級数の等式を示す

これを証明します。もっと簡単な方法があるかも。

まず、この積分を計算します。
$$I(m,n)=\int_0^1x^m\ln^nxdx$$
$x=e^{-t}$と置換すればLaplace変換が使えますね。
\begin{align} I(m,n)&=\int_0^1x^m\ln^nxdx \\ &=\int_0^\infty e^{-(m+1)t}(-t)^ndt \\ &=(-1)^n{\cal L}[t^n](m+1) \\ &=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}} \end{align}
次に、この積分を計算します。
$$J(m,n)=\int_0^1x^m\ln^n(1-x)dx$$
閉じた形で書ければ御の字ですが、このままではどうなるか分からないのでとりあえず$\ln(1-x)$をMaclaurin展開してごり押します。
\begin{align} \int_0^1x^m\ln^n(1-x)dx&=(-1)^n\int_0^1x^m\left(\sum_{0< k}\frac{x^k}{k}\right)^ndx \\ &=(-1)^n\int_0^1\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\frac{x^{i_1+\cdots+i_n+m}}{i_1\cdots i_n}dx \\ &=(-1)^n\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\frac{1}{i_1\cdots i_n(i_1+\cdots+i_n+m+1)} \\ &=(-1)^n\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\frac{1}{m+1}\left(\frac{1}{i_1}-\frac{1}{i_1+m+1}\right)\cdots\left(\frac{1}{i_n}-\frac{1}{i_1+\cdots+i_n+m+1}\right)\\ &=\frac{(-1)^n}{m+1}\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\prod_{k=1}^n\left(\frac{1}{i_k}-\frac{1}{1+m+\sum_{l=1}^ki_l}\right) \\ \end{align}
ここで、$\ds\int_0^1x^m\ln^n(1-x)dx$にKing Propertyを使ったあと$(1-x)^m$に二項定理を用いると
\begin{align} J(m,n)&=\int_0^1x^m\ln^n(1-x)dx \\ &=\int_0^1(1-x)^m\ln^nxdx \\ &=\int_0^1\sum_{i=0}^m(-x)^i\binom{m}{i}\ln^nxdx \\ &=(-1)^nn!\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{(i+1)^{n+1}}\binom{m}{i} \end{align}
となります。$J(m,n)$の二つの表示を見比べると
$$\frac{1}{n!(m+1)}\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\prod_{k=1}^n\left(\frac{1}{i_k}-\frac{1}{1+m+\sum_{l=1}^ki_l}\right)=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{(i+1)^{n+1}}\binom{m}{i}$$
が分かります。
ここで、$\ds\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{(i+1)^{n+1}}\binom{m}{i}$について$i+1$を新たに$j$とすると
\begin{align} \sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{(i+1)^{n+1}}\binom{m}{i}&=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{(i+1)^{n+1}}\frac{m!}{i!(m-i)!} \\ &=\frac{1}{m+1}\sum_{j=1}^{m+1}\frac{(-1)^{j-1}}{j^{n+1}}\frac{(m+1)!}{(j-1)!(m+1-j)!} \\ &=\frac{1}{m+1}\sum_{j=1}^{m+1}\frac{(-1)^{j-1}}{j^n}\binom{m+1}{j} \\ &=\frac{H_{m+1}^\star(n)}{m+1} \end{align}
を得ます。$H_{m+1}^\star(n)$については この記事 を参照してください。
Hoffman's Identityより$H_{m+1}^\star(n)=\zeta_{m+1}^\star(\{1\}^n)$なので
$$\frac{1}{n!(m+1)}\sum_{0< i_1,\cdots,i_n}\prod_{k=1}^n\left(\frac{1}{i_k}-\frac{1}{1+m+\sum_{l=1}^ki_l}\right)=\frac{1}{m+1}\sum_{1\leq j_1\leq\cdots\leq j_n\leq m+1}\frac{1}{j_1\cdots j_n}$$
となります。最後に$m+1\mapsto m$として命題の式を得ます。