代数学をやるその3　剰余類の置換

$n=2$とすると，一般論から$H$は正規である．指数が$2$であることから$H \neq G$である．仮に$H=\{e\}$とすると$G$は位数が$2$の群となるが，このとき$G$が可換となって仮定に矛盾．従って$H$は非自明な正規部分群である．即ち，$G$は単純群でない．
$3 \leq n \leq 4$とする．$G/H$の完全代表系を$\{g_i\}_{i=1}^n$と取る．$G$の$G/H$への作用$\phi$を
$$\phi : G \times G/H \ni (g,g'H) \longmapsto (gg')H \in G/H$$
と定めると，これはwell-definedである．この作用により群準同型$\varphi : G \rightarrow S_n$($S_n$は$n$次対称群)を得る．$H$を法として$e$と合同な代表元$g_i$を取ってくると，$g \notin H$となる元に対して($H$の指数が$1$でないからこのような元を取れる)
$$gg_iH=gH \neq H=g_iH$$
が成り立つ．即ち，${\rm Im}\,\varphi \neq \{(1)\}$である．ここで$(1) \in S_n$は恒等置換を表す．$A_n$を$n$次交代群とする．$A_n$は$S_n$の正規部分群であるから，${\rm Im}\,\varphi \cap A_n$は${\rm Im}\,\varphi$において正規である．従ってその$\varphi$による逆像$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_n)$は$G$において正規である．$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_n)$が$G$において自明でないかどうかを考える．

$n=3$とする．まず，${\rm Im}\,\varphi \subset A_3$であるとすると，${\rm Im}\,\varphi \neq \{(1)\}$であるから${\rm Im}\,\varphi=A_3$となるしかない．これより$G/{\rm Ker}\,\varphi \cong A_3$であるから，${\rm Ker}\,\varphi$は$G$の指数$3$の正規部分群となる．指数が$3$であるから${\rm Ker}\,\varphi \neq G$である．また，${\rm Ker}\,\varphi=\{e\}$とすると$G \cong A_3$となるが，$G$は非可換，$A_3$は可換であるから矛盾．よって${\rm Ker}\,\varphi$は$G$の自明でない正規部分群であるから，$G$は単純群でない．
次に，${\rm Im}\,\varphi \not\subset A_3$であるとする．すると，$|S_3/A_3|=2$より$S_3=({\rm Im}\,\varphi)A_3$となる．これより，
$$\begin{split} S_3/A_3 = ({\rm Im}\,\varphi)A_3/A_3 &\cong {\rm Im}\,\varphi/({\rm Im}\,\varphi \cap A_3) \\ &\cong (G/{\rm Ker}\,\varphi)/(\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_3)/{\rm Ker}\,\varphi) \cong G/\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_3) \end{split}$$
が成り立つ．従って$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_3)$は$G$の指数$2$の正規部分群である．指数が$2$であるから$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_3) \neq G$である．また，$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_3)=\{e\}$とすると，$|G|=2$となるがこのとき$G$が可換となって矛盾．従って$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_3)$は$G$の自明でない正規部分群であるから，$G$は単純群でない．

$n=4$とする．仮に${\rm Im}\,\varphi \subset A_4$であるとすると，$G/{\rm Ker}\,\varphi$は$A_4$の部分群に同型である．$A_4$の正規部分群(クラインの四元群)$V$を
$$V=\{(1), \, (12)(34), \, (13)(24), \, (14)(23)\}$$
とおく．ある$h \in H$が$\varphi(h) \neq (1)$を満たすとする．$\varphi(h) \in V$とすると，$h$による作用は$H \in G/H$を動かさないので$\varphi(h)=(1)$とならなければならないが，これは仮定に矛盾．従って$\varphi(h) \notin V$である．すると，$\overline{\varphi(h)} \in A_4/V$は位数$3$の元である．即ち$({\rm Im}\,\varphi)V=A_4$となる．よって，
$$A_4/V=({\rm Im}\,\varphi)V/V \cong {\rm Im}\,\varphi/({\rm Im}\,\varphi \cap V) \cong G/\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap V)$$
であるから，$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap V)$は$G$の指数$3$の正規部分群である．すると，$n=3$のときと同様にして$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap V)$が$G$の非自明な正規部分群であることが示せる．
全ての$h \in H$が$\varphi(h)=(1)$を満たすとすると，任意の$g \in G$に対して$hgH=gH$が成り立つ．即ち$g^{-1}hg \in H$であり，これより$H$は$G$の正規部分群である．$G$が非可換であることと$H$の指数が$4$であることから$H$は$G$の非自明な正規部分群である．
最後に${\rm Im}\,\varphi \not\subset A_4$であるとする．$|S_4/A_4|=2$より$({\rm Im}\,\varphi)A_4=S_4$が成り立つ．従って，
$$S_4/A_4 = ({\rm Im}\,\varphi)A_4/A_4 \cong {\rm Im}\,\varphi/({\rm Im}\,\varphi \cap A_4) \cong G/\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_4)$$
となる．これより，$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_4)$は$G$の指数2の正規部分群である．$G$の非可換性から，$\varphi^{-1}({\rm Im}\,\varphi \cap A_4)$は$G$の非自明な正規部分群である．即ち，$G$は単純群でない．(証明終)

$H$による$G$の左剰余類分解の完全代表系を$\{e,g\}$とする．このとき，$(G:H)=2$であることから，$H$による$G$の右剰余類分解の完全代表系も$\{e,g\}$となる．従って，$gH=Hg$即ち$gHg^{-1}=H$となる．$G$の任意の元は$H$の元であるか$gH$の元であるかのいずれかである．任意の$h \in H$に対して$hHh^{-1}=H$であることは明らかである．また，任意の$gh(h \in H)$に対して
$$ghH(gh)^{-1}=ghHh^{-1}g^{-1}=gHg^{-1}=H$$
も成り立つ．即ち，$H$は$G$の正規部分群である．(証明終)