代数学をやるその3　剰余類の置換

$n=2$とすると，一般論から$H$は正規である．指数が$2$であることから$H\ne G$である．仮に$H=\{e\}$とすると$G$は位数が$2$の群となるが，このとき$G$が可換となって仮定に矛盾．従って$H$は非自明な正規部分群である．即ち，$G$は単純群でない．
$3\le n\le 4$とする．$G/H$の完全代表系を$\{g_i{\}}_{i=1}^n$と取る．$G$の$G/H$への作用$\varphi$を
$$\varphi :G\times G/H\ni (g,g^{\prime }H)⟼(g{g}^{\prime })H\in G/H$$
と定めると，これはwell-definedである．この作用により群準同型$\phi :G\to S_n$($S_n$は$n$次対称群)を得る．$H$を法として$e$と合同な代表元$g_i$を取ってくると，$g\notin H$となる元に対して($H$の指数が$1$でないからこのような元を取れる)
$$g{g}_{i}H=gH\ne H=g_{i}H$$
が成り立つ．即ち，$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \ne \{(1)\}$である．ここで$(1)\in S_n$は恒等置換を表す．$A_n$を$n$次交代群とする．$A_n$は$S_n$の正規部分群であるから，$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_n$は$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi$において正規である．従ってその$\phi$による逆像${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_n)$は$G$において正規である．${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_n)$が$G$において自明でないかどうかを考える．

$n=3$とする．まず，$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \subset A_3$であるとすると，$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \ne \{(1)\}$であるから$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi =A_3$となるしかない．これより$G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \cong A_3$であるから，$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$は$G$の指数$3$の正規部分群となる．指数が$3$であるから$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \ne G$である．また，$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =\{e\}$とすると$G\cong A_3$となるが，$G$は非可換，$A_3$は可換であるから矛盾．よって$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$は$G$の自明でない正規部分群であるから，$G$は単純群でない．
次に，$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \not\subset A_3$であるとする．すると，$|S_3/A_3|=2$より$S_3=(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi )A_3$となる．これより，
$$\begin{array}{rl}{S}_3/A_3=(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi )A_3/A_3& \cong \mathrm{I}\mathrm{m}\phi /(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)\\ & \cong (G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi )/({\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi )\cong G/{\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)\end{array}$$
が成り立つ．従って${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)$は$G$の指数$2$の正規部分群である．指数が$2$であるから${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)\ne G$である．また，${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)=\{e\}$とすると，$|G|=2$となるがこのとき$G$が可換となって矛盾．従って${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_3)$は$G$の自明でない正規部分群であるから，$G$は単純群でない．

$n=4$とする．仮に$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \subset A_4$であるとすると，$G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$は$A_4$の部分群に同型である．$A_4$の正規部分群(クラインの四元群)$V$を
$$V=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$$
とおく．ある$h\in H$が$\phi (h)\ne (1)$を満たすとする．$\phi (h)\in V$とすると，$h$による作用は$H\in G/H$を動かさないので$\phi (h)=(1)$とならなければならないが，これは仮定に矛盾．従って$\phi (h)\notin V$である．すると，$\overline{\phi (h)}\in A_4/V$は位数$3$の元である．即ち$(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi )V=A_4$となる．よって，
$$A_4/V=(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi )V/V\cong \mathrm{I}\mathrm{m}\phi /(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap V)\cong G/{\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap V)$$
であるから，${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap V)$は$G$の指数$3$の正規部分群である．すると，$n=3$のときと同様にして${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap V)$が$G$の非自明な正規部分群であることが示せる．
全ての$h\in H$が$\phi (h)=(1)$を満たすとすると，任意の$g\in G$に対して$hgH=gH$が成り立つ．即ち$g^{-1}hg\in H$であり，これより$H$は$G$の正規部分群である．$G$が非可換であることと$H$の指数が$4$であることから$H$は$G$の非自明な正規部分群である．
最後に$\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \not\subset A_4$であるとする．$|S_4/A_4|=2$より$(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi )A_4=S_4$が成り立つ．従って，
$$S_4/A_4=(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi )A_4/A_4\cong \mathrm{I}\mathrm{m}\phi /(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_4)\cong G/{\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_4)$$
となる．これより，${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_4)$は$G$の指数2の正規部分群である．$G$の非可換性から，${\phi }^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{m}\phi \cap A_4)$は$G$の非自明な正規部分群である．即ち，$G$は単純群でない．(証明終)

$H$による$G$の左剰余類分解の完全代表系を$\{e,g\}$とする．このとき，$(G:H)=2$であることから，$H$による$G$の右剰余類分解の完全代表系も$\{e,g\}$となる．従って，$gH=Hg$即ち$gH{g}^{-1}=H$となる．$G$の任意の元は$H$の元であるか$gH$の元であるかのいずれかである．任意の$h\in H$に対して$hH{h}^{-1}=H$であることは明らかである．また，任意の$gh(h\in H)$に対して
$$ghH(gh{)}^{-1}=ghH{h}^{-1}{g}^{-1}=gH{g}^{-1}=H$$
も成り立つ．即ち，$H$は$G$の正規部分群である．(証明終)