代数学をやるその4　Z/pZの直積群の部分群の個数

$G$の単位元を$e$で表す．また$G$の演算は$g+h$のように加法的に表す．
$G$の任意の単位元でない元は位数が$p$であることに注意する．よって，$G$に含まれる位数$p$の元の個数は$p^n-1$である．これらは全て位数$p$の部分群を生成する．逆に，$G$の位数$p$の部分群は全てこの$p^n-1$個の元が生成する部分群の内のいずれかに等しい．これらの内いくつが重複しているか考える．$H,H' \subset G$を$G$の位数$p$の部分群とする．$h_0 \in H \cap H', \, h_0 \neq e$とする．$H,H'$の生成元をそれぞれ$h,h'$とすると，$1 \leq k,k' \leq p-1$となる整数$k,k'$が存在して，$h_0=kh=k'h'$が成り立つ．$k$と$p$は互いに素であるから，$kl \equiv 1 \hspace{0.05in} {\rm mod} \hspace{0.05in} p$となる整数$l$が存在する．すると，
$$h=(kl)h=l(h_0) \in H'$$
が成り立つ．同様に$h' \in H$も成り立つので，$H=H'$となる．逆に$H=H'$なら$H \cap H' \neq \{e\}$であることは明らかである．即ち，$H=H'$であることと$H \cap H' \neq \{e\}$であることは同値である．位数$p$の部分群1つが別の位数$p$の部分群と共通に持ち得る$e$以外の元は$p-1$個である．よって，位数$p$の部分群の個数は$\frac{p^n-1}{p-1}$となる．

また，一般に有限アーベル群$G$に対し，$G$の位数$m$の部分群の個数と$G$の位数$\frac{|G|}{m}$の部分群の個数は等しいので，位数が$p^{n-1}$の部分群の個数も$\frac{p^n-1}{p-1}$である．

以上より解答は次の通りである．(終)
位数$p$の部分群の個数：$\frac{p^n-1}{p-1}$
位数$p^{n-1}$の部分群の個数：$\frac{p^n-1}{p-1}$

任意の$\chi,\chi' \in \widehat{G}$に対して$\chi \cdot \chi' \in \widehat{G}$が$G$から$\mathbb{C}^{\times}$への準同型であることは直ぐに分かる．自明な指標$\chi_0$はこの積に関して単位元となる．また，任意の$\chi \in \widehat{G}$に対して，$\chi^{-1} : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$を任意の$g \in G$に対し$\chi^{-1}(g)=(\chi(g))^{-1}$を満たすものとして定めると，明らかに$\chi^{-1} \in \widehat{G}$であり，この積に関して$\chi$の逆元となる．この積が結合法則を満たすことも，$\mathbb{C}^{\times}$での積が結合法則を満たすことから従う．よって$\widehat{G}$は群である．(証明終)

$e_1,e_2$はそれぞれ$G_1,G_2$の単位元を表すとする．
$\chi_1 \in \widehat{G_1}, \, \chi_2 \in \widehat{G_2}$に対して，$\chi_1 \times \chi_2 : G_1 \times G_2 \rightarrow \mathbb{C}$を
$$(\chi_1 \times \chi_2)(g_1,g_2)=\chi_1(g_1)\chi_2(g_2) \hspace{0.2in} (\forall g_1 \in G_1, \, \forall g_2 \in G_2)$$
を満たすものとして定める．$\chi_1 \times \chi_2$は明らかに準同型であるから，写像
$$f : \widehat{G_1} \times \widehat{G_2} \ni (\chi_1, \chi_2) \longmapsto \chi_1 \times \chi_2 \in \widehat{G_1 \times G_2}$$
を定めることができる．$f$が準同型であることも直ぐに確認できる．$(\chi_1,\chi_2) \in {\rm Ker}\,f$とすると，任意の$g_1 \in G_1, \, g_2 \in G_2$に対して
$$(\chi_1 \times \chi_2)(g_1,g_2)=\chi_1(g_1)\chi_2(g_2)=1$$
が成り立つ．特に$g_1=e_1$とすることで$\chi_2(g_2)=1 \, (\forall g_2 \in G_2)$が成り立つ．よって$\chi_2$は自明指標である．同様に，$g_2=e_2$とすることで$\chi_1$が自明指標であることも従う．よって${\rm Ker}\,f$は単位元のみからなるので，$f$は単射である．任意の$\chi \in \widehat{G_1 \times G_2}$を取る．このとき，$\chi_1=\chi|_{G_1}, \, \chi_2=\chi|_{G_2}$とおくと，$\chi=\chi_1 \times \chi_2=f(\chi_1,\chi_2)$が成り立つ．即ち$f$は全射である．よって$f$は同型であるから，題意は示された．(証明終)

有限アーベル群の基本定理から，$G$はいくつかの巡回群の直積で表される．よって補題2を用いることで，$G$が巡回群のときに主張を示せば十分であることが分かる．
$G$の生成元を$g$，$|G|$の位数を$n$とおく．任意の$\chi \in \widehat{G}$に対して
$$\chi(g^k)=\chi(g)^k \hspace{0.2in} (k \in \mathbb{Z})$$
が成り立つので，$\chi \in \widehat{G}$は$\chi(g)$の値で決まる．特に$1=\chi(g^n)=\chi(g)^n$であるから，$\chi(g)$は$1$の$n$乗根である．$1$の$n$乗根は全部で$n$個存在するから，$|\widehat{G}| \leq n$となる．
$\zeta = {\rm exp}\left(\frac{2\pi\sqrt{-1}}{n}\right)$とおき，写像
$$\chi : G \ni g^k \longmapsto \zeta^k \in \mathbb{C}^{\times}$$
を考える．$\chi$は明らかに準同型であるから$\chi \in \widehat{G}$である．ここで，写像
$$f : G \ni g^k \longmapsto \chi^k \in \widehat{G}$$
を考える．$f$が準同型であることは直ぐ分かる．また$g^k \in {\rm Ker}\, f$とすると，$\chi^k$は自明指標である．よって，特に$G$の生成元$g$に対して
$$1=\chi^k(g)=\chi(g)^k=\zeta^k$$
が成り立つ．これより$k$は$n$の倍数である．すると$g^k=e$となるので${\rm Ker}\,f=\{e\}$が成り立つ．即ち$f$は単射である．これより，
$$|\widehat{G}| \leq n=|G| \leq |\widehat{G}|$$
となるので，$|G|=|\widehat{G}|$である．よって$f$は全単射となるから，$f$は同型である．(証明終)

$H$の指数に関する帰納法で証明する．$(G:H)=1$の場合は$G=H$であるからよい．
$(G:H)>1$であるとする．指数が$(G:H)$よりも小さい$G$の部分群に対しては主張が示されていると仮定する．$(G:H)>1$より$g \notin H$となる$G$の元$g$が存在する．$g^{k_g} \in H$となる最小の正の整数$k_g(\geq 2)$を取り，$\zeta_g={\rm exp}\left(\frac{2\pi\sqrt{-1}}{k_g}\right)$とおく．写像$\chi' : \langle g \rangle H \rightarrow \mathbb{C}$を
$$\chi'(g^kh)=\zeta_g^k\chi(h) \hspace{0.2in} (0 \leq k \leq k_g-1, \, h \in H)$$
を満たすものとして定める．任意の$g^kh, \, g^{k'}h' \in \langle g \rangle H$に対して
$$\chi'(g^kh \cdot g^{k'}h')=\chi'(g^{k+k'} \cdot hh')=\zeta_g^{k+k'}\chi(hh')=\zeta_g^k\chi(h) \cdot \zeta_g^{k'}\chi(h')=\chi'(g^kh)\chi'(g^{k'}h')$$
が成り立つから，$\chi' \in \widehat{\langle g \rangle H}$である．そして，$(G:\langle g\rangle H)<(G:H)$であるから帰納法の仮定により，$\widetilde{\chi} \in \widehat{G}$で$\widetilde{\chi}(g^kh)=\chi'(g^kh) \, (0 \leq k \leq k_g-1, \, h \in H)$を満たすものが存在する．すると，特に$k=0$のとき$\widetilde{\chi}(h)=\chi'(h)=\chi(h)$が成り立つ．よって題意は示された．(証明終)

$\chi_0 \in \widehat{G}_H$であるから$\widehat{G}_H \neq \emptyset$である．任意の$\chi,\chi' \in \widehat{G}_H$に対し，
$$(\chi^{-1}\cdot\chi')(h)=\chi^{-1}(h)\chi'(h)=1 \hspace{0.2in} (\forall h \in H)$$
が成り立つので$\chi^{-1}\cdot\chi' \in \widehat{G}_H$が成り立つ．従って$\widehat{G}_H$は$\widehat{G}$の部分群である．(証明終)

(1) $\pi : G \rightarrow G/H$を自然な準同型とする．仮定から$G/H$も有限アーベル群であるから$\widehat{G/H}$を考えることができる．写像$f$を，$\rho \in \widehat{G/H}$に対して
$$f(\rho)=\rho \circ \pi : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$$
を対応させるものとして定める．任意の$\rho \in \widehat{G/H}$に対して$f(\rho)$は明らかに準同型であるから，${\rm Im}\,f \subset \widehat{G}$が成り立つ．更に，任意の$\rho \in \widehat{G/H}$と任意の$h \in H$に対して
$$f(\rho)(h)=\rho(\pi(h))=\rho(\overline{e})=1$$
が成り立つので，${\rm Im}\,f \subset \widehat{G}_H$が成り立つ．また，任意の$\chi \in \widehat{G}_H$は，準同型で$H \subset {\rm Ker}\,\chi$を満たす．従って，準同型$\rho' : G/H \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$で$\chi=\rho' \circ \pi$を満たすものが存在する．明らかに$\rho' \in \widehat{G/H}$である．よって，$\chi \in \widehat{G}_H$に対して今の$\rho' \in \widehat{G/H}$を対応させる写像$g : \widehat{G}_H \rightarrow \widehat{G/H}$を得る．すると，$f,g$は互いに逆写像の関係にある準同型であるから，同型$\widehat{G/H} \cong \widehat{G}_H$を得る．(証明終)

(2) $f : \widehat{G} \rightarrow \widehat{H}$を$\chi \in \widehat{G}$に対して$\chi$を$H$に制限したもの$\chi|_H$を対応させるものとして定める．$f$は明らかに準同型であり，また補題4より全射である．$f$の核は$H$に制限したときに自明指標となるもの全体からなるが，それは$\widehat{G}_H$に他ならない．従って準同型定理より$\widehat{G}/\widehat{G}_H \cong \widehat{H}$が成り立つ．(証明終)

$G$の位数$n$の部分群の個数を$s_1$，$G$の位数$\frac{|G|}{n}$の部分群の個数を$s_2$とする．$G \cong \widehat{G}$であることから$\widehat{G}$の位数$n$の部分群の個数は$s_1$，$\widehat{G}$の位数$\frac{|G|}{n}$の部分群の個数は$s_2$となることに注意する．
$H \subset G$を位数$n$の部分群とする．このとき，補題6から$\widehat{G/H} \cong \widehat{G}_H$を得る．両辺の位数を考えると，
$$|\widehat{G}_H|=|\widehat{G/H}|=|G/H|=\frac{|G|}{n}$$
となる．従って，$\widehat{G}_H$は$\widehat{G}$の位数$\frac{|G|}{n}$の部分群である．よって，$s_1 \leq s_2$であることが分かる．$H$の位数を$\frac{|G|}{n}$であるとして同様の議論を行うことで$s_2 \leq s_1$であることも分かる．従って$s_1=s_2$である．(証明終)