代数学をやるその12　終結式が光る問題

集合
$$A:=\{a \in K \, | \, ある \,b \in K\, が存在して (a,b) \in C\}$$
$$B:=\{b \in K \, | \, ある \,a \in K\, が存在して (a,b) \in C\}$$
を定義しておく．要は$C$の元の第1成分全体からなる集合が$A$で，第2成分全体からなる集合が$B$である．このとき$C \subset A \times B$であることに注意する．
$f(x,y), g(x,y) \in (K[y])[x]$とみて，$f,g$の$x$に関する次数を$m,n$とする．$f,g$の終結式を$R(y) \in K[y]$とおく．このとき，$h_1,h_2 \in (K[y])[x]$で，$x$に関して${\rm deg}\,h_1 \leq n-1, \, {\rm deg}\,h_2 \leq m-1$かつ
$$h_1(x,y)f(x,y)+h_2(x,y)g(x,y)=R(y)$$
を満たすものが存在する(補題1)．$R(y)$が零多項式であるとすると，
$$h_1(x,y)f(x,y)=-h_2(x,y)g(x,y)$$
となる．$x$に関して${\rm deg}\,h_1 \leq n-1 < n={\rm deg}\,g$であることから，$g$の素因子全てが$h_1$を割り切ることはない．従って$g$の素因子で$f$を割り切るものが存在するが，これは$f,g$が共通因子を持たないことに矛盾．従って$R(y)$は零多項式ではない．$R(y)$は体上の1変数多項式で零多項式でないから，その根は高々有限個である．
$b \in B$とすると，ある$a \in K$が存在して$(a,b) \in C$となるから，$R(b)=0$が成り立つ．つまり$b \in B$は$R(y)$の根である．$R(y)$の根は高々有限個であったから$B$は高々有限な集合である．$B$が空でないとき，$B=\{b_1,\cdots,b_n\}$とし，
$$A_i=\{a \in K \, | \, f(a,b_i)=g(a,b_i)=0\}$$
とおく．$f(x,b_i)$は体上の1変数多項式であるからその根は高々有限個である．$(a,b_i) \in A_i$は$f(a,b_i)=0$を満たすから，$A_i$は高々有限な集合である．そして
$$A=\bigcup_{i=1}^nA_i$$
であるから，$A$も高々有限な集合である．$C \subset A \times B$であったから，$C$も高々有限な集合である．(証明終)

$a_0, \cdots, a_m,b_0, \cdots ,b_n \in A$によって
$$f(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0$$
$$g(x)=b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0$$
と表す．このとき，
$$\begin{split} x^{n-1}f(x) &= a_mx^{m+n-1}+\cdots+a_1x^n+a_0x^{n-1} \\ &\vdots \\ xf(x) &=a_mx^{m+1}+\cdots+a_1x^2+a_0x \\ f(x) &= a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0 \\ \\ x^{m-1}g(x) &= b_nx^{m+n-1}+\cdots+b_1x^m+b_0x^{m-1} \\ &\vdots \\ xg(x) &= b_nx^{n+1}+\cdots+b_1x^2+b_0x \\ g(x) &= b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0 \end{split}$$
が成り立つので，行列を用いて表すと，
$$\left(\begin{array}{c} x^{n-1}f(x) \\ \vdots \\ xf(x) \\ f(x) \\ x^{m-1}g(x) \\ \vdots \\ xg(x) \\ g(x) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccccccc} a_m & a_{m-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ & a_m & a_{m-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \ddots & \\ & & & a_m & a_{m-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1 & b_0 \\ & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1 & b_0 \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \ddots & \\ & & & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1 & b_0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x^{m+n-1} \\ x^{m+n-2} \\ \vdots \\ x \\ 1 \end{array}\right)$$
となる．右辺の行列を$M$とし，$M$の随伴行列を$M'$とすると，一般論から
$$MM'=M'M=R(f,g)I$$
が成り立つ．ここで$I$は単位行列である．従って，今の等式に左から$M'$を掛けると
$$M'\left(\begin{array}{c} x^{n-1}f(x) \\ \vdots \\ xf(x) \\ f(x) \\ x^{m-1}g(x) \\ \vdots \\ xg(x) \\ g(x) \end{array}\right)=R(f,g)\left(\begin{array}{c} x^{m+n-1} \\ x^{m+n-2} \\ \vdots \\ x \\ 1 \end{array}\right)$$
が成り立つ．$M'$の第$m+n$行を$c_1,\cdots,c_{m+n}$とすると，両辺の第$m+n$成分を比較することで
$$(c_1x^{n-1}+\cdots+c_{n-1}x+c_n)f(x)+(c_{n+1}x^{m-1}+\cdots+c_{m+n-1}x+c_{m+n})g(x)=R(f,g)$$
が成り立つ．よって題意は示された．(証明終)