代数学をやるその17　単項イデアル

Zornの補題によって主張を示す．仮定より$I$は空でない．$I$に包含関係による順序を入れる．$I$の任意の全順序部分集合$C$を取り，$A_0=\displaystyle\bigcup_{A \in C}A$とおく．任意の$x,y \in A_0$を取ると，$x \in A_1, \, y \in A_2$となる$A_1,A_2 \in C$が存在する．$C$は全順序部分集合であるから，$A_1 \subset A_2$もしくは$A_2 \subset A_1$のいずれかが成り立つ．$A_1 \subset A_2$とすると$x,y \in A_2$となる．よって$x-y \in A_2 \subset A_0$となる．また任意の$r \in R$に対して$rx \in A_2 \subset A_0$も成り立つ．$A_2 \subset A_1$であっても同様であるから，$A_0$は$R$のイデアルである．
$A_0$が単項であると仮定し，$A_0=(a)$($a \in R$)と表す．するとある$A \in C$が存在して$a \in A$となるから，$(a) \subset A \subset A_0$となる．また$A \subset A_0=(a)$も成り立つから$A=(a)$となるが，これは$A \in C \subset I$が単項でないことに矛盾する．よって$A_0$は単項イデアルではないので，$A_0 \in I$である．即ち$A_0$は$I$における$C$の上界であるから，Zornの補題によって$I$に極大元が存在する．(証明終)

$I$の極大元を$I_0$とする．$I_0$が素イデアルでないと仮定すると，$R$の元$a,b$で$a,b \notin I_0$かつ$ab \in I_0$を満たすものが存在する．ここでイデアル商
$$(I_0:a)=\{x \in R \, | \, x(a) \subset I_0\}=\{x \in R \, | \, xa \in I_0\}$$
を考える．明らかに$I_0 \subset (I_0:a)$である．$b \notin I_0$が$b \in (I_0:a)$を満たしていることから$I_0 \subsetneq (I_0:a)$となる．よって$I_0$の$I$における極大性から$(I_0:a)$は単項イデアルである．これよりある$r \in R$が存在して$(I_0:a)=(r)$と書ける．イデアル商$(I_0:r)$を考える．$I_0 \subset (I_0:r)$かつ$a \in (I_0:r)$であって，更に$a \notin I_0$であるから$I_0 \subsetneq (I_0:r)$となる．再び$I_0$の$I$における極大性から$(I_0:r)$は単項イデアルとなる．よって$(I_0:r)(r)$は単項イデアルである．
さて$(I_0:r)$の定義から$(I_0:r)(r) \subset I_0$が成り立つ．また$I_0 \subsetneq (I_0:a)=(r)$であることから，任意の$x \in I_0$に対してある$y \in R$が存在して$x=yr$と書ける．このときその定義から$y \in (I_0:r)$であるから，$I_0 \subset (I_0:r)(r)$である．よって$I_0=(I_0:r)(r)$が成り立つ．しかしこれは$I_0$が単項イデアルでないことに矛盾する．
従って$I_0$は素イデアルである．すると，$R$に対する仮定から$I_0$は単項でなければならず矛盾する．この矛盾は(1)で$R$に単項でないイデアルが存在すると仮定することで引き起こされているから，$R$の任意のイデアルは単項イデアルであることが従う．(証明終)