代数学をやるその4　Z/pZの直積群の部分群の個数

$G$の単位元を$e$で表す．また$G$の演算は$g+h$のように加法的に表す．
$G$の任意の単位元でない元は位数が$p$であることに注意する．よって，$G$に含まれる位数$p$の元の個数は$p^n-1$である．これらは全て位数$p$の部分群を生成する．逆に，$G$の位数$p$の部分群は全てこの$p^n-1$個の元が生成する部分群の内のいずれかに等しい．これらの内いくつが重複しているか考える．$H,H^{\prime }\subset G$を$G$の位数$p$の部分群とする．$h_0\in H\cap H^{\prime },h_0\ne e$とする．$H,H^{\prime }$の生成元をそれぞれ$h,h^{\prime }$とすると，$1\le k,k^{\prime }\le p-1$となる整数$k,k^{\prime }$が存在して，$h_0=kh=k^{\prime }{h}^{\prime }$が成り立つ．$k$と$p$は互いに素であるから，$kl\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$となる整数$l$が存在する．すると，
$$h=(kl)h=l(h_0)\in H^{\prime }$$
が成り立つ．同様に$h^{\prime }\in H$も成り立つので，$H=H^{\prime }$となる．逆に$H=H^{\prime }$なら$H\cap H^{\prime }\ne \{e\}$であることは明らかである．即ち，$H=H^{\prime }$であることと$H\cap H^{\prime }\ne \{e\}$であることは同値である．位数$p$の部分群1つが別の位数$p$の部分群と共通に持ち得る$e$以外の元は$p-1$個である．よって，位数$p$の部分群の個数は$\frac{p^n-1}{p-1}$となる．

また，一般に有限アーベル群$G$に対し，$G$の位数$m$の部分群の個数と$G$の位数$\frac{|G|}{m}$の部分群の個数は等しいので，位数が$p^{n-1}$の部分群の個数も$\frac{p^n-1}{p-1}$である．

以上より解答は次の通りである．(終)
位数$p$の部分群の個数：$\frac{p^n-1}{p-1}$
位数$p^{n-1}$の部分群の個数：$\frac{p^n-1}{p-1}$

任意の$\chi ,{\chi }^{\prime }\in \hat{G}$に対して$\chi \cdot {\chi }^{\prime }\in \hat{G}$が$G$から${\mathbb{C}}^{\times }$への準同型であることは直ぐに分かる．自明な指標${\chi }_0$はこの積に関して単位元となる．また，任意の$\chi \in \hat{G}$に対して，${\chi }^{-1}:G\to {\mathbb{C}}^{\times }$を任意の$g\in G$に対し${\chi }^{-1}(g)=(\chi (g){)}^{-1}$を満たすものとして定めると，明らかに${\chi }^{-1}\in \hat{G}$であり，この積に関して$\chi$の逆元となる．この積が結合法則を満たすことも，${\mathbb{C}}^{\times }$での積が結合法則を満たすことから従う．よって$\hat{G}$は群である．(証明終)

$e_1,e_2$はそれぞれ$G_1,G_2$の単位元を表すとする．
${\chi }_1\in \widehat{G_1},{\chi }_2\in \widehat{G_2}$に対して，${\chi }_1\times {\chi }_2:G_1\times G_2\to \mathbb{C}$を
$$({\chi }_1\times {\chi }_2)(g_1,g_2)={\chi }_1(g_1){\chi }_2(g_2)(\mathrm{\forall }{g}_1\in G_1,\mathrm{\forall }{g}_2\in G_2)$$
を満たすものとして定める．${\chi }_1\times {\chi }_2$は明らかに準同型であるから，写像
$$f:\widehat{G_1}\times \widehat{G_2}\ni ({\chi }_1,{\chi }_2)⟼{\chi }_1\times {\chi }_2\in \widehat{G_1\times G_2}$$
を定めることができる．$f$が準同型であることも直ぐに確認できる．$({\chi }_1,{\chi }_2)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$とすると，任意の$g_1\in G_1,g_2\in G_2$に対して
$$({\chi }_1\times {\chi }_2)(g_1,g_2)={\chi }_1(g_1){\chi }_2(g_2)=1$$
が成り立つ．特に$g_1=e_1$とすることで${\chi }_2(g_2)=1(\mathrm{\forall }{g}_2\in G_2)$が成り立つ．よって${\chi }_2$は自明指標である．同様に，$g_2=e_2$とすることで${\chi }_1$が自明指標であることも従う．よって$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$は単位元のみからなるので，$f$は単射である．任意の$\chi \in \widehat{G_1\times G_2}$を取る．このとき，${\chi }_1=\chi {|}_{G_1},{\chi }_2=\chi {|}_{G_2}$とおくと，$\chi ={\chi }_1\times {\chi }_2=f({\chi }_1,{\chi }_2)$が成り立つ．即ち$f$は全射である．よって$f$は同型であるから，題意は示された．(証明終)

有限アーベル群の基本定理から，$G$はいくつかの巡回群の直積で表される．よって補題2を用いることで，$G$が巡回群のときに主張を示せば十分であることが分かる．
$G$の生成元を$g$，$|G|$の位数を$n$とおく．任意の$\chi \in \hat{G}$に対して
$$\chi (g^k)=\chi (g{)}^k(k\in \mathbb{Z})$$
が成り立つので，$\chi \in \hat{G}$は$\chi (g)$の値で決まる．特に$1=\chi (g^n)=\chi (g{)}^n$であるから，$\chi (g)$は$1$の$n$乗根である．$1$の$n$乗根は全部で$n$個存在するから，$|\hat{G}|\le n$となる．
$\zeta =\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{2\pi \sqrt{-1}}{n}\right)$とおき，写像
$$\chi :G\ni g^k⟼{\zeta }^k\in {\mathbb{C}}^{\times }$$
を考える．$\chi$は明らかに準同型であるから$\chi \in \hat{G}$である．ここで，写像
$$f:G\ni g^k⟼{\chi }^k\in \hat{G}$$
を考える．$f$が準同型であることは直ぐ分かる．また$g^k\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$とすると，${\chi }^k$は自明指標である．よって，特に$G$の生成元$g$に対して
$$1={\chi }^k(g)=\chi (g{)}^k={\zeta }^k$$
が成り立つ．これより$k$は$n$の倍数である．すると$g^k=e$となるので$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f=\{e\}$が成り立つ．即ち$f$は単射である．これより，
$$|\hat{G}|\le n=|G|\le |\hat{G}|$$
となるので，$|G|=|\hat{G}|$である．よって$f$は全単射となるから，$f$は同型である．(証明終)

$H$の指数に関する帰納法で証明する．$(G:H)=1$の場合は$G=H$であるからよい．
$(G:H)>1$であるとする．指数が$(G:H)$よりも小さい$G$の部分群に対しては主張が示されていると仮定する．$(G:H)>1$より$g\notin H$となる$G$の元$g$が存在する．$g^{k_g}\in H$となる最小の正の整数$k_g(\ge 2)$を取り，${\zeta }_g=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{2\pi \sqrt{-1}}{k_g}\right)$とおく．写像${\chi }^{\prime }:⟨g⟩H\to \mathbb{C}$を
$${\chi }^{\prime }(g^{k}h)={\zeta }_g^k\chi (h)(0\le k\le k_g-1,h\in H)$$
を満たすものとして定める．任意の$g^{k}h,g^{k^{\prime }}{h}^{\prime }\in ⟨g⟩H$に対して
$${\chi }^{\prime }(g^{k}h\cdot g^{k^{\prime }}{h}^{\prime })={\chi }^{\prime }(g^{k+k^{\prime }}\cdot h{h}^{\prime })={\zeta }_g^{k+k^{\prime }}\chi (h{h}^{\prime })={\zeta }_g^k\chi (h)\cdot {\zeta }_g^{k^{\prime }}\chi (h^{\prime })={\chi }^{\prime }(g^{k}h){\chi }^{\prime }(g^{k^{\prime }}{h}^{\prime })$$
が成り立つから，${\chi }^{\prime }\in \widehat{⟨g⟩H}$である．そして，$(G:⟨g⟩H)<(G:H)$であるから帰納法の仮定により，$\tilde{\chi }\in \hat{G}$で$\tilde{\chi }(g^{k}h)={\chi }^{\prime }(g^{k}h)(0\le k\le k_g-1,h\in H)$を満たすものが存在する．すると，特に$k=0$のとき$\tilde{\chi }(h)={\chi }^{\prime }(h)=\chi (h)$が成り立つ．よって題意は示された．(証明終)

${\chi }_0\in {\hat{G}}_H$であるから${\hat{G}}_H\ne \mathrm{\varnothing }$である．任意の$\chi ,{\chi }^{\prime }\in {\hat{G}}_H$に対し，
$$({\chi }^{-1}\cdot {\chi }^{\prime })(h)={\chi }^{-1}(h){\chi }^{\prime }(h)=1(\mathrm{\forall }h\in H)$$
が成り立つので${\chi }^{-1}\cdot {\chi }^{\prime }\in {\hat{G}}_H$が成り立つ．従って${\hat{G}}_H$は$\hat{G}$の部分群である．(証明終)

(1) $\pi :G\to G/H$を自然な準同型とする．仮定から$G/H$も有限アーベル群であるから$\widehat{G/H}$を考えることができる．写像$f$を，$\rho \in \widehat{G/H}$に対して
$$f(\rho )=\rho \circ \pi :G\to {\mathbb{C}}^{\times }$$
を対応させるものとして定める．任意の$\rho \in \widehat{G/H}$に対して$f(\rho )$は明らかに準同型であるから，$\mathrm{I}\mathrm{m}f\subset \hat{G}$が成り立つ．更に，任意の$\rho \in \widehat{G/H}$と任意の$h\in H$に対して
$$f(\rho )(h)=\rho (\pi (h))=\rho (\bar{e})=1$$
が成り立つので，$\mathrm{I}\mathrm{m}f\subset {\hat{G}}_H$が成り立つ．また，任意の$\chi \in {\hat{G}}_H$は，準同型で$H\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\chi$を満たす．従って，準同型${\rho }^{\prime }:G/H\to {\mathbb{C}}^{\times }$で$\chi ={\rho }^{\prime }\circ \pi$を満たすものが存在する．明らかに${\rho }^{\prime }\in \widehat{G/H}$である．よって，$\chi \in {\hat{G}}_H$に対して今の${\rho }^{\prime }\in \widehat{G/H}$を対応させる写像$g:{\hat{G}}_H\to \widehat{G/H}$を得る．すると，$f,g$は互いに逆写像の関係にある準同型であるから，同型$\widehat{G/H}\cong {\hat{G}}_H$を得る．(証明終)

(2) $f:\hat{G}\to \hat{H}$を$\chi \in \hat{G}$に対して$\chi$を$H$に制限したもの$\chi {|}_H$を対応させるものとして定める．$f$は明らかに準同型であり，また補題4より全射である．$f$の核は$H$に制限したときに自明指標となるもの全体からなるが，それは${\hat{G}}_H$に他ならない．従って準同型定理より$\hat{G}/{\hat{G}}_H\cong \hat{H}$が成り立つ．(証明終)

$G$の位数$n$の部分群の個数を$s_1$，$G$の位数$\frac{|G|}{n}$の部分群の個数を$s_2$とする．$G\cong \hat{G}$であることから$\hat{G}$の位数$n$の部分群の個数は$s_1$，$\hat{G}$の位数$\frac{|G|}{n}$の部分群の個数は$s_2$となることに注意する．
$H\subset G$を位数$n$の部分群とする．このとき，補題6から$\widehat{G/H}\cong {\hat{G}}_H$を得る．両辺の位数を考えると，
$$|{\hat{G}}_H|=|\widehat{G/H}|=|G/H|=\frac{|G|}{n}$$
となる．従って，${\hat{G}}_H$は$\hat{G}$の位数$\frac{|G|}{n}$の部分群である．よって，$s_1\le s_2$であることが分かる．$H$の位数を$\frac{|G|}{n}$であるとして同様の議論を行うことで$s_2\le s_1$であることも分かる．従って$s_1=s_2$である．(証明終)