代数学をやるその14　環の決定

$R$は2個以上の元を持つから，$0$でない元を持つ．仮定より，$r \in R \backslash \{0\}$に対し$r$が生成する左イデアル$Rr$は$0$もしくは$R$に等しい．

(i)：ある$r \in R$が$Rr=R$を満たすとする．このとき，$R$は(可換とは限らない)体，即ち，零でない元全てが可逆であるような環であることを示す．
$R$の部分集合$I:=\{x \in R \, | \, Rx=0\}$を考える．任意の$x,y \in I$と任意の$z \in R$に対して
$$0 \subset R(x-y) \subset Rx-Ry=0$$
$$0 \subset R(zx)=(Rz)x \subset Rx=0$$
となるので，$I$は$R$の左イデアルである．よって$I$は$0$か$R$のいずれかであるが，今$r \notin I$であるから，$I=0$となる．即ち，$x \in R$が$x \neq 0$を満たすならば$Rx=R$となる．
$R$の部分集合$I$を改めて$I:=\{x \in R \, | \, xr=0\}$とおくと，$I$は$R$の左イデアルであるから，仮定より$I=0$もしくは$I=R$である．仮に$I=R$とすると$0 \neq R=Rr=0$となって矛盾するから，$I=0$である．よって$x,y \in R$が$xr=yr$を満たすとすると，$(x-y)r=0$より$x=y$となる(※)．
さて，$Rr=R$より$er=r$を満たす$e \in R$が存在する．$r \neq 0$より$e \neq 0$であるから，上で示したことより$Re=R$である．これより任意の$x \in R$に対して$x'e=x$となる$x' \in R$が存在する．両辺に右から$r$を掛けることで
$$x'r=x'er=xr$$
となるので，(※)より$x'=x$となる．つまり，任意の$x \in R$に対して$xe=x$が成り立つ．特に$e^2=e$が成り立つ．
$y \in R$が$ey=0$を満たすとする．$y \neq 0$とすると
$$0 \neq R=Ry=(Re)y=R(ey)=0$$
となって矛盾する．従って$y=0$である．即ち，$y \in R$が$ey=0$を満たすならば$y=0$である．すると，$e^2=e$より任意の$x \in R$に対して$e^2x=ex$が成り立つことから
$$e(ex-x)=0 \hspace{0.2in} \Longrightarrow \hspace{0.2in} ex=x$$
が成り立つ．上の結果と合わせると，任意の$x \in R$に対して$xe=ex=x$が成り立つ．即ち$e \in R$は$R$の単位元である．
任意の$x \in R \backslash \{0\}$を取る．$Rx=R$であることから，ある$x' \in R$が存在して$x'x=e$となる．$x'=0$とすると$e \neq 0$に矛盾するから$x' \neq 0$である．従って$Rx'=R$となる．これより$x''x'=e$となる$x'' \in R$が存在する．すると，両辺に$x$を掛けることで
$$x''=x''e=x''(x'x)=(x''x')x=ex=x$$
が成り立つ．即ち$x'x=xx'=e$が成り立つので，$x' \in R$は$x$の逆元である．従って$R$の零でない元は全て可逆である．

(ii)：全ての$r \in R$に対して$Rr=0$であるとする．このとき，加法についての$R$の部分群は全て$R$の左イデアルである．仮定から$R$には$0,R$と異なる左イデアルが存在しないから，$R$を加法群と見ると，$R$は自明な部分群を持たない．有限アーベル群の構造定理を思い出すと，ある素数$p$が存在して$R$の加法群としての構造は$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型となる．また，$R$の積は任意の$x,y \in R$に対して$xy=0$を満たす．

以上より，解答は次の通りである．(終)
ある$r \in R$に対して$Rr=R$となる場合：零でない任意の元が可逆であるような環．つまり，可換とは限らない体．
全ての$r \in R$に対して$Rr=0$となる場合：ある素数$p$が存在し加法については$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型で，乗法は任意の2元の積が$0$となるような環．