はじめに
今回は多項式環の極大イデアルの生成元の個数を求める問題を持ってきました.
その他の問題たちは
こちらのまとめページ
から見れます.よろしければリンクをご利用ください.
更新履歴
(2022/06/20):補題2と補題3の追加,(1)の解答の間違いを修正.
(2022/12/17):補題2の入れ替えと補題3の削除,(1)の解答を更に修正,一旦途中までの(2)の解答を掲載.
(2022/12/27):補題2の入れ替えと補題3の追加,(2)の解答を修正.
(2023/10/15):追記の記入
問題と解答
以下の問に答えよ.(2020年度 東京大学数理科学研究科 修士課程専門B 第2問)
(1) を体とする.上の2変数多項式環の極大イデアルは2つの元で生成されることを示せ.
(2) 有理整数環上の2変数多項式環の極大イデアルは3つの元で生成されることを示せ.
以下,剰余環の元は上にバーを付けて表します.また,可換環とその拡大環,そしてのイデアルに対し,によって生成されるのイデアルをや(Eはextensionの意)などと表すことにします.例えば,可換環とそのイデアルに対し,によって生成される上の1変数多項式環のイデアルは
となります.
(1)
証明を表示
を極大イデアルとする.このときは体である.は有限生成代数でもあるから,補題1(Zariski's Lemma)によりはの有限次代数拡大体である.従っての像は上のある既約多項式の根である.即ち
が成り立つ.これはを意味する.によって生成されるのイデアルを,によって生成されるのイデアルをと表すとが成り立つ.よって同型
を得る.これよりはの極大イデアルに対応する.は既約であったからは体である.体上の1変数多項式環はPIDであるから,あるによってと表せる.これよりが成り立つ.であれば,の極大性からとなり題意が示される.よって示すべきはであることである.
そこで,と仮定する.このとき,あるが存在してと表せる.これはにおいてであることを示している.しかし,これはがの極大イデアルであることに矛盾.従ってである.(証明終)
(2)
証明を表示
を極大イデアルとする.は特に素イデアルであるから,はの素イデアルである.よってもしくは(は素数)が成り立つ.
とすると,に含まれる整数はのみである.つまりとおくとである.これより自然な準同型は単射である.即ちはを含む体である.よっては有理数体を含む.を標準全射,を任意のに対してを満たす環準同型とする.はの各元をの単元にうつすので,局所化の普遍性よりを満たす環準同型が存在する.が全射であるからも全射である.即ちは有限生成代数である.従って補題1(Zariski's Lemma)より,はの有限次拡大体,特に代数拡大体である.このとき,補題2をとして適用することでは上有限生成でないことが分かる.しかし,これは自然な全射準同型の存在に矛盾する.従ってとなることはない.
以上より,(は素数)と書ける.がで生成するイデアルをと表すと,であるから同型
が成り立つ.即ち,はの極大イデアルである.同型
が成り立ち,は体であるから,(1)で示したことよりは2つの元で生成される.その生成元を多項式によってと表す.このときに戻ればが成り立つが,1.の最後と同様の方法によってこの包含は等号となることが分かる.即ちは3つの元で生成される.(証明終)
(1),(2)どちらの証明でも,極大イデアルと係数環との共通部分が零イデアルでないことを示すことが最も大事ですね.
因みに,今回の(1)の証明と同様の議論を帰納法と共に用いることで,一般に体上の変数多項式環の極大イデアルが個の元で生成されることも分かります.面白いですね.
今回用いた事実
剰余環の元は上にバーを付けることでも表します.
Zariski's Lemma
を体とする.体を有限生成代数とすると,はの有限次拡大体である.
証明は
wikipedia
にも載っているのでそちらを参照して下さい.
次の補題2は,有名な事実である補題3から従います.
を一意分解環で無限に多くの単項素イデアルを持つものとする.また,をの商体,をの代数拡大体とする.このとき,は上有限生成ではない.
証明を表示
背理法で示すために,上の多項式環とその極大イデアルが存在して
と書けるとする.任意のに対してをの像とする.をたちの上の最小多項式の分母を全て掛け合わせた元とする.であるからである.このときは上整である.従って補題3よりも体である.の素元分解に現れるどの素元とも単元倍で移りあわない素元を取る(このような素元の存在はが無限に多くの単項素イデアルを持つことから従う).はの元と見れば可逆であるから,ある()が存在して
が成り立つ.両辺にを掛けることで
を得る.これはがを割り切ることを示しているが,それはの仮定に反する.以上より題意は示された.(証明終)
は整域の部分環で,は上整であるとする.このときが体であることとが体であることは同値である.
証明を表示
が体であるとし,任意のを取る.は上整であるから,()が存在して
が成り立つ.これは
と変形できる.整数が最小になるようにたちを取ることでとしてよい(だから).するとが体であることからなので
が成り立つ.即ちは可逆である.の任意性よりは体である.
逆にが体であるとする.任意のを取る.をの元と見れば逆元が存在する.は上整であるから,()が存在して
が成り立つ.両辺にを掛けることで
となる.即ちはの中でも可逆である.の任意性よりは体である.(証明終)
追記:問(1)をもっと初歩的に示したい
問(1)は環論のより初歩的な事実を用いるだけでも示すことができます(その分上述の証明より長くなりますが…).その方法を以下に示します.この方法は参考文献[4]のp22-23に依っています.
問(1)の証明(より初等的)
証明を表示
という事実に注意する.その時々で見やすい方の表記を用いることとする.
の素イデアルを全て決定することで問(1)を示す.を素イデアルとする.がや単項イデアルの場合は特に示すことがないので,は零でも単項でもないとする.は素イデアルなのでと等しくない.即ちにはある多項式が含まれる.を素元分解することである既約元がに含まれることが分かる(は素イデアルだから.またはUFDなので素元と既約元は一致する).は単項でないのでで割り切れないもに入る.このときはにおいて互いに共通因子を持たない.
(Step 1)
まずは(は有理関数体)においても共通因子を持たないことを背理法で示す.がをにおいて割り切るとすると,
と書ける.それぞれにおいて係数の分母を括り出し,更に分子の最小公倍数を括り出すことで,原始多項式を用いて
と書ける.原始多項式の積は原始多項式であるというGaussの補題から,もそれぞれ原始多項式である.よって,であることも併せると,でなければならない.このときは内でを共に割り切っており,が内で共通因子を持たないという仮定に反する.よってはにおいても共通因子を持たない.
(Step 2)
は体上の1変数多項式環であるからPIDである.すると,が内で共通因子を持たないことから,ベズーの等式よりあるが存在してが成り立つ.の分母の最小公倍数を両辺に掛けることで
を得る.であることからが従う.即ちである.は素イデアルであるからはの素イデアルである(包含写像の引き戻し).を素元分解することで,ある既約多項式が存在してとなることが分かる.はPIDなのでが成り立つ.特には上の極大イデアルであり,は体である.従ってはPIDである.
(Step 3)
Step 1とStep 2より,ある既約多項式が存在してとなる.ここでが素イデアルであることと
という等式から,はの素イデアルとなる.はPIDであったから,あるであって,は既約,かつとなるものが存在する.これよりが成り立つ.
とするととなっての極大性に反するからである.ところで,PIDにおいて素イデアルは極大イデアルでもあるからは極大であり,それに対応しても極大となる.従ってと書けることが分かる.
(Step 4)
ここまでの議論よりの素イデアルは次の3つの内のいずれかの形をしている.
逆にこれらのイデアルが素イデアルであることは直ぐに確かめられる.
これらの内極大イデアルとなり得るものを考える.の条件と等式
よりは極大イデアルである.は体でないのでは極大イデアルでない.よって既約元に対しイデアルが極大でないことを示せば,全ての極大イデアルがの形をしていなければならないことが分かり,即ち全ての極大イデアルが2元生成であることも従う.
(Step 5)
以下,既約元に対しが極大でないことを示す.をについて整理して
と表す.
まず即ちとする.このとき上と同様の議論によってを満たす極大イデアル()を取ることができるのでは極大でない.
とし,を割り切らない既約多項式を1つ取る(には単項素イデアルが無限個存在するのでこのようなを取れる).するとが成り立つ.実際,とするとによってと書けるが,両辺のの次数を比較すると
となって矛盾.またとすると,あるが存在してと書ける.この等式をで考えると,となる.つまりはの単元である.しかしはの最高次係数であるを割り切らないからであり,単元とはなり得ないため矛盾.以上よりが成り立つので,は極大でない.以上より題意は示された.(証明終)
今の証明においても,単項でない素イデアルとその係数環との共通部分が零イデアルでないことを示すところが最も急所だと思います.
また,今の証明において,を,無限個の単項素イデアルを持つ単項イデアル整域に,をの商体に置き換えても全く同様の議論ができます.よって多項式環の素イデアルたちは,次の3つの内のいずれかの形をしていることになります.
しかも,これらの中で極大イデアルは2元で生成されるもののみであることも分かります.
因みに無限個の単項素イデアルの存在が必要となるのは上の証明のStep 5においてを割り切らない既約元を取るところです.もしが有限個しか単項素イデアルを持たないならば,上とは異なる結果になります.極端な例としてが体である場合を考えると,の素イデアルは全て単項イデアルとなってしまいます.
参考文献[4]にも書いてありますが,この事実を用いると,例えば多項式環の素イデアルたちが今の3つの形のどれかになることも分かって,結構嬉しいですね.
今回の記事は以上です.
最後までお読み頂きありがとうございました.