代数学をやるその16　とある環の自己同型群

$\pi :\mathbb{Q}[X]\to K$を標準全射とする．$\mathbb{Q}$の元は自然に$K$に埋め込めるので，$a\in \mathbb{Q}$の$\pi$による像も$a$と書くことにする．$K$の任意の元は$a_0,\cdots ,a_{n-1}\in \mathbb{Q}$によって$a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}$と一意的に表されることに注意する．

$\sigma :K\to K$を(同型とは限らない)環準同型とすると，$\sigma (0)=0,\sigma (1)=1$が成り立つ．これより任意の$m\in \mathbb{Z}$に対して$\sigma (m)=m$が成り立つ．即ち$\sigma$は$\mathbb{Z}$の元を不変にする．すると素因数分解を考えることで，$\sigma$が$\mathbb{Q}$の元も不変にすることが分かる．これより，任意の$\sigma \in G$も$\mathbb{Q}$の元を不変にする．よって$n=1$のとき$G$は恒等写像のみからなる自明群である．以下$n>1$とする．

$X$に$a_{1}X+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1}(a_1,\cdots ,a_{n-1}\in \mathbb{Q})$を代入する写像$\phi :\mathbb{Q}[X]\to \mathbb{Q}[X]$を考える．$\phi$は環準同型であるから，$\pi \circ \phi$も環準同型であり，その核は$(X^n)$を含む．これは，$a_{1}X+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1}=Xf(X)$($f(X)\in \mathbb{Q}[X]$)と書けることから従う．よって環準同型$\bar{\phi }:K\to K$で次の図式を可換にするものが存在する．
$$\mathbb{Q}[X]\phi \pi \mathbb{Q}[X]\pi K\bar{\phi }K$$
このとき$\pi$が$\mathbb{Q}$の元を不変にすることから
$$\bar{\phi }(\xi )=\pi (\phi (X))=\pi (a_{1}X+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1})=a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}$$
が成り立つ．つまり，任意の$a_1,\cdots ,a_{n-1}\in \mathbb{Q}$に対して，$\xi ⟼a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}$を満たすような環準同型$\phi :K\to K$が存在する．
以上より，$a\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$に対して環準同型$\sigma ,\tau :K\to K$で
$$\sigma (\xi )=a\xi ,\tau (\xi )=a^{-1}\xi$$
を満たすものが存在することが分かる．明らかに$\sigma ,\tau$は互いの逆写像であるから，$\sigma$は環同型である．よって任意の$a\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$に対し${\sigma }_a(\xi )=a\xi$を満たす${\sigma }_a\in G$が存在することが分かった．

$\sigma \in G$とする．任意の$a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}\in K$に対して
$$\sigma (a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1})=a_0+a_1\sigma (\xi )+\cdots +a_{n-1}\sigma (\xi {)}^{n-1}$$
となるので，$\sigma$は$\sigma (\xi )$によって定まる．
$$\sigma (\xi )=a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}$$
とおく．${\xi }^n=0$であるから
$$0=\sigma ({\xi }^n)=\sigma (\xi {)}^n=(a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}{)}^n=a_0^n+(\xi の1次以上の部分)$$
となるので，$a_0=0$でなくてはならない．$\sigma$は同型であるから$a_1,\cdots ,a_{n-1}$のいずれかは$0$でない．よって$n=2$のときは$a_1\ne 0$である．$n>2$のとき$a_1=0$とすると，$a_2,\cdots ,a_{n-1}$のいずれかは$0$でなく，かつ$\sigma (\xi )={\xi }^2(a_2+\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-3})$となる．$n>2$より$2(n-1)>n$であるので
$$0\ne \sigma ({\xi }^{n-1})=\sigma (\xi {)}^{n-1}={\xi }^{2(n-1)}(a_2+\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-3}{)}^{n-2}=0$$
となって矛盾．従って$a_1\ne 0$である．つまり，$n>1$のとき
$$\sigma (\xi )=a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}(a_1,\cdots ,a_{n-1}\in \mathbb{Q},a_1\ne 0)$$
と書ける．
特に$n=2$のとき，上で示したことを合わせると$G$の元は$\sigma (\xi )=a\xi$($a\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$)を満たすものに限ることが分かる．

上で示したことから$n=1$のとき$G$は可換群である．また，$n=2$のときは任意の$\sigma ,\tau \in G$に対して$a,b\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$が存在して$\sigma (\xi )=a\xi ,\tau (\xi )=b\xi$が成り立つので，
$$\sigma (\tau (\xi ))=\sigma (b\xi )=ba\xi =ab\xi =\tau (a\xi )=\tau (\sigma (\xi ))$$
となる．つまり$n=2$のとき$G$は可換群である．

$n>2$とする．上で示したことから，環準同型$\sigma ,\tau :K\to K$で
$$\sigma (\xi )=\xi +{\xi }^{n-1},\tau (\xi )=\xi -{\xi }^{n-1}$$
を満たすものが存在する．${\xi }^n=0$に注意すると
$$\begin{array}{rl}\tau (\sigma (\xi ))=\tau (\xi +{\xi }^{n-1})& =\tau (\xi )+\tau (\xi {)}^{n-1}\\ & =\xi -{\xi }^{n-1}+(\xi -{\xi }^{n-1}{)}^{n-1}=\xi -{\xi }^{n-1}+{\xi }^{n-1}=\xi \end{array}$$
が成り立つ．同様に$\sigma (\tau (\xi ))=\xi$も成り立つから$\sigma ,\tau$は互いの逆写像である．即ち$\sigma$は環同型であり，$\sigma \in G$となる．上で示したように$\theta (\xi )=2\xi$を満たす$\theta \in G$が存在する．すると$n>2$であることから
$$\theta (\sigma (\xi ))=\theta (\xi +{\xi }^{n-1})=2\xi +2^{n-1}{\xi }^{n-1}\ne 2\xi +2{\xi }^{n-1}=\sigma (2\xi )=\sigma (\theta (\xi ))$$
が成り立つ．即ち$n>2$のとき$G$は可換群でない．以上より解答は次の通りである．(終)
$$n=1,2のときGは可換群，n>2のときGは非可換群である$$

$n=1$のとき$G$は自明群であるから明らかに主張が成り立つ．$n>1$とする．上で示したように，$\sigma (\xi )=2\xi$を満たす$\sigma \in G$が存在する．任意の正の整数$k$に対して${\sigma }^k(\xi )=2^k\xi \ne \xi$であるから$\sigma \in G$の位数は無限である．以上より，解答は次の通りである．(終)
$$n=1のときGの位数は1，n>1のときGの位数は無限である$$

$A=\{x\in K|\sigma (x)=x({}^{\mathrm{\forall }}\sigma \in G)\}$とおく．$n=1$のときに主張が成り立つのは明らかである．$n>1$とする．上で示したことから，任意の$\sigma \in G$は$\mathbb{Q}$の元を不変にするので$\mathbb{Q}\subset A$となる．逆の包含を示す．$\sigma \in G$を上で考えた$\sigma (\xi )=2\xi$を満たす元とする．$a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}\in K$が$A$の元であるとすると，特に$\sigma$で不変である．よって
$$a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}=\sigma (a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1})=a_0+2a_1\xi +\cdots +2^{n-1}{a}_{n-1}{\xi }^{n-1}$$
となるから，任意の$a_i(1\le i\le n-1)$に対して$2^i{a}_i=a_i$即ち$a_i=0$が成り立つ．よって$a_0+a_1\xi +\cdots +a_{n-1}{\xi }^{n-1}=a_0\in \mathbb{Q}$であるから$A\subset \mathbb{Q}$である．以上より$A=\mathbb{Q}$となるので，解答は次の通りである．(終)
$$全ての正の整数nについて\{x\in K|\sigma (x)=x({}^{\mathrm{\forall }}\sigma \in G)\}=\mathbb{Q}が成り立つ$$