代数学をやるその8　Q上のガロア拡大の例

$${\zeta }_n=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{2\pi \sqrt{-1}}{n}\right)$$
とおく．円分体の理論から拡大$\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大で，
$$[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\phi (n),\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$$
が成り立つ．ここで$\phi$はオイラー関数を表す．$n$に素数$p$を代入すると，
$$[\mathbb{Q}({\zeta }_p):\mathbb{Q}]=\phi (p)=p-1,\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$$
が成り立つ．今回はこれらを用いて例を作ることにする．

$p$を素数とする．$[\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}]=p-1$であるから$\mathbb{Q}({\zeta }_p)$は$\mathbb{Q}$の$p-1$次ガロア拡大である．また，
$$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$$
であり，$\frac{p-1}{2}\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$の唯一の位数$2$の正規部分群である．よって$\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}$の部分体$M$で$\mathbb{Q}$上$\frac{p-1}{2}$次ガロア拡大となるものが(唯一つ)存在する．即ち
$$[M:\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2},[\mathbb{Q}({\zeta }_p):M]=2$$
である．$a$を$p$の原始根とする．即ち，$\bar{a}\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$は生成元である．このとき$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$に注意する．$\sigma \in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})$を$\sigma ({\zeta }_p)={\zeta }_p^a$を満たすものとして定めると，$\sigma$は$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})$の生成元である．$M$は${\sigma }^{\frac{p-1}{2}}$で不変な元全体からなる体である．${\zeta }_p$に${\sigma }^{\frac{p-1}{2}}$を作用させると
$${\sigma }^{\frac{p-1}{2}}({\zeta }_p)={\zeta }_p^{a^{\frac{p-1}{2}}}={\zeta }_p^{-1}(\because a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
となるから，${\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1}$は${\sigma }^{\frac{p-1}{2}}$で不変な元である．これより，
$$\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})\subset M$$
が成り立つ．
さて，仮に${\zeta }_p\in \mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$であるとすると，$\mathbb{Q}({\zeta }_p)=\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$となり，
$$\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})\subset M\subset \mathbb{Q}({\zeta }_p)$$
であることから$M=\mathbb{Q}({\zeta }_p)$となって矛盾．従って${\zeta }_p\notin \mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$である．また，$(\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1}))({\zeta }_p)=\mathbb{Q}({\zeta }_p)$が成り立つ．${\zeta }_p,{\zeta }_p^{-1}$は$\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$上の$2$次多項式
$$t^2-({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})t+1$$
の根である．${\zeta }_p\notin \mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$よりこの多項式は$\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$上既約である．これより，$[\mathbb{Q}({\zeta }_p):\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})]=2$が成り立つ．すると$[\mathbb{Q}({\zeta }_p):M]=2$であったから$M=\mathbb{Q}({\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1})$が成り立つ．${\zeta }_p+{\zeta }_p^{-1}=2\cos \frac{2\pi }{p}$であるから，
$$M=\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{p})$$
とも書ける．

これより$\mathbb{Q}$のガロア拡大を色々作ることができる．例えば，
$$p=3⟶\mathbb{Q}({\zeta }_3)は\mathbb{Q}の2次ガロア拡大$$
$$p=5⟶\mathbb{Q}({\zeta }_5)は\mathbb{Q}の4次ガロア拡大，\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{5})は\mathbb{Q}の2次ガロア拡大$$
$$p=7⟶\mathbb{Q}({\zeta }_7)は\mathbb{Q}の6次ガロア拡大，\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{7})は\mathbb{Q}の3次ガロア拡大$$
$$p=11⟶\mathbb{Q}({\zeta }_{11})は\mathbb{Q}の10次ガロア拡大，\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{11})は\mathbb{Q}の5次ガロア拡大$$
$$p=13⟶\mathbb{Q}({\zeta }_{13})は\mathbb{Q}の12次ガロア拡大，\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{13})は\mathbb{Q}の6次ガロア拡大$$
$$p=17⟶\mathbb{Q}({\zeta }_{17})は\mathbb{Q}の16次ガロア拡大，\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{17})は\mathbb{Q}の8次ガロア拡大$$
$$p=19⟶\mathbb{Q}({\zeta }_{19})は\mathbb{Q}の18次ガロア拡大，\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{19})は\mathbb{Q}の9次ガロア拡大$$
以上より，$n=7$の場合以外は$\mathbb{Q}$の$n$次ガロア拡大の例が構成できた．

$\mathbb{Q}$の$7$次ガロア拡大の例を求めるために，拡大$\mathbb{Q}({\zeta }_{29})/\mathbb{Q}$について考える．ここで$29$という数字を取ってきたのは，$\phi (n)$が$7$で割れる最小の$n$が$29$だからである．この拡大のガロア群は
$$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{29})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$$
である．$2$は$29$の原始根であるから，$\sigma \in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{29})/\mathbb{Q})$を$\sigma ({\zeta }_{29})={\zeta }_{29}^2$を満たすものとすると，$\sigma$は$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{29})/\mathbb{Q})$の生成元となる．$7\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$の唯一の位数$4$の正規部分群である．よって，$7\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$に対応する$\mathbb{Q}({\zeta }_{29})/\mathbb{Q}$の中間体$M$が唯一つ存在して，$\mathbb{Q}({\zeta }_{29})/M$が$4$次ガロア拡大，$M/\mathbb{Q}$が$7$次ガロア拡大となる．$M$は${\sigma }^7$で固定される$\mathbb{Q}({\zeta }_{29})$の元全体からなる体に等しい．
$${\zeta }_{29}\stackrel{{\sigma }^7}{\to }{\zeta }_{29}^{12}\stackrel{{\sigma }^7}{\to }{\zeta }_{29}^{-1}\stackrel{{\sigma }^7}{\to }{\zeta }_{29}^{-12}\stackrel{{\sigma }^7}{\to }{\zeta }_{29}$$
が成り立つので，${\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12}$は${\sigma }^7$で不変である．従って，
$$\mathbb{Q}({\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12})\subset M$$
が成り立つ．$K=\mathbb{Q}({\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12})$とおく．$[M:\mathbb{Q}]=7$であるから，$[M:K]$は$1$か$7$に等しい．仮に$[M:K]=7$とすると$K=\mathbb{Q}$である．これより${\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12}\in \mathbb{Q}$となるので
$${\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12}=\sigma ({\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12})={\zeta }_{29}^2+{\zeta }_{29}^{-2}+{\zeta }_{29}^{24}+{\zeta }_{29}^{-24}$$
であるから，両辺に${\zeta }_{29}^{24}$を掛けて移項すると
$${\zeta }_{29}^{26}+{\zeta }_{29}^{22}+{\zeta }_{29}^{19}+1-({\zeta }_{29}^{25}+{\zeta }_{29}^{23}+{\zeta }_{29}^7+{\zeta }_{29}^{12})=0$$
となる．即ち，${\zeta }_{29}$が$\mathbb{Q}$上の$26$次多項式
$$x^{26}-x^{25}-x^{23}+x^{22}+x^{19}-x^{12}-x^7+1=0$$
の根となる．しかし，${\zeta }_{29}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は
$$\frac{x^{29}-1}{x-1}$$
という$28$次の多項式であるから矛盾．従って$[M:K]=1$即ち
$$M=K=\mathbb{Q}({\zeta }_{29}+{\zeta }_{29}^{-1}+{\zeta }_{29}^{12}+{\zeta }_{29}^{-12})=\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{29}+\cos \frac{24\pi }{29})$$
が成り立つ．

以上より解答は次の通りである．(終)
$$n=2⟶\mathbb{Q}({\zeta }_3),\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{5})$$
$$n=3⟶\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{7})$$
$$n=4⟶\mathbb{Q}({\zeta }_5)$$
$$n=5⟶\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{11})$$
$$n=6⟶\mathbb{Q}({\zeta }_7),\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{13})$$
$$n=7⟶\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{29}+\cos \frac{24\pi }{29})$$
$$n=8⟶\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{17})$$
$$n=9⟶\mathbb{Q}(\cos \frac{2\pi }{19})$$
$$n=10⟶\mathbb{Q}({\zeta }_{11})$$

ディリクレの算術級数定理より，$2$以上の任意の$n$に対して$p=an+1$となる素数$p$が存在する．全ての$n$に対してそのような素数$p_n$と$p_n=a_{n}n+1$を満たす整数$a_n(\ge 2)$の内最小のものを取っておく．${\zeta }_n$は上で用いたものと同じものとする．

$[\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n})/\mathbb{Q}]=p_n-1=a_{n}n$であるから$\mathbb{Q}({\zeta }_p)$は$\mathbb{Q}$の$a_{n}n$次ガロア拡大である．また，
$$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/(p_n-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z}$$
であり，$n\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z}$の唯一の指数$n$の正規部分群である($a_n\ge 2$より$n\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z}$は自明部分群でないことに注意)．よって$\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n})/\mathbb{Q}$の部分体$M$で$\mathbb{Q}$上$n$次ガロア拡大となるものが(唯一つ)存在する．即ち
$$[M:\mathbb{Q}]=n,[\mathbb{Q}({\zeta }_p):M]=a_n$$
である．$l$を$p_n$の原始根とする．即ち，$\bar{l}\in (\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}{)}^{\times }$は生成元である．$\sigma \in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n})/\mathbb{Q})$を$\sigma ({\zeta }_{p_n})={\zeta }_{p_n}^l$を満たすものとして定めると，$\sigma$は$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n})/\mathbb{Q})$の生成元である．$M$は${\sigma }^n$で不変な元全体からなる体である．${\zeta }_{p_n}$に${\sigma }^n$を作用させると
$${\zeta }_{p_n}\stackrel{{\sigma }^n}{\to }{\zeta }_{p_n}^{l^n}\stackrel{{\sigma }^n}{\to }{\zeta }_{p_n}^{l^{2n}}\stackrel{{\sigma }^n}{\to }\cdots \stackrel{{\sigma }^n}{\to }{\zeta }_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}\stackrel{{\sigma }^n}{\to }{\zeta }_{p_n}^{a_{n}n}={\zeta }_{p_n}$$
となるから，
$$\zeta :={\zeta }_{p_n}+{\zeta }_{p_n}^{l^n}+{\zeta }_{p_n}^{l^{2n}}+\cdots +{\zeta }_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}$$
は${\sigma }^n$で不変な元である．これより，
$$\mathbb{Q}(\zeta )\subset M$$
が成り立つ．$[M:\mathbb{Q}]=n$であったから，$n^{\prime }=[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]$とおくと$n^{\prime }$は$n$の約数である．
$n=2$のときは$p_2=5,a_2=2$となるので，上の問題の中で示したことから$n=n^{\prime }$となる．$n>2$とする．ガロア理論から，$\mathbb{Q}(\zeta )$に対応する$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n})/\mathbb{Q})=\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z}$の部分群は，$n^{\prime }\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z}$である．従って，$\mathbb{Q}(\zeta )$の元は${\sigma }^{n^{\prime }}$で不変であるから，
$${\zeta }_{p_n}+{\zeta }_{p_n}^{l^n}+\cdots +{\zeta }_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}=\zeta ={\sigma }^{n^{\prime }}(\zeta )={\zeta }_{p_n}^{l^{n^{\prime }}}+{\zeta }_{p_n}^{l^{n+n^{\prime }}}+{\zeta }_{p_n}^{l^{2n+n^{\prime }}}+\cdots +{\zeta }_{p_n}^{l^{(a_n-1)n+n^{\prime }}}$$
が成り立つ．$n^{\prime }<n$であると仮定すると，右辺と左辺に共通する${\zeta }_{p_n}$の項が存在しないので，${\zeta }_{p_n}$は$2a_n$個の項を持つ$\mathbb{Q}$上の高々$n{a}_n$次の多項式の根となる．しかし，${\zeta }_{p_n}$は$n{a}_n$個の項を持つ$\mathbb{Q}$上の既約多項式
$$\frac{x^{p_n}-1}{x-1}=\frac{x^{a_{n}n+1}-1}{x-1}$$
の根であったので矛盾．従って$n=n^{\prime }$でなくてはならない．結局，全ての$n\ge 2$に対して$n^{\prime }=n$であり，
$$M=\mathbb{Q}(\zeta )=\mathbb{Q}({\zeta }_{p_n}+{\zeta }_{p_n}^{l^n}+{\zeta }_{p_n}^{l^{2n}}+\cdots +{\zeta }_{p_n}^{l^{(a_n-1)n}}),[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=n$$
$$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z})/(n\mathbb{Z}/a_{n}n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$
が成り立つ．よって，$K_n=\mathbb{Q}(\zeta )$とすれば，これが求める拡大体である．(証明終)