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素朴な問題が特に好きです.

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