代数学をやるその6　準同型の延長の個数

まず，次の主張Aを部分群の指数に関する帰納法で示す．

(主張A)$N$を$G$の指数有限の任意の部分群，$\psi :N\to {\mathbb{C}}^{\times }$を任意の準同型とするとき，準同型$f:G\to {\mathbb{C}}^{\times }$で$f{|}_N=\psi$を満たすものが存在する．

まず，$(G:N)=1$のときは$G=N$であるから$f=\psi$とすればよい．$n$を$2$以上の整数とし，$(G:N)<n$を満たす$G$の任意の部分群$N$と$N$から${\mathbb{C}}^{\times }$への任意の準同型に対して主張Aが成り立つと仮定する．このとき，$(G:N)=n$となる$G$の任意の部分群と準同型$\psi :N\to {\mathbb{C}}^{\times }$に対して主張Aが成り立つことを示せばよい．
$(G:N)=n$となる$G$の任意の部分群と任意の準同型$\psi :N\to {\mathbb{C}}^{\times }$を取る．$(G:N)=n\ge 2$であるから，$g\notin N$となる$g\in G$が取れる．$G/N$は位数が有限であるから，$g^k\in N$となる最小の正の整数$k(\ge 2)$が取れる．$0$でない複素数$\alpha$を${\alpha }^k=\psi (g^k)$を満たす値とする．写像$\tilde{f}:⟨g⟩N\to {\mathbb{C}}^{\times }$を任意の$g^{l}h(l\in \mathbb{Z},h\in N)$に対して$\tilde{f}(g^{l}h)={\alpha }^l\psi (h)$を満たすものとして定める．任意の$g^{l}h,g^{l^{\prime }}{h}^{\prime }\in ⟨g⟩N$に対して，
$$\tilde{f}(g^{l}h\cdot g^{l^{\prime }}{h}^{\prime })=\tilde{f}(g^{l+l^{\prime }}h{h}^{\prime })={\alpha }^{l+l^{\prime }}\psi (h{h}^{\prime })={\alpha }^l\psi (h)\cdot {\alpha }^{l^{\prime }}\psi (h^{\prime })=\tilde{f}(g^{l}h)\tilde{f}(g^{l^{\prime }}{h}^{\prime })$$
が成り立つので，$\tilde{f}$は群準同型である．このとき，$(G:⟨g⟩N)<(G:N)=n$であるから，帰納法の仮定により準同型$f:G\to {\mathbb{C}}^{\times }$で$f{|}_{⟨g⟩N}=\tilde{f}$を満たすものが存在する．この$f$は任意の$h\in N$に対して
$$f(h)=\tilde{f}(h)=\psi (h)$$
を満たすので$f{|}_N=\psi$を満たす．従って，$N$と$\psi$に対して主張Aが示された．ここで$N,\psi$は任意に取っていたから，主張Aが示された．

主張Aを題にある$H,\phi$に対して適用することで，準同型$f_0:G\to {\mathbb{C}}^{\times }$で$f_0{|}_H=\phi$を満たすものが存在することが保証される．集合$X,Y$を
$$X=\{f:G\to {\mathbb{C}}^{\times }|fは準同型かつf{|}_H=\phi \},Y=\{f:G/H\to {\mathbb{C}}^{\times }|fは準同型\}$$
とおく．$|X|$が求める数である．$f\in X$に対し，写像$G\ni g⟼f(g)f_0(g{)}^{-1}\in {\mathbb{C}}^{\times }$を対応させるものとして写像$\tilde{F}$を考える．任意の$f\in X$に対し$\tilde{F}(f)$は，任意の$gh(g\in G,h\in H)$に対して
$$(\tilde{F}(f))(gh)=f(gh)f_0(gh{)}^{-1}=f(g)\phi (h)\cdot \phi (h{)}^{-1}{f}_0(g{)}^{-1}=f(g)f_0(g{)}^{-1}=(\tilde{F}(f))(g)$$
を満たす．また，$\tilde{F}(f)$は明らかに準同型である．よって，$\tilde{F}$は写像
$$F:X\ni f⟼F(f)\in Y$$
を引き起こす．ここで，$F(f)\in Y$は
$$(F(f))(\bar{g})=f(g)f_0(g{)}^{-1}(\mathrm{\forall }\bar{g}\in G/H)$$
を満たす．
$f,f^{\prime }\in X$が$F(f)=F(f^{\prime })$を満たすとする．このとき，任意の$g\in G$に対して
$$f(g)f_0(g{)}^{-1}=(F(f))(\bar{g})=(F(f^{\prime }))(\bar{g})=f^{\prime }(g)f_0(g{)}^{-1}$$
が成り立つので，$f(g)=f^{\prime }(g)(\mathrm{\forall }g\in G)$となる．即ち$f=f^{\prime }$であるから，$F$は単射である．
$\psi \in Y$とする．$\pi :G\to G/H$を自然な準同型とし，$\theta :G\to {\mathbb{C}}^{\times }$を
$$\theta (g)=(\psi \circ \pi )(g)\cdot f_0(g)(\mathrm{\forall }g\in G)$$
を満たすものとして定める．$\theta$は明らかに準同型で，また任意の$h\in H$に対して
$$\theta (h)=(\psi \circ \pi )(h)\cdot f_0(h)=f_0(h)=\phi (h)$$
を満たすので$\theta {|}_H=\phi$である．即ち，$\theta \in X$である．すると，任意の$\bar{g}\in G/H$に対して
$$(F(\theta ))(\bar{g})=\theta (g)f_0(g{)}^{-1}=(\psi \circ \pi )(g)\cdot f_0(g)\cdot f_0(g{)}^{-1}=\psi (\bar{g})$$
が成り立つから，$F(\theta )=\psi$である．よって$F$は全射である．以上より$F$は全単射であるから，$|X|=|Y|$である．$G/H$は有限アーベル群であるから$|Y|=|G/H|=(G:H)$であるので，$|X|=(G:H)$となり，題意は示された．(証明終)