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大学数学基礎解説
文献あり

代数学をやるその17 単項イデアル

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はじめに

今回はとある条件を満たす環が単項イデアル環であることを示す問題を持ってきました.

※代数学をやるそのうんたらの他の問題たちが こちらのまとめページ から見れます.良ければリンクをご利用ください.

問題と解答

単位元を持つ可換環Rにおいて,素イデアルが全て単項であるとき,Rの全てのイデアルが単項であることを,次の二段階に分けて証明せよ.(阪大)

  1. Rが単項でないイデアルを持つとすれば,単項でないイデアル全体Iは極大元を持つ.
  2. Iの極大元は素イデアルである.
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証明を表示

Zornの補題によって主張を示す.仮定よりIは空でない.Iに包含関係による順序を入れる.Iの任意の全順序部分集合Cを取り,A0=ACAとおく.任意のx,yA0を取ると,xA1,yA2となるA1,A2Cが存在する.Cは全順序部分集合であるから,A1A2もしくはA2A1のいずれかが成り立つ.A1A2とするとx,yA2となる.よってxyA2A0となる.また任意のrRに対してrxA2A0も成り立つ.A2A1であっても同様であるから,A0Rのイデアルである.
A0が単項であると仮定し,A0=(a)(aR)と表す.するとあるACが存在してaAとなるから,(a)AA0となる.またAA0=(a)も成り立つからA=(a)となるが,これはACIが単項でないことに矛盾する.よってA0は単項イデアルではないので,A0Iである.即ちA0IにおけるCの上界であるから,Zornの補題によってIに極大元が存在する.(証明終)

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証明を表示

Iの極大元をI0とする.I0が素イデアルでないと仮定すると,Rの元a,ba,bI0かつabI0を満たすものが存在する.ここでイデアル商
(I0:a)={xR|x(a)I0}={xR|xaI0}
を考える.明らかにI0(I0:a)である.bI0b(I0:a)を満たしていることからI0(I0:a)となる.よってI0Iにおける極大性から(I0:a)単項イデアルである.これよりあるrRが存在して(I0:a)=(r)と書ける.イデアル商(I0:r)を考える.I0(I0:r)かつa(I0:r)であって,更にaI0であるからI0(I0:r)となる.再びI0Iにおける極大性から(I0:r)は単項イデアルとなる.よって(I0:r)(r)は単項イデアルである
さて(I0:r)の定義から(I0:r)(r)I0が成り立つ.またI0(I0:a)=(r)であることから,任意のxI0に対してあるyRが存在してx=yrと書ける.このときその定義からy(I0:r)であるから,I0(I0:r)(r)である.よってI0=(I0:r)(r)が成り立つ.しかしこれはI0が単項イデアルでないことに矛盾する.
従ってI0は素イデアルである.すると,Rに対する仮定からI0は単項でなければならず矛盾する.この矛盾は(1)でRに単項でないイデアルが存在すると仮定することで引き起こされているから,Rの任意のイデアルは単項イデアルであることが従う.(証明終)

感想

(1)では脊髄反射的にZornの補題を使いますね.(2)ではI0の極大性をうまく使いたいので,I0より大きいイデアルをどうやって作り出すかが問題ですが,そこでイデアル商が活躍します.私はイデアル商を用いるまで時間がかかったので,これを機にイデアル商もすぐに取り出せる位置にしまっておきたいと思いました…

補足

上の結果から,Rが単項イデアル環であるかどうかを判定する際には,Rの素イデアルが全て単項であるかどうかを調べれば十分であることが分かります.調べる対象が減ってくれるので嬉しいですね.

また,Rの素イデアルが全て単項イデアルであるという仮定を用いる直前までを上の議論から切り取ることで,一般に単位元を持つ可換環に対して次の事実が成り立つことが分かります.

単位元を持つ可換環R単項でないイデアルを持つとする.このとき,Rの単項でないイデアル全体がなす集合には極大元Iが存在する.更にI素イデアルである.

この命題が何に使えるかはまだ分かりませんが,可換環の1つの性質として覚えておくのも良いかもしれませんね.

また,上の証明の中ではイデアルという名前よろしく(I0:r)(r)=I0という等式が成り立っていましたが,Rが単位元を持つ可換環というだけでは,RのイデアルI1,I2に対して
(I1:I2)I2I1
ということしか言えないことに注意しましょう.実際,Q上の2変数多項式環R=Q[X,Y]とそのイデアルI1=(X),I2=(Y)に対して
(I1:I2)I2=(X)(Y)=(XY)(X)=I1
が成り立ちます.この辺の話題についてはまた別の記事で書いてみたいなあと思っています.

今回の記事は以上です.
最後までお読みいただきありがとうございました.

参考文献

[1]
永田雅宜, 復刻版 大学院への代数学演習, 現代数学社, 2021
投稿日:2022729
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certain
certain
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素朴な問題が特に好きです.

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