代数学をやるその16　とある環の自己同型群

$\pi : \mathbb{Q}[X] \rightarrow K$を標準全射とする．$\mathbb{Q}$の元は自然に$K$に埋め込めるので，$a \in \mathbb{Q}$の$\pi$による像も$a$と書くことにする．$K$の任意の元は$a_0,\cdots,a_{n-1} \in \mathbb{Q}$によって$a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1}$と一意的に表されることに注意する．

$\sigma:K \rightarrow K$を(同型とは限らない)環準同型とすると，$\sigma(0)=0, \, \sigma(1)=1$が成り立つ．これより任意の$m \in \mathbb{Z}$に対して$\sigma(m)=m$が成り立つ．即ち$\sigma$は$\mathbb{Z}$の元を不変にする．すると素因数分解を考えることで，$\sigma$が$\mathbb{Q}$の元も不変にすることが分かる．これより，任意の$\sigma \in G$も$\mathbb{Q}$の元を不変にする．よって$n=1$のとき$G$は恒等写像のみからなる自明群である．以下$n>1$とする．

$X$に$a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1} \, (a_1,\cdots,a_{n-1} \in \mathbb{Q})$を代入する写像$\varphi : \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q}[X]$を考える．$\varphi$は環準同型であるから，$\pi\circ\varphi$も環準同型であり，その核は$(X^n)$を含む．これは，$a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}=Xf(X)$($f(X) \in \mathbb{Q}[X]$)と書けることから従う．よって環準同型$\overline{\varphi}:K \rightarrow K$で次の図式を可換にするものが存在する．
$$\xymatrix{ \mathbb{Q}[X] \ar[r]^-{\varphi} \ar[d]_-{\pi} & \mathbb{Q}[X] \ar[d]^-{\pi} \\ K \ar[r]_-{\overline{\varphi}} & K }$$
このとき$\pi$が$\mathbb{Q}$の元を不変にすることから
$$\overline{\varphi}(\xi)=\pi(\varphi(X))=\pi(a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1})=a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1}$$
が成り立つ．つまり，任意の$a_1,\cdots,a_{n-1} \in \mathbb{Q}$に対して，$\xi \longmapsto a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1}$を満たすような環準同型$\varphi : K \rightarrow K$が存在する．
以上より，$a \in \mathbb{Q}\backslash\{0\}$に対して環準同型$\sigma,\tau : K \rightarrow K$で
$$\sigma(\xi)=a\xi, \hspace{0.2in} \tau(\xi)=a^{-1}\xi$$
を満たすものが存在することが分かる．明らかに$\sigma,\tau$は互いの逆写像であるから，$\sigma$は環同型である．よって任意の$a \in \mathbb{Q}\backslash\{0\}$に対し$\sigma_a(\xi)=a\xi$を満たす$\sigma_a \in G$が存在することが分かった．

$\sigma \in G$とする．任意の$a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1} \in K$に対して
$$\sigma(a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1})=a_0+a_1\sigma(\xi)+\cdots+a_{n-1}\sigma(\xi)^{n-1}$$
となるので，$\sigma$は$\sigma(\xi)$によって定まる．
$$\sigma(\xi)=a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1}$$
とおく．$\xi^n=0$であるから
$$0=\sigma(\xi^n)=\sigma(\xi)^n=(a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1})^n=a_0^n+(\xi \, の1次以上の部分)$$
となるので，$a_0=0$でなくてはならない．$\sigma$は同型であるから$a_1,\cdots,a_{n-1}$のいずれかは$0$でない．よって$n=2$のときは$a_1 \neq 0$である．$n>2$のとき$a_1=0$とすると，$a_2,\cdots,a_{n-1}$のいずれかは$0$でなく，かつ$\sigma(\xi)=\xi^2(a_2+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-3})$となる．$n>2$より$2(n-1)>n$であるので
$$0 \neq \sigma(\xi^{n-1})=\sigma(\xi)^{n-1}=\xi^{2(n-1)}(a_2+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-3})^{n-2}=0$$
となって矛盾．従って$a_1 \neq 0$である．つまり，$n>1$のとき
$$\sigma(\xi)=a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1} \hspace{0.2in} (a_1,\cdots,a_{n-1} \in \mathbb{Q}, \, a_1 \neq 0)$$
と書ける．
特に$n=2$のとき，上で示したことを合わせると$G$の元は$\sigma(\xi)=a\xi$($a \in \mathbb{Q}\backslash\{0\}$)を満たすものに限ることが分かる．

上で示したことから$n=1$のとき$G$は可換群である．また，$n=2$のときは任意の$\sigma,\tau \in G$に対して$a,b \in \mathbb{Q}\backslash\{0\}$が存在して$\sigma(\xi)=a\xi, \, \tau(\xi)=b\xi$が成り立つので，
$$\sigma(\tau(\xi))=\sigma(b\xi)=ba\xi=ab\xi=\tau(a\xi)=\tau(\sigma(\xi))$$
となる．つまり$n=2$のとき$G$は可換群である．

$n>2$とする．上で示したことから，環準同型$\sigma,\tau:K \rightarrow K$で
$$\sigma(\xi)=\xi+\xi^{n-1}, \hspace{0.2in} \tau(\xi)=\xi-\xi^{n-1}$$
を満たすものが存在する．$\xi^n=0$に注意すると
$$\begin{split} \tau(\sigma(\xi))=\tau(\xi+\xi^{n-1})&=\tau(\xi)+\tau(\xi)^{n-1} \\ &= \xi-\xi^{n-1}+(\xi-\xi^{n-1})^{n-1}=\xi-\xi^{n-1}+\xi^{n-1}=\xi \end{split}$$
が成り立つ．同様に$\sigma(\tau(\xi))=\xi$も成り立つから$\sigma,\tau$は互いの逆写像である．即ち$\sigma$は環同型であり，$\sigma \in G$となる．上で示したように$\theta(\xi)=2\xi$を満たす$\theta \in G$が存在する．すると$n>2$であることから
$$\theta(\sigma(\xi))=\theta(\xi+\xi^{n-1})=2\xi+2^{n-1}\xi^{n-1} \neq 2\xi+2\xi^{n-1}=\sigma(2\xi)=\sigma(\theta(\xi))$$
が成り立つ．即ち$n>2$のとき$G$は可換群でない．以上より解答は次の通りである．(終)
$$n=1,2 \, のとき \, G \, は可換群，n>2 \, のとき \, G \, は非可換群である$$

$n=1$のとき$G$は自明群であるから明らかに主張が成り立つ．$n>1$とする．上で示したように，$\sigma(\xi)=2\xi$を満たす$\sigma \in G$が存在する．任意の正の整数$k$に対して$\sigma^k(\xi)=2^k\xi \neq \xi$であるから$\sigma \in G$の位数は無限である．以上より，解答は次の通りである．(終)
$$n=1 \, のとき \, G \, の位数は1，n>1 \, のとき \, G \, の位数は無限である$$

$A=\{x \in K \, | \, \sigma(x)=x \, ({}^{\forall}\sigma \in G)\}$とおく．$n=1$のときに主張が成り立つのは明らかである．$n>1$とする．上で示したことから，任意の$\sigma \in G$は$\mathbb{Q}$の元を不変にするので$\mathbb{Q} \subset A$となる．逆の包含を示す．$\sigma \in G$を上で考えた$\sigma(\xi)=2\xi$を満たす元とする．$a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1} \in K$が$A$の元であるとすると，特に$\sigma$で不変である．よって
$$a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1}=\sigma(a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1})=a_0+2a_1\xi+\cdots+2^{n-1}a_{n-1}\xi^{n-1}$$
となるから，任意の$a_i \, (1 \leq i \leq n-1)$に対して$2^ia_i=a_i$即ち$a_i=0$が成り立つ．よって$a_0+a_1\xi+\cdots+a_{n-1}\xi^{n-1}=a_0 \in \mathbb{Q}$であるから$A \subset \mathbb{Q}$である．以上より$A=\mathbb{Q}$となるので，解答は次の通りである．(終)
$$全ての正の整数 \, n \, について \, \{x \in K \, | \, \sigma(x)=x\,({}^{\forall}\sigma \in G)\}=\mathbb{Q} \, が成り立つ$$