代数学をやるその6　準同型の延長の個数

まず，次の主張Aを部分群の指数に関する帰納法で示す．

(主張A)$N$を$G$の指数有限の任意の部分群，$\psi : N \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$を任意の準同型とするとき，準同型$f : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$で$f|_N=\psi$を満たすものが存在する．

まず，$(G:N)=1$のときは$G=N$であるから$f=\psi$とすればよい．$n$を$2$以上の整数とし，$(G:N)< n$を満たす$G$の任意の部分群$N$と$N$から$\mathbb{C}^{\times}$への任意の準同型に対して主張Aが成り立つと仮定する．このとき，$(G:N)=n$となる$G$の任意の部分群と準同型$\psi : N \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$に対して主張Aが成り立つことを示せばよい．
$(G:N)=n$となる$G$の任意の部分群と任意の準同型$\psi : N \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$を取る．$(G:N)=n \geq 2$であるから，$g \notin N$となる$g \in G$が取れる．$G/N$は位数が有限であるから，$g^k \in N$となる最小の正の整数$k \, ( \geq 2)$が取れる．$0$でない複素数$\alpha$を$\alpha^k=\psi(g^k)$を満たす値とする．写像$\widetilde{f} : \langle g \rangle N \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$を任意の$g^lh \, (l \in \mathbb{Z}, \, h \in N)$に対して$\widetilde{f}(g^lh)=\alpha^l\psi(h)$を満たすものとして定める．任意の$g^lh, \, g^{l'}h' \in \langle g \rangle N$に対して，
$$\widetilde{f}(g^lh \cdot g^{l'}h')=\widetilde{f}(g^{l+l'}hh')=\alpha^{l+l'}\psi(hh')=\alpha^l\psi(h) \cdot \alpha^{l'}\psi(h')=\widetilde{f}(g^lh)\widetilde{f}(g^{l'}h')$$
が成り立つので，$\widetilde{f}$は群準同型である．このとき，$(G:\langle g\rangle N)<(G:N)=n$であるから，帰納法の仮定により準同型$f : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$で$f|_{\langle g \rangle N}=\widetilde{f}$を満たすものが存在する．この$f$は任意の$h \in N$に対して
$$f(h)=\widetilde{f}(h)=\psi(h)$$
を満たすので$f|_N=\psi$を満たす．従って，$N$と$\psi$に対して主張Aが示された．ここで$N,\psi$は任意に取っていたから，主張Aが示された．

主張Aを題にある$H,\varphi$に対して適用することで，準同型$f_0 : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$で$f_0|_H=\varphi$を満たすものが存在することが保証される．集合$X, Y$を
$$X=\{f : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times} \, | \, f \, は準同型 \, かつ \, f|_H=\varphi\}, \hspace{0.2in} Y=\{f : G/H \rightarrow \mathbb{C}^{\times} \, | \, f \, は準同型\}$$
とおく．$|X|$が求める数である．$f \in X$に対し，写像$G \ni g \longmapsto f(g)f_0(g)^{-1} \in \mathbb{C}^{\times}$を対応させるものとして写像$\widetilde{F}$を考える．任意の$f \in X$に対し$\widetilde{F}(f)$は，任意の$gh \, (g \in G, \, h \in H)$に対して
$$(\widetilde{F}(f))(gh)=f(gh)f_0(gh)^{-1}=f(g)\varphi(h) \cdot \varphi(h)^{-1}f_0(g)^{-1}=f(g)f_0(g)^{-1}=(\widetilde{F}(f))(g)$$
を満たす．また，$\widetilde{F}(f)$は明らかに準同型である．よって，$\widetilde{F}$は写像
$$F : X \ni f \longmapsto F(f) \in Y$$
を引き起こす．ここで，$F(f) \in Y$は
$$(F(f))(\overline{g})=f(g)f_0(g)^{-1} \hspace{0.2in} (\forall \overline{g} \in G/H)$$
を満たす．
$f,f' \in X$が$F(f)=F(f')$を満たすとする．このとき，任意の$g \in G$に対して
$$f(g)f_0(g)^{-1}=(F(f))(\overline{g})=(F(f'))(\overline{g})=f'(g)f_0(g)^{-1}$$
が成り立つので，$f(g)=f'(g) \, (\forall g \in G)$となる．即ち$f=f'$であるから，$F$は単射である．
$\psi \in Y$とする．$\pi : G \rightarrow G/H$を自然な準同型とし，$\theta : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$を
$$\theta(g)=(\psi \circ \pi)(g) \cdot f_0(g) \hspace{0.2in} (\forall g \in G)$$
を満たすものとして定める．$\theta$は明らかに準同型で，また任意の$h \in H$に対して
$$\theta(h)=(\psi \circ \pi)(h) \cdot f_0(h)=f_0(h)=\varphi(h)$$
を満たすので$\theta|_H=\varphi$である．即ち，$\theta \in X$である．すると，任意の$\overline{g} \in G/H$に対して
$$(F(\theta))(\overline{g})=\theta(g)f_0(g)^{-1}=(\psi \circ \pi)(g) \cdot f_0(g) \cdot f_0(g)^{-1}=\psi(\overline{g})$$
が成り立つから，$F(\theta)=\psi$である．よって$F$は全射である．以上より$F$は全単射であるから，$|X|=|Y|$である．$G/H$は有限アーベル群であるから$|Y|=|G/H|=(G:H)$であるので，$|X|=(G:H)$となり，題意は示された．(証明終)