代数学をやるその2　位数5593の群は巡回群

$e$で群$G$の単位元を表す．まず$5593$を素因数分解すると
$$5593 = 7 \cdot 17 \cdot 47$$
となる．よってSylowの定理より，$G$にはSylow7部分群$N_7$とSylow17部分群$N_{17}$とSylow47部分群$N_{47}$が存在する．Sylow17部分群の個数は$|G|=5593$の約数で$17$で割った余りが$1$となる整数であるが，そのような整数は$1$しか存在しない．これより$N_{17}$は$G$の中で正規となる．同様に，$N_{47}$も$G$の中で正規となる．よって$N_{17}N_{47}$は$G$の正規部分群である．$17$と$47$は互いに素なので$N_{17} \cap N_{47}=\{e\}$が成り立つ．従って，群論の一般論から
$$N_{17}N_{47} \cong N_{17} \times N_{47} \cong \mathbb{Z}/17\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z}$$
が成り立つ．ここで$N_7$も$G$の正規部分群であることが示されれば，$N_7N_{17}N_{47}$は$G$の部分群で，$7$と$17 \cdot 47$が互いに素であることから，
$$N_{7}N_{17}N_{47} \cong N_7 \times (N_{17}N_{47}) \cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/17\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/5593\mathbb{Z}$$
が成り立つ．すると，$|N_7N_{17}N_{47}|=5593=|G|$であることから$G=N_7N_{17}N_{47}$となるので証明が完了する．よって示すべきは$N_7$が$G$の正規部分群であることである．

まず，$N_{17}$が$G$の中で正規であることから，$N_7N_{17}$は$G$の部分群である．$7$と$17$が互いに素であることから$N_7N_{17}$の位数は$7 \cdot 17$である．これより，$N_7$は$N_7N_{17}$のSylow7部分群であり，その個数は$7 \cdot 17$の約数で$7$で割った余りが$1$である整数となる．そのような整数は$1$しか存在しないので，$N_7$は$N_7N_{17}$において正規である．$N_{17}$は$N_{7}N_{17}$においても正規であるから，
$$N_7N_{17} \cong N_7 \times N_{17} \cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$$
が成り立つ．即ち，$N_7N_{17}$は可換部分群である．すると，任意の$h \in N_{17}$に対して
$$hN_7h^{-1}=N_7$$
が成り立つ．これより，$N_7$への$G$の共役作用(ここが間違っている．$N_7$と共役な部分群が$N_7$のみかどうか分からないのでそのような作用はまだ定義できない)は，$N_7$への$G/N_{17}$の共役作用を引き起こす．即ち，$N_7$と$G$において共役な部分群は$N_7$への$G/N_{17}$の共役作用による軌道の元で尽くされる．その軌道の元の個数は$|G/N_{17}|=7 \cdot 47$の約数であるが，そもそも$G$におけるSylowの定理より$N_7$と共役な部分群の個数は$1$もしくは$17 \cdot 47=799 \, (\equiv 1 \, {\rm mod}\, 7)$であったので，$1$しかとり得ない．従って$N_7$も$G$の正規部分群であり，題意は示された．(証明終)

$e$で群$G$の単位元を表す．まず$5593$を素因数分解すると
$$5593 = 7 \cdot 17 \cdot 47$$
となる．よってSylowの定理より，$G$にはSylow7部分群$N_7$とSylow17部分群$N_{17}$とSylow47部分群$N_{47}$が存在する．Sylow17部分群の個数は$|G|=5593$の約数で$17$で割った余りが$1$となる整数であるが，そのような整数は$1$しか存在しない．これより$N_{17}$は$G$の中で正規となる．同様に，$N_{47}$も$G$の中で正規となる．よって$N_{17}N_{47}$は$G$の正規部分群である．$17$と$47$は互いに素なので$N_{17} \cap N_{47}=\{e\}$が成り立つ．従って，群論の一般論から
$$N_{17}N_{47} \cong N_{17} \times N_{47} \cong \mathbb{Z}/17\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z}$$
が成り立つ．ここで$N_7$も$G$の正規部分群であることが示されれば，$N_7N_{17}N_{47}$は$G$の部分群で，$7$と$17 \cdot 47$が互いに素であることから，
$$N_{7}N_{17}N_{47} \cong N_7 \times (N_{17}N_{47}) \cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/17\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/47\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/5593\mathbb{Z}$$
が成り立つ．すると，$|N_7N_{17}N_{47}|=5593=|G|$であることから$G=N_7N_{17}N_{47}$となるので証明が完了する．よって示すべきは$N_7$が$G$の正規部分群であることである．

まず，$N_{17}$が$G$の中で正規であることから，$N_7N_{17}$は$G$の部分群である．$7$と$17$が互いに素であることから$N_7N_{17}$の位数は$7 \cdot 17$である．これより，$N_7$は$N_7N_{17}$のSylow7部分群であり，その個数は$7 \cdot 17$の約数で$7$で割った余りが$1$である整数となる．そのような整数は$1$しか存在しないので，$N_7$は$N_7N_{17}$において正規である．よって
$$(N_7N_{17})^{-1} \cdot N_7 \cdot N_7N_{17}=N_{7} \tag{1}$$
が$N_7N_{17}$において成り立つ．$G$の演算と$N_7N_{17}$における演算は一致しているから，これは$G$においても成り立つ．
$G$のSylow7部分群全てからなる集合を$X$とし，$G$の$X$への共役作用を考える．Sylowの定理から全てのSylow7部分群は互いに共役であるので，この作用は推移的であり，$H_7$の軌道が$X$全体に一致する．よって$X$の元の個数は$G/{\rm Stab}(H_{17})$(${\rm Stab}(H_7)$は$H_7$の固定部分群)の位数に等しい．ところで，式(1)から${\rm Stab}(H_7)$は$N_7N_{17}$を含む．すると，
$$|G/H_7H_{17}|=|G/{\rm Stab}(H_7)| \cdot |{\rm Stab}(H_7)/H_7H_{17}|$$
となる．よって$G/{\rm Stab}(H_7)$の位数，即ち$X$の元の個数は$|G/H_7H_{17}|=47$の約数である．$G$におけるSylowの定理より$X$の元の個数は$1$もしくは$17 \cdot 47=799 \, (\equiv 1 \, {\rm mod}\, 7)$であるから，その値は$1$しか取り得ない．従って$N_7$も$G$の正規部分群であり，題意は示された．(証明終)

任意の$h,h' \in H, \, n,n' \in N$に対して
$$(hn)^{-1}h'n'=n^{-1}h^{-1}h'n'=(h'^{-1}h)^{-1} \cdot (h'^{-1}h)n^{-1}(h'^{-1}h)^{-1}n' \in HN$$
が成り立つ．よって$HN$は$G$の部分群である．$H$も正規であるとすると，任意の$g \in G$と任意の$hn \in HN$に対して
$$g(hn)g^{-1}=(ghg^{-1})(gng^{-1}) \in HN$$
$$g^{-1}(hn)g=(g^{-1}hg)(g^{-1}ng) \in HN$$
が成り立つので，$HN$は$G$の正規部分群である．(証明終)

補題1より$HN$は$G$の(正規)部分群である．任意の$h \in H, \, n \in N$に対して
$$h^{-1}n^{-1}hn=h^{-1} \cdot (n^{-1}hn) \in H$$
$$h^{-1}n^{-1}hn=(h^{-1}n^{-1}h) \cdot n \in N$$
が成り立つので，$h^{-1}n^{-1}hn \in H \cap N$である．これは$HN/(H \cap N)$では$\overline{hn}=\overline{nh}$を意味する．
写像$\varphi : H \times N \rightarrow HN/(H \cap N)$を$h \in H, \, n \in N$に対して$\varphi(h,n)=\overline{hn}$を満たすものとして定める．すると，任意の$h,h' \in H, \, n,n' \in N$に対して
$$\varphi((h,n)(h',n'))=\varphi(hh',nn')=\overline{hh'nn'}=\overline{hnh'n'}=\varphi(h,n)\varphi(h',n')$$
が成り立つので，$\varphi$は群準同型である．その定義から明らかに$\varphi$は全射．$h \in H, \, n \in N$が$h,n \in {\rm Ker}\,\varphi$を満たすとすると，$hn \in H \cap N$となる．よって
$$h=(hn)n^{-1} \in N, \hspace{0.2in} n=h^{-1}(hn) \in H$$
となるので，$h,n \in H \cap N$である．$h,n \in H \cap N$なら$(h,n) \in {\rm Ker}\,\varphi$は明らかであるから，
$${\rm Ker}\,\varphi=(H \cap N) \times (H \cap N)$$
となる．よって準同型定理より同型
$$HN/(H \cap N) \cong (H \times N)/{\rm Ker}\,\varphi \cong \{H/(H \cap N)\} \times \{N/(H \cap N)\}$$
を得る．(証明終)

$N$は部分群$HN$の中でも正規であることに注意する．$H$から$HN/N$への自然な準同型を$\pi$とすると，$\pi$は全射でその核は$H \cap N$である．よって，準同型定理より題意が従う．後半はこの同型から明らかである．(証明終)