代数学をやるその9　ガロア拡大のありがちな問題

仮定より$b\ne 0$であることに注意する．また，$a=0$とすると$b=1=1^2$となって仮定に反するので$a\ne 0$である．$F$の標数が$2$であるとすると，
$$b=1+a^2=(1+a{)}^2$$
となり，$b$の平方根が$F$の中に存在しないという仮定に反する．よって$F$の標数は$2$ではない．$\bar{F}$を$F$の代数閉包とする．解の公式から$\pm \sqrt{b\pm \sqrt{b}}\in \bar{F}$が$X^4-2bX+a^{2}b$の全ての根となることが分かる．$f(X)=X^4-2b{X}^2+a^{2}b$，$\alpha =\sqrt{b+\sqrt{b}}$とおく．$\sqrt{b}={\alpha }^2-b\in F(\alpha )$であるから，体の拡大列
$$F⊊F(\sqrt{b})\subset F(\alpha )$$
を得る．$\sqrt{b}\notin F$であることと$\sqrt{b}$が多項式$X^2-b$の根であることから，$[F(\sqrt{b}):F]=2$である．$\alpha \in F(\sqrt{b})$と仮定する．このとき，$x,y\in F$が存在して$\alpha =x+y\sqrt{b}$と書ける．すると，
$$b+\sqrt{b}={\alpha }^2=x^2+b{y}^2+2xy\sqrt{b}$$
となるから，$b=x^2+b{y}^2$かつ$1=2xy$となる．後者の式から$x\ne 0$かつ$y=\frac{1}{2x}$となるから($\mathrm{c}\mathrm{h}F\ne 2$に注意)
$$b=x^2+\frac{b}{4x^2}$$
$$4x^4-4b{x}^2+b=0$$
$$x^2=\frac{b\pm a\sqrt{b}}{2}(\mathrm{c}\mathrm{h}F\ne 2に注意)$$
$$\sqrt{b}=\pm \frac{2x^2-b}{a}\in F(\because a\ne 0)$$
が成り立つが，これは仮定$\sqrt{b}\notin F$に矛盾．よって$\alpha \notin F(\sqrt{b})$である．$\alpha$は$F(\sqrt{b})$上の多項式$X^2-(b+\sqrt{b})$の根であることを考えると，$[F(\alpha ):F(\sqrt{b})]=2$が成り立つ．これより
$$[F(\alpha ):F]=[F(\alpha ):F(\sqrt{b})][F(\sqrt{b}):F]=4$$
となるので，$\alpha$の$F$上の最小多項式は$f(X)$である．これより，$\alpha$の$F$上の共役が$\pm \sqrt{b\pm \sqrt{b}}$で全てであることも分かる．

さて，$\sqrt{b}={\alpha }^2-b\in F(\alpha )$であることと$\sqrt{b+\sqrt{b}}\cdot \sqrt{b-\sqrt{b}}=a\sqrt{b}$であることから，
$$\sqrt{b-\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b+\sqrt{b}}}\in F(\alpha )$$
が成り立つ．よって，$\pm \sqrt{b\pm \sqrt{b}}\in F(\alpha )$であるから，$K=F(\alpha )$と書ける．更に$K/F$が正規拡大であることも分かる．

$K/F=F(\alpha )/F$が分離拡大であることを示す．$f(X)$の微分$f^{\prime }(X)$は
$$f^{\prime }(X)=4X^3-4bX=4X(X^2-b)$$
である．$F$の標数は$2$でないから，$f^{\prime }(X)$は零多項式ではない．仮に$\pm \sqrt{b\pm \sqrt{b}}$のいずれかが$0$であるとすると，
$$b\pm \sqrt{b}=0⟹\pm \sqrt{b}=-b,⟹b=b^2$$
となって仮定に矛盾．また，$\pm \sqrt{b\pm \sqrt{b}}$のいずれかが多項式$X^2-b$の根であるとすると，
$$b\pm \sqrt{b}-b=0⟹b=0$$
となるのでやはり矛盾．従って$f(X)$は重根を持たないから，$K/F$は分離拡大である．以上より，$K/F$がガロア拡大であることが示された．(証明終)

1の結果から$|\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K/F)|=4$である．$\sigma \in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K/F)$を
$$\sigma (\sqrt{b+\sqrt{b}})=\sqrt{b-\sqrt{b}}$$
を満たす元とする．このとき，
$$b-\sqrt{b}={\left(\sigma \left(\sqrt{b+\sqrt{b}}\right)\right)}^2=\sigma ((b+\sqrt{b}{)}^2)=\sigma (b+\sqrt{b})=b+\sigma (\sqrt{b})$$
となるので，$\sigma (\sqrt{b})=-\sqrt{b}$である．すると，$\sqrt{b-\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b+\sqrt{b}}}$から
$$\sigma \left(\sqrt{b-\sqrt{b}}\right)=\sigma \left(\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b+\sqrt{b}}}\right)=\frac{a\cdot \sigma (\sqrt{b})}{\sigma (\sqrt{b+\sqrt{b}})}=\frac{-a\sqrt{b}}{\sqrt{b-\sqrt{b}}}=-\sqrt{b+\sqrt{b}}$$
が成り立つ．従って，${\sigma }^2(\sqrt{b+\sqrt{b}})=-\sqrt{b+\sqrt{b}}$である．これより${\sigma }^3(\sqrt{b+\sqrt{b}})=-\sqrt{b-\sqrt{b}}$，${\sigma }^4(\sqrt{b+\sqrt{b}})=\sqrt{b+\sqrt{b}}$であるから，$\sigma$の位数は$4$である．よって$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K/F)=⟨\sigma ⟩$となるので，$\underset{―}{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K/F)\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}$である．(終)

ガロアの基本定理から，$K/F$の中間体は$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K/F)\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$の部分群に1対1に対応する．$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$の自明でない部分群は$2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$のみである．これに対応する部分体は${\sigma }^2$で固定される元全体からなる体である．その体を$M$とおくと$[M:F]=2$である．2で計算したことから${\sigma }^2(\sqrt{b})=\sqrt{b}$が成り立つので，$F(\sqrt{b})\subset M$が成り立つ．1での計算から$[F(\sqrt{b}):F]=2$であったから，$[F(\sqrt{b}):M]=1$となる．即ち$\underset{―}{M=F(\sqrt{b})}$であり，これが求めるべき部分体である．(終)