代数学をやるその2　位数5593の群は巡回群

$e$で群$G$の単位元を表す．まず$5593$を素因数分解すると
$$5593=7\cdot 17\cdot 47$$
となる．よってSylowの定理より，$G$にはSylow7部分群$N_7$とSylow17部分群$N_{17}$とSylow47部分群$N_{47}$が存在する．Sylow17部分群の個数は$|G|=5593$の約数で$17$で割った余りが$1$となる整数であるが，そのような整数は$1$しか存在しない．これより$N_{17}$は$G$の中で正規となる．同様に，$N_{47}$も$G$の中で正規となる．よって$N_{17}{N}_{47}$は$G$の正規部分群である．$17$と$47$は互いに素なので$N_{17}\cap N_{47}=\{e\}$が成り立つ．従って，群論の一般論から
$$N_{17}{N}_{47}\cong N_{17}\times N_{47}\cong \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z}$$
が成り立つ．ここで$N_7$も$G$の正規部分群であることが示されれば，$N_7{N}_{17}{N}_{47}$は$G$の部分群で，$7$と$17\cdot 47$が互いに素であることから，
$$N_7{N}_{17}{N}_{47}\cong N_7\times (N_{17}{N}_{47})\cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/5593\mathbb{Z}$$
が成り立つ．すると，$|N_7{N}_{17}{N}_{47}|=5593=|G|$であることから$G=N_7{N}_{17}{N}_{47}$となるので証明が完了する．よって示すべきは$N_7$が$G$の正規部分群であることである．

まず，$N_{17}$が$G$の中で正規であることから，$N_7{N}_{17}$は$G$の部分群である．$7$と$17$が互いに素であることから$N_7{N}_{17}$の位数は$7\cdot 17$である．これより，$N_7$は$N_7{N}_{17}$のSylow7部分群であり，その個数は$7\cdot 17$の約数で$7$で割った余りが$1$である整数となる．そのような整数は$1$しか存在しないので，$N_7$は$N_7{N}_{17}$において正規である．$N_{17}$は$N_7{N}_{17}$においても正規であるから，
$$N_7{N}_{17}\cong N_7\times N_{17}\cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$$
が成り立つ．即ち，$N_7{N}_{17}$は可換部分群である．すると，任意の$h\in N_{17}$に対して
$$h{N}_7{h}^{-1}=N_7$$
が成り立つ．これより，$N_7$への$G$の共役作用(ここが間違っている．$N_7$と共役な部分群が$N_7$のみかどうか分からないのでそのような作用はまだ定義できない)は，$N_7$への$G/N_{17}$の共役作用を引き起こす．即ち，$N_7$と$G$において共役な部分群は$N_7$への$G/N_{17}$の共役作用による軌道の元で尽くされる．その軌道の元の個数は$|G/N_{17}|=7\cdot 47$の約数であるが，そもそも$G$におけるSylowの定理より$N_7$と共役な部分群の個数は$1$もしくは$17\cdot 47=799(\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$であったので，$1$しかとり得ない．従って$N_7$も$G$の正規部分群であり，題意は示された．(証明終)

$e$で群$G$の単位元を表す．まず$5593$を素因数分解すると
$$5593=7\cdot 17\cdot 47$$
となる．よってSylowの定理より，$G$にはSylow7部分群$N_7$とSylow17部分群$N_{17}$とSylow47部分群$N_{47}$が存在する．Sylow17部分群の個数は$|G|=5593$の約数で$17$で割った余りが$1$となる整数であるが，そのような整数は$1$しか存在しない．これより$N_{17}$は$G$の中で正規となる．同様に，$N_{47}$も$G$の中で正規となる．よって$N_{17}{N}_{47}$は$G$の正規部分群である．$17$と$47$は互いに素なので$N_{17}\cap N_{47}=\{e\}$が成り立つ．従って，群論の一般論から
$$N_{17}{N}_{47}\cong N_{17}\times N_{47}\cong \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z}$$
が成り立つ．ここで$N_7$も$G$の正規部分群であることが示されれば，$N_7{N}_{17}{N}_{47}$は$G$の部分群で，$7$と$17\cdot 47$が互いに素であることから，
$$N_7{N}_{17}{N}_{47}\cong N_7\times (N_{17}{N}_{47})\cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/5593\mathbb{Z}$$
が成り立つ．すると，$|N_7{N}_{17}{N}_{47}|=5593=|G|$であることから$G=N_7{N}_{17}{N}_{47}$となるので証明が完了する．よって示すべきは$N_7$が$G$の正規部分群であることである．

まず，$N_{17}$が$G$の中で正規であることから，$N_7{N}_{17}$は$G$の部分群である．$7$と$17$が互いに素であることから$N_7{N}_{17}$の位数は$7\cdot 17$である．これより，$N_7$は$N_7{N}_{17}$のSylow7部分群であり，その個数は$7\cdot 17$の約数で$7$で割った余りが$1$である整数となる．そのような整数は$1$しか存在しないので，$N_7$は$N_7{N}_{17}$において正規である．よって
$$\begin{array}{}\text{(1)}& (N_7{N}_{17}{)}^{-1}\cdot N_7\cdot N_7{N}_{17}=N_7\end{array}$$
が$N_7{N}_{17}$において成り立つ．$G$の演算と$N_7{N}_{17}$における演算は一致しているから，これは$G$においても成り立つ．
$G$のSylow7部分群全てからなる集合を$X$とし，$G$の$X$への共役作用を考える．Sylowの定理から全てのSylow7部分群は互いに共役であるので，この作用は推移的であり，$H_7$の軌道が$X$全体に一致する．よって$X$の元の個数は$G/\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(H_{17})$($\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(H_7)$は$H_7$の固定部分群)の位数に等しい．ところで，式(1)から$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(H_7)$は$N_7{N}_{17}$を含む．すると，
$$|G/H_7{H}_{17}|=|G/\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(H_7)|\cdot |\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(H_7)/H_7{H}_{17}|$$
となる．よって$G/\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(H_7)$の位数，即ち$X$の元の個数は$|G/H_7{H}_{17}|=47$の約数である．$G$におけるSylowの定理より$X$の元の個数は$1$もしくは$17\cdot 47=799(\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$であるから，その値は$1$しか取り得ない．従って$N_7$も$G$の正規部分群であり，題意は示された．(証明終)

任意の$h,h^{\prime }\in H,n,n^{\prime }\in N$に対して
$$(hn{)}^{-1}{h}^{\prime }{n}^{\prime }=n^{-1}{h}^{-1}{h}^{\prime }{n}^{\prime }=(h^{\prime -1}h{)}^{-1}\cdot (h^{\prime -1}h)n^{-1}(h^{\prime -1}h{)}^{-1}{n}^{\prime }\in HN$$
が成り立つ．よって$HN$は$G$の部分群である．$H$も正規であるとすると，任意の$g\in G$と任意の$hn\in HN$に対して
$$g(hn)g^{-1}=(gh{g}^{-1})(gn{g}^{-1})\in HN$$
$$g^{-1}(hn)g=(g^{-1}hg)(g^{-1}ng)\in HN$$
が成り立つので，$HN$は$G$の正規部分群である．(証明終)

補題1より$HN$は$G$の(正規)部分群である．任意の$h\in H,n\in N$に対して
$$h^{-1}{n}^{-1}hn=h^{-1}\cdot (n^{-1}hn)\in H$$
$$h^{-1}{n}^{-1}hn=(h^{-1}{n}^{-1}h)\cdot n\in N$$
が成り立つので，$h^{-1}{n}^{-1}hn\in H\cap N$である．これは$HN/(H\cap N)$では$\overline{hn}=\overline{nh}$を意味する．
写像$\phi :H\times N\to HN/(H\cap N)$を$h\in H,n\in N$に対して$\phi (h,n)=\overline{hn}$を満たすものとして定める．すると，任意の$h,h^{\prime }\in H,n,n^{\prime }\in N$に対して
$$\phi ((h,n)(h^{\prime },n^{\prime }))=\phi (h{h}^{\prime },n{n}^{\prime })=\overline{h{h}^{\prime }n{n}^{\prime }}=\overline{hn{h}^{\prime }{n}^{\prime }}=\phi (h,n)\phi (h^{\prime },n^{\prime })$$
が成り立つので，$\phi$は群準同型である．その定義から明らかに$\phi$は全射．$h\in H,n\in N$が$h,n\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$を満たすとすると，$hn\in H\cap N$となる．よって
$$h=(hn)n^{-1}\in N,n=h^{-1}(hn)\in H$$
となるので，$h,n\in H\cap N$である．$h,n\in H\cap N$なら$(h,n)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$は明らかであるから，
$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =(H\cap N)\times (H\cap N)$$
となる．よって準同型定理より同型
$$HN/(H\cap N)\cong (H\times N)/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \cong \{H/(H\cap N)\}\times \{N/(H\cap N)\}$$
を得る．(証明終)

$N$は部分群$HN$の中でも正規であることに注意する．$H$から$HN/N$への自然な準同型を$\pi$とすると，$\pi$は全射でその核は$H\cap N$である．よって，準同型定理より題意が従う．後半はこの同型から明らかである．(証明終)