代数学をやるその15　冪等元からなる環

はじめに

今回は冪等元からなる環についての問題を持ってきました．

※代数学をやるそのうんたらの他の問題たちが こちらのまとめページ から見れます．良ければリンクをご利用ください．

問題と解答

感想

2つの方法を挙げていますが，前者は本に載っていた方針，後者は私が考えた方針です．前者の方がゴールまでの道のりが少し短いかなと思います．どちらも$xyx=yxy \, (x,y \in R)$という等式を導くところまでが勝負でした．

具体例

実際に任意の元が冪等であるような環で今示した事実を確かめてみます．

まず，単位元を持たない$R$の例として$3\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$があります．これは単位元を持たない環ですが，$\overline{0}^2=\overline{0}, \, \overline{3}^2=\overline{9}=\overline{3}$を満たすので，任意の元が冪等元です．同様に，任意の素数$p$に対して環$p\mathbb{Z}/2p\mathbb{Z}$は任意の元が冪等であるが単位元を持たない環となります．これらが積について可換であることは明らかですね．

次に，$R$が単位元$1$を持つとします．上で示したことから$1=-1$が成り立つので$2=0$となります．即ち，$R$は$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$を含むとみなせることが分かります．任意の$x \in R$が冪等であることから$x(x-1)=x^2-x=0$が成り立つので，$R$が整域であるとすると$x=0,1$となります．即ち$R=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$であり，$R$が整域である場合は完全に構造が決定されます．よって$R$が整域でない場合が本質的です．
整域でない例を考えるために，$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の元を成分に持つ$n \times n$次行列環$M_n(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$($n \geq 2$)を取ります．行列単位を$E_{ij}$($(i,j)$成分のみが$1$で他は$0$である行列)とおき，$M_n(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$の部分集合
$$R':=\left\{\sum_{1 \leq i \leq n}a_{i}E_{ii} \, \middle| \, a_{i} \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \, (1 \leq i \leq n)\right\}(=(対角以外は全て0であるような元全体の集合))$$
について考えます．$R'$が$M_n(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$の部分環であることは直ぐに分かります．また，任意の$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の元が冪等であることと$E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$であることから
$$\left(\sum_{1 \leq i \leq n}a_{i}E_{ii} \right)^2=\sum_{1 \leq i,j \leq n}a_ia_jE_{ii}E_{jj}=\sum_{1 \leq i \leq n}a_{i}E_{ii}$$
も成り立ちます．しかし，例えば$E_{11}E_{22}=0$なので$R'$は整域ではありません．即ち，$R'$は任意の元が冪等かつ単位元を持つ環であるが整域ではない例となっています．$R'$が積について可換であることは$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$が積について可換であることから直ぐに従います．つまり，この場合も上で示した事実がちゃんと成り立ってるということですね．

今回の記事は以上です．
最後までお読み頂きありがとうございました．