代数学をやるその11　多項式環への行列の作用

$K$が元数$q$の有限体であることから，$(X+Y{)}^q=X^q+Y^q$と${\alpha }^q=\alpha ({}^{\mathrm{\forall }}\alpha \in K)$が成り立つので，
$$\begin{array}{rl}(ax+by)(cx+dy{)}^q-(ax+by{)}^q(cx+dy)& =(ax+by)(c^q{x}^q+d^q{y}^q)-(a^q{x}^q+b^q{y}^q)(cx+dy)\\ & =(ax+by)(c{x}^q+d{y}^q)-(a{x}^q+b{y}^q)(cx+dy)\\ & =(ad-bc)(x{y}^q-x^{q}y)\end{array}$$
と計算できる．よって，
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺ad-bc=1$$
が成り立つ．これより，
$$G_f=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g=1\}=\mathrm{S}\mathrm{L}(2,K)$$
が成り立つ．$G_f$の位数を求める．行列式を取る写像
$$\phi :\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)\ni g⟼\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g\in K^{\times }$$
は群の全射準同型である．ここで$K^{\times }$は$K$の乗法群を表す．$\phi$の核は$\mathrm{S}\mathrm{L}(2,K)=G_f$に等しいので，準同型定理から
$$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)/G_f\cong K^{\times }$$
が成り立つ．$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)$の位数を求める．$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)$であるとすると$\alpha =ad-bc\ne 0$である．
$a=0$とすると，$bc=-\alpha$となる．$\alpha \ne 0$より$b\ne 0$であり，これより$c=-\alpha b^{-1}$と書ける．よって$c$は$b$から求まる．$b$の選び方は$0$以外の$q-1$通りで，$d$は$K$の任意の元を取れるから，この場合の元は$q(q-1)$通り存在する．
$a\ne 0$とすると，$d=(\alpha +bc)a^{-1}$となるから，$d$は$a,b,c$によって定まる．$a$の選び方は$0$以外の$q-1$通り，$b,c$は$K$の任意の元を取れるから，この場合の元は$q^2(q-1)$通り存在する．
$\alpha \in K^{\times }$の選び方が$q-1$通りあることを合わせると，$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)$の位数は
$$\{q(q-1)+q^2(q-1)\}(q-1)=q(q-1{)}^2(q+1)$$
と求まる．すると，同型$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)/G_f\cong K^{\times }$によって$|G_f|=q(q-1)(q+1)$が成り立つ．以上より解答は次の通りである．(終)
$$\underset{―}{G_f=\mathrm{S}\mathrm{L}(2,K)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g=1\}}$$
$$\underset{―}{|G_f|=q(q-1)(q+1)}$$

(※)上の数え方と本質的に変わらないが，$G_f$の位数を以下のように直接数えることもできる：$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f$とすると，$ad-bc=1$が成り立つ．
$a=0$とすると$bc=-1$となる．これより$b\ne 0$であり，$c=-b^{-1}$と書ける．よって$c$は$b$から求まる．$b$の選び方は$0$以外の$q-1$通りで，$d$は$K$の任意の元を取れるから，この場合の元は$q(q-1)$通り存在する．
$a\ne 0$とすると，$d=(1+bc)a^{-1}$となるから，$d$は$a,b,c$によって定まる．$a$の選び方は$0$以外の$q-1$通り，$b,c$は$K$の任意の元を取れるから，この場合の元は$q^2(q-1)$通り存在する．
よって$G_f$の位数は
$$q(q-1)+q^2(q-1)=\underset{―}{q(q-1)(q+1)}$$
と求まる．(終)

$$\begin{array}{r}(ax+by{)}^2+(cx+dy{)}^2=(a^2+c^2)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2)y^2\end{array}$$
と計算できる．よって，
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺\{\begin{array}{l}{a}^2+c^2=1\\ b^2+d^2=1\\ 2(ab+cd)=0\\ ad-bc\ne 0\end{array}\end{array}$$
が成り立つ．$K$の標数が$2$であるかどうかで場合分けする．

(i)$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$の場合：式(1)は次のように書き換えられる．
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺\{\begin{array}{l}(a+c{)}^2=1\\ (b+d{)}^2=1\\ ad-bc\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a+c=1\\ b+d=1\\ ad-bc\ne 0\end{array}$$
ここで，標数が$2$の体の元$\alpha$で${\alpha }^2=1$を満たすものは$\alpha$しか存在しないことを用いた．すると，$c=1-a,d=1-b$となり$c,d$はそれぞれ$a,b$により定まる．これを$ad-bc\ne 0$に代入すると
$$0\ne a(1-b)-b(1-a)=a-b$$
となり，これは$a\ne b$に同値である．以上より，
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1-a& 1-b\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a\ne b\}$$
と求まる．$a,b$の選び方は$q(q-1)$通り存在するから，$|G_f|=q(q-1)$である．


(ii)$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 2$の場合：$q$は奇数であることに注意する．式(1)は次のように書き換えられる．
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺\{\begin{array}{l}{a}^2+c^2=1\\ b^2+d^2=1\\ ab+cd=0\\ ad-bc\ne 0\end{array}$$
$a$が$0$かどうかで場合分けする．

$a=0$とすると$c=\pm 1$かつ$cd=0$である．よって$d=0$であり，$b=\pm 1$が成り立つ．このとき確かに$ad-bc\ne 0$となる．

$a\ne 0$とすると$b=-cd{a}^{-1}$である．これを$b^2+d^2=1$に代入すると
$$\begin{array}{rl}{c}^2{d}^2{a}^{-2}+d^2& =1\\ (c^2+a^2)d^2& =a^2\\ d^2& =a^2(\because a^2+c^2=1)\\ d& =\pm a\end{array}$$
を得る．すると$b=-cd{a}^{-1}$であるから，$d=a$なら$b=-c$，$d=-a$なら$b=c$が成り立つ．ここまでの議論から，$a\ne 0$となるような$G_f$の元全体が2つの集合
$$\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a\ne 0,a^2+b^2=1\},\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a\ne 0,a^2+b^2=1\}$$
の直和となることが分かるが，これは$a=0$の場合も含んでいる．

以上より，
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a^2+b^2=1\}\underset{直和}{\cup }\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a^2+b^2=1\}$$
が成り立つ．

$G_f$の位数を求める．$k\in K$に対して$K$上の方程式$X^2+Y^2=k$の$K$内における解の個数を$S(k)$とおくと$2S(1)$が求める値である．任意の$k\in K$に対して$S(k)>0$であることは補題1から従う．$k{k}^{\prime }\ne 0$となる$k,k^{\prime }\in K$を取る．$\alpha ,\beta \in K$が${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{k^{\prime }}{k}(\ne 0)$を満たすとする．このとき，${\gamma }^2+{\delta }^2=k$が成り立つならば，
$$(\alpha \gamma +\beta \delta {)}^2+(-\beta \gamma +\alpha \delta {)}^2=({\alpha }^2+{\beta }^2)({\gamma }^2+{\delta }^2)=k^{\prime }$$
が成り立つ．即ち，$\alpha \gamma +\beta \delta ,-\beta \gamma +\alpha \delta$は$X^2+Y^2=k^{\prime }$の解である．この解の対応は1対1であるから($\because$行列$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right)$の可逆性)，$S(k)=S(k^{\prime })$が成り立つ．以上より，$K\times K$の元$(X,Y)$を$X^2+Y^2$の値で分類すると，元の個数について
$$q^2=S(0)+(q-1)S(1)$$
が成り立つ．補題3より
$$S(0)=\{\begin{array}{ll}2q-1& (q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\\ 1& (q\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\end{array}$$
である(今$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 2$としていることに注意)．よって$q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$の場合は$q^2=2q-1+(q-1)S(1)$より$S(1)=q-1$となる．また$q\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$の場合は$q^2=1+(q-1)S(1)$より$S(1)=q+1$となる．

以上より解答は次の通りである．(終)

$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$の場合
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1-a& 1-b\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a\ne b\}$$
$$|G_f|=q(q-1)$$
$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 2$の場合
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a^2+b^2=1\}\underset{直和}{\cup }\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a^2+b^2=1\}$$
$$|G_f|=\{\begin{array}{ll}2(q-1)& (q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\\ 2(q+1)& (q\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\end{array}$$

$$\begin{array}{r}(ax+by{)}^3+(cx+dy{)}^3=(a^3+c^3)x^3+3(a^{2}b+c^{2}d)x^{2}y+3(a{b}^2+c{d}^2)x{y}^2+(b^3+d^3)y^3\end{array}$$
と計算できる．よって，
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺\{\begin{array}{l}{a}^3+c^3=1\\ b^3+d^3=1\\ 3(a^{2}b+c^{2}d)=0\\ 3(a{b}^2+c{d}^2)=0\\ ad-bc\ne 0\end{array}\end{array}$$
が成り立つ．$K$の標数が$3$であるかどうかで場合分けする．

(i)$\mathrm{c}\mathrm{h}K=3$の場合：式(1)は次のように書き換えられる．
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺\{\begin{array}{l}(a+c{)}^3=1\\ (b+d{)}^3=1\\ ad-bc\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a+c=1\\ b+d=1\\ ad-bc\ne 0\end{array}$$
ここで，標数が$3$の体の元$\alpha$で${\alpha }^3=1$を満たすものは$\alpha$しか存在しないことを用いた．すると，(2)と同様にして
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1-a& 1-b\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a\ne b\}$$
かつ$|G_f|=q(q-1)$であることが分かる．


(ii)$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 3$の場合：$3\ne 0$より式(1)は次のように書き換えられる．
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in G_f⟺\{\begin{array}{l}{a}^3+c^3=1\\ b^3+d^3=1\\ a^{2}b+c^{2}d=0\\ a{b}^2+c{d}^2=0\\ ad-bc\ne 0\end{array}$$
右辺第3式の両辺に$d$を，第4式の両辺に$c$を掛けて辺々引くことで
$$ab(ad-bc)=0$$
を得る．$ad-bc\ne 0$であるから$a,b$のいずれかが$0$である．このとき$c^{2}d=0$であるから$c,d$のいずれかも$0$である．$a=0$とすると$bc\ne 0$であるから$b,c\ne 0$であり，従って$d=0$となる．$b=0$とすると$ad\ne 0$であるから$a,d\ne 0$であり，従って$c=0$となる．以上より，
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}0& b\\ c& 0\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|b^3=c^3=1\}\underset{直和}{\cup }\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a^3=d^3=1\}$$
が成り立つ．補題5から，$K$上の方程式$X^3=1$の$K$内における解の個数$S$は
$$S=\{\begin{array}{ll}3& (q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\\ 1& (q\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$
を満たすから(今$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 3$としていることに注意)，
$$|G_f|=\{\begin{array}{ll}18& (q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\\ 2& (q\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$
と求まる．

以上より解答は次の通りである．(終)

$\mathrm{c}\mathrm{h}K=3$の場合
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1-a& 1-b\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a\ne b\}$$
$$|G_f|=q(q-1)$$
$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 3$の場合
$$G_f=\{\left(\begin{array}{cc}0& b\\ c& 0\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|b^3=c^3=1\}\underset{直和}{\cup }\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)|a^3=d^3=1\}$$
$$|G_f|=\{\begin{array}{ll}18& (q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\\ 2& (q\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$

$K$の標数が$2$のときとそうでないときで場合分けする．

(i)$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$のとき：このとき$K$の位数$q$は偶数である．任意の$\alpha \in K$に対して${\alpha }^q=\alpha$が成り立つことから，${\alpha }^{\frac{q}{2}}\in K$は$({\alpha }^{\frac{q}{2}}{)}^2=\alpha$を満たす($q$は偶数であることに注意)．これより，任意の$k\in K$に対して${\alpha }_k^2=k$となる${\alpha }_k\in K$が存在することが分かる．さて，$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$であることから$X^2+Y^2=(X+Y{)}^2$であるから，与えられた方程式は
$$(X+Y{)}^2=k$$
と変形できる．$X+Y={\alpha }_k$という方程式は$K$内に解を持つ(例えば$X={\alpha }_k,Y=0$)．従って，$X^2+Y^2=(X+Y{)}^2=k$という方程式も$K$内に解を持つ．

(ii)$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 2$のとき：このとき$K$の位数$q$は奇数である．$K^{\times }$($K$の乗法群)は巡回群であるから，$|\{l^2|l\in K^{\times }\}|=\frac{q-1}{2}$である($q$は奇数より$q-1$は$2$で割り切れることに注意)．$0^2=0$も合わせると，
$$|\{l^2|l\in K\}|=1+\frac{q-1}{2}=\frac{q+1}{2}$$
となる．ところで，任意の$k\in K$に対し，写像${\phi }_k:K\ni x⟼k-x\in K$は単射であるから，
$$|\{k-l^2|l\in K\}|=|\{l^2|l\in K\}|=\frac{q-1}{2}$$
が成り立つ．よって，
$$|\{l^2|l\in K\}|+|\{k-l^2|l\in K\}|=\frac{q+1}{2}+\frac{q+1}{2}=q+1>q$$
となるので，2つの集合$\{l^2|l\in K\},\{k-l^2|l\in K\}$たちには共通元があり(鳩ノ巣原理)，それが求める解である．(証明終)

$p$を奇素数とする．平方剰余の相互法則より，
$$(\frac{-1}{p})=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}=\{\begin{array}{cl}1& (p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\\ -1& (p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\end{array}$$
が成り立つことに注意する．
$\mathrm{c}\mathrm{h}K=p$とし，$q=p^e$($e$は$1$以上の整数)と表す．仮定より$p$は奇素数である．また${\mathbb{F}}_p:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subset K$が成り立つ．
$q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$とすると，$p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$もしくは$p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$かつ$e$が偶数となる．$p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$の場合は，上の注意から$\sqrt{-1}\in {\mathbb{F}}_p\subset K$が成り立つ．$p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$かつ$e$が偶数の場合は，$K$は素体${\mathbb{F}}_p$の偶数次拡大であるから，特に${\mathbb{F}}_p$の$2$次拡大${\mathbb{F}}_{p^2}$を含む．${\mathbb{F}}_{p^2}$は$\sqrt{-1}$を含むので$\sqrt{-1}\in K$となる．
$q\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$とすると，$p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$かつ$e$が奇数となる．上の注意から$\sqrt{-1}\notin {\mathbb{F}}_p$が成り立つ．また，$K$は素体${\mathbb{F}}_p$の奇数次拡大であるから，その部分体として${\mathbb{F}}_p$の偶数次拡大は含まない．よって$\sqrt{-1}\notin K$となる．(証明終)

$K$の標数が$2$であるときとそうでないときで場合分けする．

(i)$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$のとき：与えられた方程式は$X^2+Y^2=(X+Y{)}^2=0$と変形でき，これは
$$X+Y=0$$
に同値である．これの$K$内の解の個数は$q$であるから($X$の値を決めると$Y$の値が決まる)，$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$のときは題意が成り立つ．

(ii)$\mathrm{c}\mathrm{h}K\ne 2$のとき：${\alpha }^2+{\beta }^2=0$が成り立つとする．$\alpha =0$とすると${\beta }^2=0$より$\beta =0$となる．$\beta =0$とすると同様に$\alpha =0$となる．以上より(もしくは補題1より)$S(0)\ge 1$である．$\alpha ,\beta$は共に$0$でないとする．このとき
$${\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2=-1$$
が成り立つ．
$q\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$の場合は補題2より${\gamma }^2=-1$を満たす$\gamma \in K$は存在しないので矛盾．よって$S(0)=1$である．
$q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$の場合は補題2より${\gamma }^2=-1$を満たす$\gamma \in K$が存在する．すると，$X^2=-1={\gamma }^2$を満たす$K$の元は$\pm \gamma$のみであることが分かる．これより，$\frac{\alpha }{\beta }=\pm \gamma$即ち$\alpha =\pm \gamma \beta$となる．つまり，$\beta \in K\mathrm{\setminus }\{0\}$に対して${\alpha }^2+{\beta }^2=0$となる$\alpha \in K\mathrm{\setminus }\{0\}$は2個存在する．これより
$S(0)=1+2(q-1)=2q-1$
が成り立つ．(証明終)

証明の方法は補題2と全く同様である．$p$を$3$でない奇素数とする．平方剰余の相互法則より，
$$(\frac{3}{p})(\frac{p}{3})=(-1{)}^{\frac{3-1}{2}\frac{p-1}{2}}=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$
が成り立つ．従って，
$$(\frac{3}{p})=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p}{3})$$
となるから，
$$(\frac{-3}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{3}{p})=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}\cdot (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p}{3})=(\frac{p}{3})=\{\begin{array}{ll}1& (p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\\ -1& (p\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$
が成り立つ．

$\mathrm{c}\mathrm{h}K=p$とし，$q=p^e$($e$は$1$以上の整数)と表す．仮定より$p$は$p>3$を満たす奇数である．また${\mathbb{F}}_p:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subset K$が成り立つ．
$q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$とすると，$p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$もしくは$p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$かつ$e$が偶数となる．$p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$の場合は，上で示したことから$\sqrt{-3}\in {\mathbb{F}}_p\subset K$が成り立つ．$p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$かつ$e$が偶数の場合は，$K$は素体${\mathbb{F}}_p$の偶数次拡大であるから，特に${\mathbb{F}}_p$の$2$次拡大${\mathbb{F}}_{p^2}$を含む．${\mathbb{F}}_{p^2}$は$\sqrt{-3}$を含むので$\sqrt{-3}\in K$となる．
$q\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$とすると，$p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$かつ$e$が奇数となる．上で示したことから$\sqrt{-3}\notin {\mathbb{F}}_p$が成り立つ．また，$K$は素体${\mathbb{F}}_p$の奇数次拡大であるから，その部分体として${\mathbb{F}}_p$の偶数次拡大は含まない．よって$\sqrt{-3}\notin K$となる．(証明終)

$K$の標数が$2$であるとき，$3$であるとき，それ以外のときで場合分けする．

(i)$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$の場合：$q=2^e$($e$は$1$以上の整数)とおく．このとき${\mathbb{F}}_2\subset K$である．$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$であるから，$\alpha \in K$が${\alpha }^3=1$を満たすとすると，$\alpha =1$もしくは${\alpha }^2+\alpha +1=0$である．${\alpha }^2+\alpha +1=0$であるとする．$0,1\in {\mathbb{F}}_2$は$X^2+X+1$の根でないから$\alpha \notin {\mathbb{F}}_2$が分かる．即ち$\alpha$は${\mathbb{F}}_2$上$2$次の元である．従って$e$が偶数なら$\alpha \in K$，$e$が奇数なら$\alpha \notin K$となる．$\beta \subset \bar{K}$($\bar{K}$は$K$の代数閉包)も${\beta }^2+\beta +1=0$を満たすとすると，解と係数の関係から$\beta =-\alpha -1\in K$となる．従って，$X^2+X+1=0$の解は，$e$が偶数なら$K$内に3つ，$e$が奇数なら$K$内に1つ存在する．$e$が偶数のとき$2^e\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$であり，$e$が奇数のとき$2^e\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$であるから，$\mathrm{c}\mathrm{h}K=2$のときについての主張が示された．

(ii)$\mathrm{c}\mathrm{h}K=3$の場合：$X^3-1=(X-1{)}^3$となる．よって$X^3=1$は$(X-1{)}^3=0$に同値であり，これを満たす$K$内の元は$X=1$の1つしか存在しない．

(iii)$\mathrm{c}\mathrm{h}K>3$の場合：$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$であるから，$\alpha \in K$が${\alpha }^3=1$を満たすとすると，$\alpha =1$もしくは${\alpha }^2+\alpha +1=0$である．${\alpha }^2+\alpha +1=0$であるとする．標数が$2$でないから解の公式が使えて，
$$\alpha =\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$$
となる．補題4から，$q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$のとき$\sqrt{-3}\in K$，$q\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$のとき$\sqrt{-3}\notin K$であるから，$S$の値が
$$S=\{\begin{array}{ll}3& (q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\\ 1& (q\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$
と求まる．よって題意は示された．(証明終)

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)$であるとすると$\alpha =ad-bc\ne 0$である．
$a=0$とすると，$bc=-\alpha$となる．$\alpha \ne 0$より$b\ne 0$であり，これより$c=-\alpha b^{-1}$と書ける．よって$c$は$b$から求まる．$b$の選び方は$0$以外の$q-1$通りで，$d$は$K$の任意の元を取れるから，この場合の元は$q(q-1)$通り存在する．
$a\ne 0$とすると，$d=(\alpha +bc)a^{-1}$となるから，$d$は$a,b,c$によって定まる．$a$の選び方は$0$以外の$q-1$通り，$b,c$は$K$の任意の元を取れるから，この場合の元は$q^2(q-1)$通り存在する．
$\alpha \in K^{\times }$の選び方が$q-1$通りあることを合わせると，$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)$の位数は
$$\{q(q-1)+q^2(q-1)\}(q-1)=q(q-1{)}^2(q+1)$$
と求まる．
さて，行列式を取る写像
$$\phi :\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)\ni g⟼\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g\in K^{\times }$$
は群の全射準同型である．ここで$K^{\times }$は$K$の乗法群を表す．$\phi$の核は$\mathrm{S}\mathrm{L}(2,K)$に等しいので，準同型定理から
$$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,K)/\mathrm{S}\mathrm{L}(2,K)\cong K^{\times }$$
が成り立つ．$|K^{\times }|=q-1$であるから，上の結果より
$$|\mathrm{S}\mathrm{L}(2,K)|=q(q-1)(q+1)$$
が成り立つ．(証明終)