代数学をやるその8　Q上のガロア拡大の例

$$\zeta_n={\rm exp}\left(\frac{2\pi \sqrt{-1}}{n}\right)$$
とおく．円分体の理論から拡大$\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大で，
$$[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n), \hspace{0.2in} {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$$
が成り立つ．ここで$\varphi$はオイラー関数を表す．$n$に素数$p$を代入すると，
$$[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}]=\varphi(p)=p-1, \hspace{0.2in} {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$$
が成り立つ．今回はこれらを用いて例を作ることにする．

$p$を素数とする．$[\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}]=p-1$であるから$\mathbb{Q}(\zeta_p)$は$\mathbb{Q}$の$p-1$次ガロア拡大である．また，
$${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$$
であり，$\frac{p-1}{2}\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$の唯一の位数$2$の正規部分群である．よって$\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}$の部分体$M$で$\mathbb{Q}$上$\frac{p-1}{2}$次ガロア拡大となるものが(唯一つ)存在する．即ち
$$[M:\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2}, \hspace{0.2in} [\mathbb{Q}(\zeta_p):M]=2$$
である．$a$を$p$の原始根とする．即ち，$\overline{a} \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$は生成元である．このとき$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1\,{\rm mod} \, p$に注意する．$\sigma \in {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$を$\sigma(\zeta_p)=\zeta_p^a$を満たすものとして定めると，$\sigma$は${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$の生成元である．$M$は$\sigma^{\frac{p-1}{2}}$で不変な元全体からなる体である．$\zeta_p$に$\sigma^{\frac{p-1}{2}}$を作用させると
$$\sigma^{\frac{p-1}{2}}(\zeta_p)=\zeta_p^{a^{\frac{p-1}{2}}}=\zeta_p^{-1} \hspace{0.2in} (\because a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \, {\rm mod} \, p)$$
となるから，$\zeta_p+\zeta_p^{-1}$は$\sigma^{\frac{p-1}{2}}$で不変な元である．これより，
$$\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1}) \subset M$$
が成り立つ．
さて，仮に$\zeta_p \in \mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$であるとすると，$\mathbb{Q}(\zeta_p)=\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$となり，
$$\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1}) \subset M \subset \mathbb{Q}(\zeta_p)$$
であることから$M=\mathbb{Q}(\zeta_p)$となって矛盾．従って$\zeta_p \notin \mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$である．また，$(\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1}))(\zeta_p)=\mathbb{Q}(\zeta_p)$が成り立つ．$\zeta_p,\zeta_p^{-1}$は$\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$上の$2$次多項式
$$t^2-(\zeta_p+\zeta_p^{-1})t+1$$
の根である．$\zeta_p \notin \mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$よりこの多項式は$\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$上既約である．これより，$[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})]=2$が成り立つ．すると$[\mathbb{Q}(\zeta_p):M]=2$であったから$M=\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$が成り立つ．$\zeta_p+\zeta_p^{-1}=2\cos\frac{2\pi}{p}$であるから，
$$M=\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{p} \right)$$
とも書ける．

これより$\mathbb{Q}$のガロア拡大を色々作ることができる．例えば，
$$p=3 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_3) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 2 \, 次ガロア拡大$$
$$p=5 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_5) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 4 \, 次ガロア拡大，\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{5} \right) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 2 \, 次ガロア拡大$$
$$p=7 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_7) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 6 \, 次ガロア拡大，\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{7} \right) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 3 \, 次ガロア拡大$$
$$p=11 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_{11}) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 10 \, 次ガロア拡大，\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{11} \right) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 5 \, 次ガロア拡大$$
$$p=13 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_{13}) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 12 \, 次ガロア拡大，\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{13} \right) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 6 \, 次ガロア拡大$$
$$p=17 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_{17}) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 16 \, 次ガロア拡大，\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{17} \right) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 8 \, 次ガロア拡大$$
$$p=19 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_{19}) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 18 \, 次ガロア拡大，\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{19} \right) \, は \, \mathbb{Q} \, の \, 9 \, 次ガロア拡大$$
以上より，$n=7$の場合以外は$\mathbb{Q}$の$n$次ガロア拡大の例が構成できた．

$\mathbb{Q}$の$7$次ガロア拡大の例を求めるために，拡大$\mathbb{Q}(\zeta_{29})/\mathbb{Q}$について考える．ここで$29$という数字を取ってきたのは，$\varphi(n)$が$7$で割れる最小の$n$が$29$だからである．この拡大のガロア群は
$${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{29})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$$
である．$2$は$29$の原始根であるから，$\sigma \in {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{29})/\mathbb{Q})$を$\sigma(\zeta_{29})=\zeta_{29}^2$を満たすものとすると，$\sigma$は${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{29})/\mathbb{Q})$の生成元となる．$7\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$の唯一の位数$4$の正規部分群である．よって，$7\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$に対応する$\mathbb{Q}(\zeta_{29})/\mathbb{Q}$の中間体$M$が唯一つ存在して，$\mathbb{Q}(\zeta_{29})/M$が$4$次ガロア拡大，$M/\mathbb{Q}$が$7$次ガロア拡大となる．$M$は$\sigma^7$で固定される$\mathbb{Q}(\zeta_{29})$の元全体からなる体に等しい．
$$\zeta_{29} \xrightarrow{\sigma^7} \zeta_{29}^{12} \xrightarrow{\sigma^7} \zeta_{29}^{-1} \xrightarrow{\sigma^7} \zeta_{29}^{-12} \xrightarrow{\sigma^7} \zeta_{29}$$
が成り立つので，$\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12}$は$\sigma^7$で不変である．従って，
$$\mathbb{Q}(\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12}) \subset M$$
が成り立つ．$K=\mathbb{Q}(\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12})$とおく．$[M:\mathbb{Q}]=7$であるから，$[M:K]$は$1$か$7$に等しい．仮に$[M:K]=7$とすると$K=\mathbb{Q}$である．これより$\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12} \in \mathbb{Q}$となるので
$$\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12}=\sigma(\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12})=\zeta_{29}^2+\zeta_{29}^{-2}+\zeta_{29}^{24}+\zeta_{29}^{-24}$$
であるから，両辺に$\zeta_{29}^{24}$を掛けて移項すると
$$\zeta_{29}^{26}+\zeta_{29}^{22}+\zeta_{29}^{19}+1-(\zeta_{29}^{25}+\zeta_{29}^{23}+\zeta_{29}^{7}+\zeta_{29}^{12})=0$$
となる．即ち，$\zeta_{29}$が$\mathbb{Q}$上の$26$次多項式
$$x^{26}-x^{25}-x^{23}+x^{22}+x^{19}-x^{12}-x^7+1=0$$
の根となる．しかし，$\zeta_{29}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は
$$\frac{x^{29}-1}{x-1}$$
という$28$次の多項式であるから矛盾．従って$[M:K]=1$即ち
$$M=K=\mathbb{Q}(\zeta_{29}+\zeta_{29}^{-1}+\zeta_{29}^{12}+\zeta_{29}^{-12})=\mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{29}+\cos\frac{24\pi}{29} \right)$$
が成り立つ．

以上より解答は次の通りである．(終)
$$n=2 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_3), \hspace{0.1in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{5} \right)$$
$$n=3 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{7} \right)$$
$$n=4 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_5)$$
$$n=5 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{11}\right)$$
$$n=6 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_7), \hspace{0.1in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{13} \right)$$
$$n=7 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{29}+\cos\frac{24\pi}{29} \right)$$
$$n=8 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{17} \right)$$
$$n=9 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}\left(\cos\frac{2\pi}{19} \right)$$
$$n=10 \hspace{0.2in} \longrightarrow \hspace{0.2in} \mathbb{Q}(\zeta_{11})$$

ディリクレの算術級数定理より，$2$以上の任意の$n$に対して$p=an+1$となる素数$p$が存在する．全ての$n$に対してそのような素数$p_n$と$p_n=a_nn+1$を満たす整数$a_n(\geq 2)$の内最小のものを取っておく．$\zeta_n$は上で用いたものと同じものとする．

$[\mathbb{Q}(\zeta_{p_n})/\mathbb{Q}]=p_n-1=a_nn$であるから$\mathbb{Q}(\zeta_p)$は$\mathbb{Q}$の$a_nn$次ガロア拡大である．また，
$${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p_n})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/(p_n-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}$$
であり，$n\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}$の唯一の指数$n$の正規部分群である($a_n \geq 2$より$n\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}$は自明部分群でないことに注意)．よって$\mathbb{Q}(\zeta_{p_n})/\mathbb{Q}$の部分体$M$で$\mathbb{Q}$上$n$次ガロア拡大となるものが(唯一つ)存在する．即ち
$$[M:\mathbb{Q}]=n, \hspace{0.2in} [\mathbb{Q}(\zeta_p):M]=a_n$$
である．$l$を$p_n$の原始根とする．即ち，$\overline{l} \in (\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z})^{\times}$は生成元である．$\sigma \in {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p_n})/\mathbb{Q})$を$\sigma(\zeta_{p_n})=\zeta_{p_n}^l$を満たすものとして定めると，$\sigma$は${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p_n})/\mathbb{Q})$の生成元である．$M$は$\sigma^{n}$で不変な元全体からなる体である．$\zeta_{p_n}$に$\sigma^{n}$を作用させると
$$\zeta_{p_n} \xrightarrow{\sigma^{n}} \zeta_{p_n}^{l^{n}} \xrightarrow{\sigma^{n}} \zeta_{p_n}^{l^{2n}} \xrightarrow{\sigma^{n}} \cdots \xrightarrow{\sigma^{n}} \zeta_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}} \xrightarrow{\sigma^{n}} \zeta_{p_n}^{a_nn}=\zeta_{p_n}$$
となるから，
$$\zeta := \zeta_{p_n}+\zeta_{p_n}^{l^n}+\zeta_{p_n}^{l^{2n}}+\cdots+\zeta_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}$$
は$\sigma^{n}$で不変な元である．これより，
$$\mathbb{Q}(\zeta) \subset M$$
が成り立つ．$[M:\mathbb{Q}]=n$であったから，$n'=[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]$とおくと$n'$は$n$の約数である．
$n=2$のときは$p_2=5, \, a_2=2$となるので，上の問題の中で示したことから$n=n'$となる．$n >2$とする．ガロア理論から，$\mathbb{Q}(\zeta)$に対応する${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p_n})/\mathbb{Q})=\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}$の部分群は，$n'\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}$である．従って，$\mathbb{Q}(\zeta)$の元は$\sigma^{n'}$で不変であるから，
$$\zeta_{p_n}+\zeta_{p_n}^{l^n}+\cdots+\zeta_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}=\zeta=\sigma^{n'}(\zeta)=\zeta_{p_n}^{l^{n'}}+\zeta_{p_n}^{l^{n+n'}}+\zeta_{p_n}^{l^{2n+n'}}+\cdots+\zeta_{p_n}^{l^{(a_n-1)n+n'}}$$
が成り立つ．$n'< n$であると仮定すると，右辺と左辺に共通する$\zeta_{p_n}$の項が存在しないので，$\zeta_{p_n}$は$2a_n$個の項を持つ$\mathbb{Q}$上の高々$na_n$次の多項式の根となる．しかし，$\zeta_{p_n}$は$na_n$個の項を持つ$\mathbb{Q}$上の既約多項式
$$\frac{x^{p_n}-1}{x-1}=\frac{x^{a_nn+1}-1}{x-1}$$
の根であったので矛盾．従って$n=n'$でなくてはならない．結局，全ての$n \geq 2$に対して$n'=n$であり，
$$M=\mathbb{Q}(\zeta)=\mathbb{Q}(\zeta_{p_n}+\zeta_{p_n}^{l^n}+\zeta_{p_n}^{l^{2n}}+\cdots+\zeta_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}), \hspace{0.2in} [\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=n$$
$${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z})/(n\mathbb{Z}/a_nn\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$
が成り立つ．よって，$K_n=\mathbb{Q}(\zeta)$とすれば，これが求める拡大体である．(証明終)