はじめに
今回はとある条件を満たす環が単項イデアル環であることを示す問題を持ってきました.
※代数学をやるそのうんたらの他の問題たちが
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問題と解答
単位元を持つ可換環において,素イデアルが全て単項であるとき,の全てのイデアルが単項であることを,次の二段階に分けて証明せよ.(阪大)
- が単項でないイデアルを持つとすれば,単項でないイデアル全体は極大元を持つ.
- の極大元は素イデアルである.
1
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Zornの補題によって主張を示す.仮定よりは空でない.に包含関係による順序を入れる.の任意の全順序部分集合を取り,とおく.任意のを取ると,となるが存在する.は全順序部分集合であるから,もしくはのいずれかが成り立つ.とするととなる.よってとなる.また任意のに対しても成り立つ.であっても同様であるから,はのイデアルである.
が単項であると仮定し,()と表す.するとあるが存在してとなるから,となる.またも成り立つからとなるが,これはが単項でないことに矛盾する.よっては単項イデアルではないので,である.即ちはにおけるの上界であるから,Zornの補題によってに極大元が存在する.(証明終)
2
証明を表示
の極大元をとする.が素イデアルでないと仮定すると,の元でかつを満たすものが存在する.ここでイデアル商
を考える.明らかにである.がを満たしていることからとなる.よってのにおける極大性からは単項イデアルである.これよりあるが存在してと書ける.イデアル商を考える.かつであって,更にであるからとなる.再びのにおける極大性からは単項イデアルとなる.よっては単項イデアルである.
さての定義からが成り立つ.またであることから,任意のに対してあるが存在してと書ける.このときその定義からであるから,である.よってが成り立つ.しかしこれはが単項イデアルでないことに矛盾する.
従っては素イデアルである.すると,に対する仮定からは単項でなければならず矛盾する.この矛盾は(1)でに単項でないイデアルが存在すると仮定することで引き起こされているから,の任意のイデアルは単項イデアルであることが従う.(証明終)
感想
(1)では脊髄反射的にZornの補題を使いますね.(2)ではの極大性をうまく使いたいので,より大きいイデアルをどうやって作り出すかが問題ですが,そこでイデアル商が活躍します.私はイデアル商を用いるまで時間がかかったので,これを機にイデアル商もすぐに取り出せる位置にしまっておきたいと思いました…
補足
上の結果から,が単項イデアル環であるかどうかを判定する際には,の素イデアルが全て単項であるかどうかを調べれば十分であることが分かります.調べる対象が減ってくれるので嬉しいですね.
また,の素イデアルが全て単項イデアルであるという仮定を用いる直前までを上の議論から切り取ることで,一般に単位元を持つ可換環に対して次の事実が成り立つことが分かります.
単位元を持つ可換環が単項でないイデアルを持つとする.このとき,の単項でないイデアル全体がなす集合には極大元が存在する.更には素イデアルである.
この命題が何に使えるかはまだ分かりませんが,可換環の1つの性質として覚えておくのも良いかもしれませんね.
また,上の証明の中ではイデアル商という名前よろしくという等式が成り立っていましたが,が単位元を持つ可換環というだけでは,のイデアルに対して
ということしか言えないことに注意しましょう.実際,上の2変数多項式環とそのイデアルに対して
が成り立ちます.この辺の話題についてはまた別の記事で書いてみたいなあと思っています.
今回の記事は以上です.
最後までお読みいただきありがとうございました.